Кратковременное преобразование Фурье

Преобразование Фурье, подходящее для сигналов, которые довольно быстро меняются во времени

Короткое -временное преобразование Фурье (STFT ) - это преобразование Фурье, используемое для определения синусоидальной частоты и фазового содержания локальных участков сигнала по мере его изменения во времени. На практике процедура вычисления STFT состоит в том, чтобы разделить более длинный временной сигнал на более короткие сегменты равной длины, а затем вычислить преобразование Фурье отдельно для каждого более короткого сегмента. Это показывает спектр Фурье на каждом более коротком отрезке. Затем обычно строят график изменения спектров как функции времени, известный как спектрограмма или график водопада.

Пример кратковременных преобразований Фурье, используемых для определения времени воздействия аудиосигнала

• 1 Прямой STFT
  • 1.1 Непрерывный STFT
  • 1.2 Дискретный STFT
    • 1.2.1 Скользящий ДПФ
• 2 Обратный STFT
  • 2.1 Непрерывный STFT
• 3 Проблемы с разрешением
  • 3.1 Пример
  • 3.2 Пояснение
• 4 Рэлеевская частота
• 5 Применение
• 6 Реализация
  • 6.1 Прямая реализация
    • 6.1.1 Ограничения
  • 6.2 Метод на основе БПФ
    • 6.2.1 Ограничение
  • 6.3 Рекурсивный метод
    • 6.3.1 Ограничение
  • 6.4 Преобразование Chirp Z
    • 6.4.1 Ограничение
  • 6.5 Сравнение реализаций
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Непрерывный STFT

Просто, в в случае непрерывного времени функция, которая должна быть преобразована, умножается на оконную функцию , которая не равна нулю только в течение короткого периода времени. Преобразование Фурье (одномерная функция) результирующего сигнала берется, когда окно перемещается по оси времени, что приводит к двумерному представлению сигнала. Математически это записывается как:

$STFT\; \{x\; (t)\}\; (\tau ,\; \omega )\; \equiv \; X\; (\tau ,\; \omega )\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; x\; (t)\; w\; (t\; -\; \tau )\; e\; -\; i\; \omega \; tdt\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{STFT\}\; \backslash \; \{х\; (т)\; \backslash \}\; (\backslash \; тау,\; \backslash \; омега)\; \backslash \; эквив\; Икс\; (\backslash \; тау,\; \backslash \; омега)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; х\; (т)\; вес\; (t-\; \backslash \; tau)\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; dt\}$

где $w\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (\backslash \; tau)\}$- оконная функция, обычно окно Ханна или окно Гаусса с центром вокруг нуля, и $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$- это сигнал, который нужно преобразовать (обратите внимание на разницу между оконной функцией $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$и частотой $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$). $Икс\; (\tau ,\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; omega)\}$по сути является преобразованием Фурье $x\; (t)\; w\; (t\; -\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\}$, комплексная функция, представляющая фазу и величину сигнала во времени и по частоте. Часто развертка фазы используется по одной или по обеим оси времени, $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$, и оси частоты, $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$для подавления любого скачка скачка результата фазы STFT. Временной индекс $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$обычно считается "медленным" временем и обычно не выражается в таком высоком разрешении, как время $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.

STFT с дискретным временем

В случае дискретного времени данные, подлежащие преобразованию, могут быть разбиты на фрагменты или кадры (которые обычно перекрывают друг друга, чтобы уменьшить артефакты на границе). Каждый фрагмент подвергается преобразованию Фурье, и комплексный результат добавляется к матрице, в которой записываются величина и фаза для каждого момента времени и частоты. Это можно выразить как:

$STFT\; \{x\; [n]\}\; (m,\; \omega )\; \equiv \; X\; (m,\; \omega )\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; x\; [n]\; w\; [n\; -\; m]\; e\; -\; j\; \omega \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{STFT\}\; \backslash \; \{x\; [n]\; \backslash \}\; (m,\; \backslash \; omega)\; \backslash \; Equiv\; X\; (m,\; \backslash \; omega)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; [n\; ]\; w\; [nm]\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; n\}\}$

аналогично, с сигналом x [n] и окном w [n]. В этом случае m дискретно, а ω непрерывно, но в большинстве типичных приложений STFT выполняется на компьютере с использованием быстрого преобразования Фурье, поэтому обе переменные являются дискретными и квантованными.

