Шестая степень

редактировать

В арифметике и алгебре шестая степень числа n является результатом умножения шести экземпляров числа n. Итак:

n = n × n × n × n × n × n.

Шестая степень также формируется путем умножения числа на его пятую степень, квадрат числа в его четвертой степени или в куб самого числа, взяв квадрат в третью степень или возведя куб в квадрат.

Последовательность шестых степеней целых чисел :

0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304,... (последовательность AISO в )

Они включают значащие десятичные числа 10 (миллион ), 100 (триллион короткого масштаба и миллиард большого масштаба) и 1000 ( a длинномасштабный триллион ).

Содержание

1 Квадраты и кубы
2 Суммы
3 См. также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Квадраты и кубики

Шестые степени целых чисел можно охарактеризовать как числа, которые одновременно являются квадратами и кубами. Таким образом, они связаны с двумя другими классами фигуральных чисел : квадратные треугольные числа, которые одновременно являются квадратными и треугольными, и решения задачи о пушечном ядре, которые одновременно являются квадратными и квадратно-пирамидальными.

Из-за их связи с квадратами и кубами шестые степени играют важную роль в изучении кривых Морделла, которые являются эллиптическими кривыми формы

у 2 = х 3 + к. {\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + k.}

{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + k.}

Когда $k {\ displaystyle k}$ $k$ делится на шестую степень, это уравнение может быть сокращено на деление на эту степень дает более простое уравнение той же формы. Хорошо известный результат теории чисел, доказанный Рудольфом Фютером и Луи Дж. Морделлом, гласит, что когда $k {\ displaystyle k}$ $k$ является целым числом, не делимым в шестой степени (кроме исключительных случаев $k = 1 {\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ и $k = - 432 {\ displaystyle k = - 432}$ ${\ displaystyle k = -432}$ ), это уравнение либо не имеет рациональных решений с $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ ненулевое или бесконечно много из них.

В архаической записи из Роберта Рекорда шестая степень числа называлась "зензикубом", что означает квадрат числа куб. Аналогичным образом, обозначения шестых степеней, используемые в индийской математике 12 века Бхаскарой II, также называли их либо квадратом куба, либо кубом квадрата.

Суммы

Существует множество известных примеров шестых степеней, которые могут быть выражены как сумма семи других шестых степеней, но пока не известны примеры шестой степени, выражаемой суммой только шести шестых степеней. Это делает его уникальным среди степеней с показателем k = 1, 2,..., 8, каждая из которых может быть выражена как сумма k других k-ых степеней, а некоторые из которых (в нарушение Гипотеза Эйлера о сумме степеней ) может быть выражена как сумма еще меньшего числа k-х степеней.

В связи с проблемой Варинга каждое достаточно большое целое число может быть представлено как сумма не более 24 шестых степеней целых чисел.

Существует бесконечно много различных нетривиальных решений в диофантово уравнение

a 6 + b 6 + c 6 = d 6 + e 6 + f 6. {\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} + c ^ {6} = d ^ {6} + e ^ {6} + f ^ {6}.}

{\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} + c ^ {6} = d ^ {6} + e ^ {6} + f ^ {6}.}

Не было доказано, уравнение

a 6 + b 6 = c 6 + d 6 {\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} = c ^ {6} + d ^ {6}}

{\ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} = c ^ {6} + d ^ {6}}

имеет нетривиальное решение, но гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа подразумевает, что это не так.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Диофантово уравнение - шестая степень. «. MathWorld.