Сепаратрикс (математика)

редактировать

В математике разделитель - это граница, разделяющая два режима поведения в дифференциальном уравнении.

Пример

Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее движение простого маятника :

d 2 θ dt 2 + g ℓ sin ⁡ θ = 0. {\ displaystyle {d ^ {2} \ theta \ over dt ^ {2}} + {g \ over \ ell} \ sin \ theta = 0.}

{ \ displaystyle {d ^ {2} \ theta \ over dt ^ {2}} + {g \ over \ ell} \ sin \ theta = 0.}

где $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ обозначает длину маятника, $g {\ displaystyle g}$ $g$ ускорение свободного падения и $θ {\ displaystyle \ theta }$ $\ theta$ угол между маятником и вертикально вниз. В этой системе есть сохраняющаяся величина H (гамильтониан ), которая задается как

$H = θ ˙ 2 2 - g ℓ cos ⁡ θ. {\ displaystyle H = {\ frac {{\ dot {\ theta}} ^ {2}} {2}} - {\ frac {g} {\ ell}} \ cos \ theta.}$ ${\ displaystyle H = {\ frac {{\ dot { \ theta}} ^ {2}} {2}} - {\ frac {g} {\ ell}} \ cos \ theta.}$

С этим определением, можно построить кривую постоянной H в фазовом пространстве системы. Фазовое пространство - это график с $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ по горизонтальной оси и $θ ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ theta}}}$ ${\ dot {\ theta}}$ по вертикальной оси - см. эскиз справа. Тип результирующей кривой зависит от значения H.

Фазовое пространство для простого маятника

Если $H < − g ℓ {\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ ${\ displaystyle H <- {\ frac {g} { \ ell}}}$ , то кривой не существует (потому что $θ ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ theta} }}$ ${\ dot {\ theta}}$ должно быть мнимым ).

Если $- g ℓ < H < g ℓ {\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}$ ${\ displaystyle - {\ frac {g} {\ ell}} <H <{\ frac {g} {\ ell}}}$ , тогда кривая будет простой замкнутой кривой, которая почти круглая для малых H и приобретает форму "глаза", когда H приближается верхняя граница. Эти кривые соответствуют периодическим колебаниям маятника из стороны в сторону.

Если $g ℓ < H {\displaystyle {\frac {g}{\ell }}$ ${\ displaystyle {\ frac {g} {\ ell}} <H}$ , тогда кривая открыта, и это соответствует тому, что маятник постоянно движется по полному кругу.

В этой системе сепаратриса - это кривая, соответствующая $H = g ℓ {\ displaystyle H = {\ frac {g} {\ ell}}}$ ${\ displaystyle H = {\ frac {g} {\ ell}}}$ . Он разделяет - отсюда и название - фазовое пространство на две отдельные области, каждая из которых имеет свой тип движения. Область внутри сепаратрисы имеет все те кривые фазового пространства, которые соответствуют колебаниям маятника вперед и назад, тогда как область за пределами сепаратрисы имеет все кривые фазового пространства, которые соответствуют маятнику, непрерывно вращающемуся через вертикальные плоские круги.

Ссылки

^Бланшар, Пол, Дифференциальные уравнения, 4-е изд., 2012 г., Брукс / Коул, Бостон, Массачусетс, стр. 469.

Логан, Дж. Дэвид, Прикладная математика, 3-е изд., 2006 г., John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, pg. 65.

Внешние ссылки

Separatrix из MathWorld.