величина в квадрате STFT дает спектрограмму, представляющую спектральную плотность мощности функции:

$спектрограмма\; \; \{x\; (t)\}\; (\tau ,\; \omega ))\; |\; X\; (\tau ,\; \omega )\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{спектрограмма\}\; \backslash \; \{x\; (t)\; \backslash \}\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; omega)\; \backslash \; Equiv\; |\; X\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; omega)\; |\; ^\; \{2\}\}$

См. Также модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT), которое также является преобразованием Фурье, использующим перекрывающиеся окна.

Скользящий ДПФ

Если требуется только небольшое количество ω или если требуется оценивать STFT для каждого сдвига m окна, то можно более эффективно оценивать STFT, используя алгоритм скользящего DFT.

STFT обратимый, то есть исходный сигнал может быть восстановлен из преобразования с помощью Обратный STFT. Наиболее широко распространенный способ инвертирования STFT - использование метода с перекрытием-сложением (OLA), который также позволяет изменять комплексный спектр STFT. Это создает универсальный метод обработки сигналов, называемый методом перекрытия и добавления с модификациями.

STFT с непрерывным временем

Учитывая ширину и определение оконной функции w (t), мы изначально требуем масштабирования области оконной функции так, чтобы

$\int \; -\; \infty \; \infty \; вес\; (\tau )\; d\; \tau \; знак\; равно\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; w\; (\backslash \; tau)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; =\; 1.\}$

Отсюда легко следует, что

$\int \; -\; \infty \; \infty \; вес\; (T\; -\; \tau )\; d\; \tau \; знак\; равно\; 1\; \forall \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; \backslash \; t\}$

и

$x\; (t)\; =\; x\; (t)\; \int \; -\; \infty \; \infty \; w\; (t\; -\; \tau )\; d\; \tau \; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; x\; (t)\; w\; (t\; -\; \tau )\; d\; \tau .\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; (т)\; =\; х\; (т)\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; x\; (t)\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau.\}$

Непрерывное преобразование Фурье:

$X\; (\omega )\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; x\; (t)\; e\; -\; j\; \omega \; tdt.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (t)\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Подстановка x (t) сверху :

$Икс\; (\omega )\; знак\; равно\; \int \; -\; \infty \; \infty \; [\int \; -\; \infty \; \infty \; Икс\; (T)\; вес\; (t\; -\; \tau )\; d\; \tau ]\; е\; -\; j\; \omega \; tdt\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (t)\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; dt\}$

$=\; \int \; -\; \infty \; \infty \; \int \; -\; \infty \; \infty \; x\; (t)\; w\; (t\; -\; \tau )\; e\; -\; j\; \omega \; td\; \tau \; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (t)\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; dt.\}$

Порядок интегрирования местами:

$X\; (\omega )\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; \int \; -\; \infty \; \infty \; x\; (t)\; w\; (t\; -\; \tau )\; e\; -\; j\; \omega \; tdtd\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; (t)\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\}$

$=\; \int \; -\; \infty \; \infty \; [\int \; -\; \infty \; \infty \; x\; (t)\; w\; (t\; -\; \tau )\; e\; -\; j\; \omega \; tdt]\; d\; \tau \; \{\; \backslash \; Displaystyle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; х\; (т)\; ш\; (т-\; \backslash \; тау)\; \backslash ,\; е\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\}$

$=\; \int \; -\; \infty \; \infty \; X\; (\tau ,\; \omega )\; d\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; X\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; omega)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau.\}$

Таким образом, преобразование Фурье можно рассматривать как своего рода фазовую когерентную сумму все СТПФ x (t). Поскольку обратное преобразование Фурье имеет вид

$x\; (t)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \infty \; X\; (\omega )\; e\; +\; j\; \omega \; td\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; X\; (\backslash \; omega)\; e\; ^\; \{+\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega,\}$

, то x (t) можно восстановить из X ( τ, ω) как

$x\; (t)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \infty \; \int \; -\; \infty \; \infty \; X\; (\tau ,\; \omega )\; e\; +\; j\; \omega \; td\; \tau \; d\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; X\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; omega)\; e\; ^\; \{+\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega.\}$

или

$x\; (t)\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; [1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \infty \; X\; (\tau ,\; \omega )\; e\; +\; j\; \omega \; td\; \omega ]\; d\; \tau .\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; (т)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; X\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; omega)\; e\; ^\; \{+\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau.\}$

Это можно увидеть по сравнению с вышеупомянутым оконным "зерном" или "вейвлетом" "x (t) равно

$x\; (t)\; w\; (t\; -\; \tau )\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \infty \; X\; (\tau ,\; \omega )\; e\; +\; j\; \omega \; td\; \omega .\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; (т)\; вес\; (т-\; \backslash \; тау)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; X\; (\backslash \; тау,\; \backslash \; omega)\; е\; ^\; \{+\; j\; \backslash \; omega\; t\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega.\}$

обратное преобразование Фурье X (τ, ω) при фиксированном τ.

Одна из ловушек STFT заключается в том, что он имеет фиксированное разрешение. Ширина оконной функции связана с тем, как представлен сигнал - она ​​определяет, имеется ли хорошее разрешение по частоте (можно разделить близкие друг к другу частотные компоненты) или хорошее разрешение по времени (время изменения частот). Широкое окно дает лучшее разрешение по частоте, но плохое разрешение по времени. Более узкое окно дает хорошее временное разрешение, но плохое частотное разрешение. Это называется узкополосным и широкополосным преобразованиями соответственно.

Сравнение разрешения STFT. Левая сторона имеет лучшее разрешение по времени, а правая - лучшее разрешение по частоте.

Это одна из причин создания вейвлет-преобразования и анализа с множественным разрешением, которые могут дать хорошее время разрешение для высокочастотных событий и хорошее частотное разрешение для низкочастотных событий, комбинация лучше всего подходит для многих реальных сигналов.

Это свойство связано с принципом неопределенности Гейзенберга , но не напрямую - см. предел Габора для обсуждения. Произведение стандартного отклонения по времени и частоте ограничено. Граница принципа неопределенности (наилучшее одновременное разрешение обоих) достигается с помощью функции окна Гаусса, поскольку функция Гаусса минимизирует принцип неопределенности Фурье. Это называется преобразованием Габора (и с модификациями для множественного разрешения становится преобразованием вейвлет Морле ).

Можно рассматривать STFT для изменения размера окна как двумерную область (время и частота), как проиллюстрировано в приведенном ниже примере, которая может быть вычислена путем изменения размера окна. Однако это уже не строго частотно-временное представление - ядро ​​не является постоянным по всему сигналу.

Пример

Использование следующего образца сигнала $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$, который состоит из набора четырех соединенных синусоидальных сигналов вместе по порядку. Каждая форма волны состоит только из одной из четырех частот (10, 25, 50, 100 Гц ). Определение $x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\}$:

Затем он дискретизируется с частотой 400 Гц. Были созданы следующие спектрограммы:

окно 25 мс	окно 125 мс
окно 375 мс	окно 1000 мс

Окно 25 мс позволяет нам определить точное время, в которое сигналы изменяются, но точные частоты определить сложно. На другом конце шкалы окно 1000 мс позволяет точно видеть частоты, но время между изменениями частоты размывается.

Объяснение

Это также можно объяснить со ссылкой на выборку и частоту Найквиста.

Возьмите окно из N выборок из сигнала с произвольным действительным знаком с частотой выборки f с. В результате преобразования Фурье получается N комплексных коэффициентов. Из этих коэффициентов полезна только половина (последний N / 2 является комплексно-сопряженным с первым N / 2 в обратном порядке, поскольку это действительный сигнал).

Эти коэффициенты N / 2 представляют частоты от 0 до f s / 2 (Найквиста), а два последовательных коэффициента разнесены на f s / N Гц.

Чтобы увеличить разрешение окна по частоте, необходимо уменьшить частотный интервал коэффициентов. Есть только две переменные, но уменьшение f s (и сохранение N постоянным) приведет к увеличению размера окна, так как теперь меньше выборок в единицу времени. Другой альтернативой является увеличение N, но это снова приводит к увеличению размера окна. Таким образом, любая попытка увеличить разрешение по частоте приводит к увеличению размера окна и, следовательно, к уменьшению разрешения по времени - и наоборот.

Поскольку частота Найквиста является ограничением максимальной частоты, которую можно осмысленно проанализировать, так и частота Рэлея является ограничением минимальной частоты.

Частота Рэлея - это минимальная частота, которая может быть разрешена с помощью временного окна конечной длительности.

Учитывая временное окно длиной Τ секунды, минимальная частота, которая может быть разрешена, равна 1 / Τ Гц.

Частота Рэлея является важным фактором при применении кратковременного преобразования Фурье (STFT), а также любого другого метода гармонического анализа сигнала конечной длины записи.

STFT, используемый для анализа аудиосигнала во времени.

STFT, а также стандартные преобразования Фурье и другие инструменты часто используются для анализа музыки. Спектрограмма может, например, отображать частоту по горизонтальной оси, причем самые низкие частоты находятся слева, а самые высокие - справа. Высота каждой полосы (дополненной цветом) представляет собой амплитуду частот в этой полосе. Измерение глубины представляет время, когда каждая новая полоса была отдельным отдельным преобразованием. Аудиоинженеры используют этот вид визуализации для получения информации об аудиосэмпле, например, для определения частот определенных шумов (особенно при использовании с большим частотным разрешением) или для поиска частот, которые могут быть более или менее резонансными в пространстве, где сигнал был записан. Эта информация может использоваться для эквализации или настройки других звуковых эффектов.

Исходная функция

$X\; (t,\; f)\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; w\; (t\; -\; \tau )\; x\; (\tau )\; e\; -\; j\; 2\; \pi \; f\; \tau \; d\; \tau \; \{\backslash \; Displaystyle\; Икс\; (т,\; е)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; ш\; (т-\; \backslash \; тау)\; х\; (\backslash \; тау)\; е\; ^\; \{-\; j2\; \backslash \; пи\; е\; \backslash \; тау\}\; д\; \backslash \; тау\}$

Преобразование в дискретную форму:

$t\; =\; n\; \Delta \; t,\; f\; =\; m\; \Delta \; f,\; \tau \; =\; p\; \Delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; n\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; f\; =\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\},\; \backslash \; tau\; =\; p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\}$

$X\; (n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; \sum \; -\; \infty \; \infty \; w\; ((n\; -\; p)\; \Delta \; t)\; x\; (p\; \Delta \; t)\; e\; -\; j\; 2\; \pi \; pm\; \Delta \; T\; \Delta \; е\; \Delta \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; (п\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; w\; ((np)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; x\; (p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; j2\; \backslash \; pi\; pm\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\}$

Предположим, что

$w\; (t)\; \cong \; 0\; для\; |\; т\; |>В,\; В\; \Delta \; T\; =\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (t)\; \backslash \; cong\; 0\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; |\; t\; |>B,\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\}\}\; =\; Q\}$

Затем мы можем записать исходную функцию в

$X\; (n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; \sum \; p\; =\; n\; -\; Q\; n\; +\; Q\; вес\; ((N\; -\; п)\; \Delta \; T)\; Икс\; (п\; \Delta \; T)\; е\; -\; J\; 2\; \pi \; pm\; \Delta \; T\; \Delta \; е\; \Delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (n\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; nQ\}\; ^\; \{n\; +\; Q\}\; w\; ((np)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; x\; (p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; j2\; \backslash \; pi\; pm\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\}$

Прямая реализация

Ограничения

a. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта сглаживания):

, где $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- ширина полосы $x\; (\tau )\; w\; (t\; -\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (\backslash \; tau)\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\}$

Метод на основе БПФ

Ограничение

a. $\Delta \; t\; \Delta \; f\; =\; 1\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{N\}\}\}$, где $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$- целое число

b. $N\; \ge \; 2\; Q\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; geq\; 2Q\; +\; 1\}$

с. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта наложения спектров):

, $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- ширина полосы $x\; (\tau )\; w\; (t\; -\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (\backslash \; tau)\; w\; (t-\; \backslash \; tau)\}$

$X\; (n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; \sum \; p\; =\; n\; -\; Q\; n\; +\; Q\; w\; ((n\; -\; p)\; \Delta \; t)\; x\; (p\; \Delta \; t)\; е\; -\; 2\; \pi \; jpm\; N\; \Delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (n\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; nQ\}\; ^\; \{n\; +\; Q\}\; w\; ((np)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; x\; (p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; jpm\}\; \{N\}\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\}$

$если\; у\; нас\; есть\; q\; =\; p\; -\; (n\; -\; Q),\; тогда\; p\; =\; (n\; -\; Q)\; +\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{если\; есть\}\}\; q\; =\; p-\; (nQ),\; \{\backslash \; text\; \{then\}\}\; p\; =\; (nQ)\; +\; q\}$

$X\; (n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; \Delta \; te\; 2\; \pi \; j\; (Q\; -\; n)\; m\; N\; \sum \; q\; =\; 0\; N\; -\; 1\; x\; 1\; (q)\; e\; -\; 2\; \pi \; jqm\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (п\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; j\; (Qn)\; m\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}\; x\_\; \{1\}\; (q)\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; jqm\}\; \{N\}\}\}\}$

Рекурсивный метод

Ограничение

a. $\Delta \; t\; \Delta \; f\; =\; 1\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{N\}\}\}$, где $N\; \{\; \backslash \; displaystyle\; N\}$- целое число

b. $N\; \ge \; 2\; Q\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; geq\; 2Q\; +\; 1\}$

с. Критерий Найквиста (предотвращение эффекта наложения спектров):

, $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- ширина полосы $x\; (\tau )\; w\; (t\; -\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; х\; (\backslash \; тау)\; ш\; (т-\; \backslash \; тау)\}$

г. Только для реализации прямоугольного STFT

Прямоугольное окно накладывает ограничение

$w\; ((n\; -\; p)\; \Delta \; t)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; ((np)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; =\; 1\; \}$

Замена дает:

$X\; (n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; \sum \; p\; =\; n\; -\; Q\; n\; +\; Q\; w\; ((n\; -\; p)\; \Delta \; t)\; x\; (p\; \Delta \; t)\; e\; -\; j\; 2\; \pi \; pm\; N\; \Delta \; T\; знак\; равно\; \sum \; п\; знак\; равно\; N\; -\; Q\; N\; +\; Q\; Икс\; (p\; \Delta \; t)\; е\; -\; j\; 2\; \pi \; pm\; N\; \Delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; X\; (n\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; nQ\}\; ^\; \{n\; +\; Q\}\; w\; ((np)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; x\; (p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; \{\; \backslash \; frac\; \{j2\; \backslash \; pi\; pm\}\; \{N\}\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; nQ\}\; ^\; \{n\; +\; Q\}\; x\; (p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{\; -\; \{\backslash \; frac\; \{j2\; \backslash \; pi\; pm\}\; \{N\}\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Изменение переменной n-1 для n:

$X\; ((n\; -\; 1)\; \Delta \; T,\; м\; \Delta \; е)\; знак\; равно\; \sum \; п\; знак\; равно\; N\; -\; 1\; -\; Q\; N\; -\; 1\; +\; Q\; x\; (p\; \Delta \; t)\; е\; -\; j\; 2\; \pi \; pm\; N\; \Delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ((n-1)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; n-1-Q\}\; ^\; \{n-1\; +\; Q\}\; x\; (p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{j2\; \backslash \; pi\; pm\}\; \{N\}\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\}$

Рассчитать $X\; (min\; n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (\backslash \; min\; \{n\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\}$с помощью N-точечного БПФ:

$X\; (n\; 0\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; \Delta \; tej\; 2\; \pi \; (Q\; -\; N\; 0)\; м\; N\; \sum \; q\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; Икс\; 1\; (q)\; е\; -\; j\; 2\; \pi \; qm\; N,\; n\; 0\; =\; мин\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (n\_\; \{0\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}),\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{j2\; \backslash \; pi\; (Q-n\_\; \{0\})\; m\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 0\}\; ^\; \{N\; -1\}\; x\_\; \{1\}\; (q)\; e\; ^\; \{-\; j\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; qm\}\; \{N\}\}\},\; \backslash \; qquad\; n\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; min\; \{(n)\}\}$

где

$Икс\; 1\; (q)\; знак\; равно\; \{Икс\; ((N\; -\; Q\; +\; q)\; \Delta \; t)\; q\; \le \; 2\; Q\; 0\; q>2\; Q\; \{\backslash \; Displaystyle\; x\_\; \{1\}\; (q)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; x\; ((\; n-Q\; +\; q)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; q\; \backslash \; leq\; 2Q\; \backslash \backslash \; 0\; q>2Q\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Применение рекурсивной формулы для вычисления $X\; (\; t,\; м\; \Delta \; е)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (n\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\}$

$Икс\; (n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; X\; ((n\; -\; 1)\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; -\; x\; ((n\; -\; Q\; -\; 1)\; \Delta \; t)\; e\; -\; j\; 2\; \pi \; (n\; -\; Q\; -\; 1)\; m\; N\; \Delta \; t\; +\; x\; ((n\; +\; Q)\; \Delta \; t)\; e\; -\; j\; 2\; \pi \; (N\; +\; Q)\; м\; N\; \Delta \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (n\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; X\; ((n-1)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; -\; x\; ((nQ-1)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{j2\; \backslash \; pi\; (nQ-1)\; m\}\; \{N\}\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; +\; x\; ((п\; +\; Q)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{j2\; \backslash \; pi\; (n\; +\; Q)\; m\}\; \{N\}\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\}$

Преобразование Chirp Z

Ограничение

$exp\; \; (-\; j\; 2\; \pi \; pm\; \Delta \; t\; \Delta \; f)\; =\; exp\; \; (-\; j\; \pi \; p\; 2\; \Delta \; t\; \Delta \; f)\; \cdot \; exp\; \; (j\; \pi \; (p\; -\; m)\; 2\; \Delta \; t\; \Delta \; f)\; \cdot \; ехр\; \; (-\; J\; \pi \; м\; 2\; \Delta \; T\; \Delta \; е)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ехр\; \{(-j2\; \backslash \; пи\; pm\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\}\; =\; \backslash \; exp\; \{(-j\; \backslash \; pi\; p\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; exp\; \{(j\; \backslash \; pi\; (pm)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; exp\; \{(-j\; \backslash \; pi\; m\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\}\}$

поэтому

$X\; (n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; \Delta \; t\; \sum \; p\; =\; N\; -\; Q\; N\; +\; Q\; вес\; ((N\; -\; п)\; \Delta \; T)\; Икс\; (п\; \Delta \; T)\; е\; -\; J\; 2\; \pi \; pm\; \Delta \; T\; \Delta \; е\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; (п\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\},\; м\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\; f\})\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; nQ\}\; ^\; \{n\; +\; Q\}\; w\; ((np)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; x\; (p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; j2\; \backslash \; pi\; pm\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\}\}$

$X\; (n\; \Delta \; t,\; m\; \Delta \; f)\; =\; \Delta \; te\; -\; j\; 2\; \pi \; m\; 2\; \Delta \; t\; \Delta \; f\; \sum \; p\; =\; n\; -\; Q\; N\; +\; Q\; вес\; ((N\; -\; p)\; \Delta \; T)\; Икс\; (п\; \Delta \; T)\; е\; -\; J\; \pi \; p\; 2\; \Delta \; t\; \Delta \; fej\; \pi \; (p\; -\; m)\; 2\; \Delta \; t\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (n\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\; t\},\; m\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\})\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; e\; ^\; \{-\; j2\; \backslash \; pi\; m\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; nQ\; \}\; ^\; \{n\; +\; Q\}\; w\; ((np)\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; x\; (p\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\})\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; pi\; p\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Del\; ta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\}\; e\; ^\; \{j\; \backslash \; pi\; (pm)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{f\}\}\}$

Сравнение реализации

Метод	Сложность
Прямая реализация	$O\; (TFQ)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (TFQ)\}$
на основе БПФ	$O\; (TN\; log\; 2\; \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (TN\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; N)\}$
Рекурсивный	$O\; (TF)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (TF)\}$
Преобразование Chirp Z	$O\; (TN\; log\; 2\; \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (TN\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; N)\}$

• Оценка спектральной плотности
• Частотно-временной анализ
• Частотно-временное представление
• Метод переназначения

Другие частотно-временные преобразования:

• Функция распределения конусообразной формы
• Преобразование постоянной Q
• Дробное преобразование Фурье
• Преобразование Габора
• преобразование Ньюленда
• S-преобразование
• Вейвлет-преобразование
• Чирплет-преобразование

1. ^Сейдич Э.; Джурович I.; Цзян Дж. (2009). «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений». Цифровая обработка сигналов. 19 (1): 153–183. doi : 10.1016 / j.dsp.2007.12.004.
2. ^E. Якобсен и Р. Лайонс, Скользящий ДПФ, Signal Processing Magazine vol. 20, выпуск 2, стр. 74–80 (март 2003 г.).
3. ^Джонт Б. Аллен (июнь 1977 г.). «Кратковременный спектральный анализ, синтез и модификация с помощью дискретного преобразования Фурье». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. АССП-25 (3): 235–238. doi : 10.1109 / TASSP.1977.1162950.
4. ^https://physics.ucsd.edu/neurophysics/publications/Cold%20Spring%20Harb%20Protoc-2014-Kleinfeld-pdb.top081075.pdf
5. ^«Что означает« заполнение, недостаточное для требуемого разрешения по частоте »? - Набор инструментов FieldTrip».
6. ^Zeitler M, Fries P, Gielen S (2008). «Смещенная конкуренция из-за вариаций амплитуды гамма-колебаний». J Comput Neurosci. 25 (1): 89–107. doi : 10.1007 / s10827-007-0066-2. PMC 2441488. PMID 18293071.
7. ^Вингерден, Марин ван; Винк, Мартин; Ланкельма, Ян; Пеннарц, Сириэль М. А. (19 мая 2010 г.). «Фазовая синхронизация орбитофронтальных нейронов в тета-диапазоне во время ожидания вознаграждения». Журнал неврологии. 30 (20): 7078–7087. DOI : 10.1523 / JNEUROSCI.3860-09.2010. ISSN 0270-6474. PMC 6632657. PMID 20484650.

• DiscreteTFDs - программное обеспечение для вычисления кратковременного преобразования Фурье и других частотно-временных распределений
• Singular Spectral Analysis - MultiTaper Method Toolkit - бесплатное программное обеспечение для анализа коротких шумных временных рядов
• kSpectra Toolkit для Mac OS X от SpectraWorks
• Кратковременное преобразование Фурье с временной растяжкой для частотно-временного анализа сверхширокополосных сигналов
• Лицензированный BSD класс Matlab для выполнения STFT и обратный STFT
• LTFAT - бесплатный (GPL) набор инструментов Matlab / Octave для работы с кратковременными преобразованиями Фурье и частотно-временным анализом