Непрерывность Скотта

В математике, учитывая два частично упорядоченных множества P и Q, функция f: P → Q между ними равна Scott -прерывный (назван в честь математика Даны Скотт ), если он сохраняет все направленные супремы. То есть для каждого направленного подмножества D для P с супремумом в P, его изображение имеет супремум в Q, и этот супремум является изображением супремума D, то есть $\bigsqcup \; f\; [D]\; знак\; равно\; е\; (\bigsqcup \; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sqcup\; f\; [D]\; =\; f\; (\backslash \; sqcup\; D)\}$, где $\bigsqcup \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sqcup\}$- направленный присоединиться. Когда $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$- это набор значений истинности, т.е. пространство Серпинского, тогда непрерывные функции Скотта - это характеристические функции, и, таким образом, пространство Серпинского является классифицирующим топосом для открытых множеств.

Подмножество O частично упорядоченного множества P называется Scott-open, если это верхний набор и если он недоступны для направленных объединений, т.е. если все направленные множества D с супремумом в O имеют непустое пересечение с O. Открытые по Скотту подмножества частично упорядоченного множества P образуют топологию на P, топология Скотта . Функция между частично упорядоченными наборами является непрерывной по Скотту тогда и только тогда, когда она непрерывна по отношению к топологии Скотта.

Топология Скотта была впервые определена Даной Скотт для полной решетки и позже определенные для произвольных частично упорядоченных множеств.

непрерывные функции Скотта обнаруживаются при исследовании моделей для лямбда-исчислений и денотационной семантики компьютерные программы.

• 1 Свойства
• 2 Примеры
• 3 См. Также
• 4 Сноски
• 5 Ссылки

Непрерывная функция Скотта всегда монотонный.

Подмножество частично упорядоченного множества является замкнутым по отношению к топологии Скотта, индуцированной частичным порядком, тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и замкнуто относительно верхней границы направленные подмножества.

A направленный полный частичный порядок (dcpo) с топологией Скотта всегда является пространством Колмогорова (т. е. удовлетворяет аксиоме разделения T0 ). Однако DCPO с топологией Скотта является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда порядок тривиален. Открытые множества Скотта образуют полную решетку, когда упорядочены по включению.

Для любого пространства Колмогорова топология индуцирует отношение порядка в этом пространстве, порядок специализации : x ≤ y тогда и только тогда, когда каждая открытая окрестность точки x также является открытой окрестностью y. Отношение порядка DCPO D может быть восстановлено из открытых множеств Скотта как порядок специализации, индуцированный топологией Скотта. Однако DCPO, оснащенный топологией Скотта, не обязательно должен быть трезвым : порядок специализации, индуцированный топологией трезвого пространства, превращает это пространство в DCPO, но топология Скотта, полученная из этого порядка, лучше, чем исходная топология.

Открытые множества в данном топологическом пространстве, упорядоченные по включению, образуют решетку, на которой может быть определено. Подмножество X топологического пространства T компактно относительно топологии на T (в том смысле, что каждое открытое покрытие пространства X содержит конечное подпокрытие X) тогда и только тогда, когда набор открытых окрестностей точки X открыт по отношению к топологии Скотта.

Для CPO, декартова замкнутая категория из dcpo, два особенно примечательных примера непрерывных по Скотту функций: curry и apply.

Нуэль Белнап использовал непрерывность Скотта для расширения логических связок на a четырехзначная логика.

• Топология Александрова
• Верхняя топология

1. ^ Виккерс, Стивен (1989). Топология через логику. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-36062-3.
2. ^Топология Скотта в nLab
3. ^ Скотт, Дана (1972). «Непрерывные решетки». В Ловере, Билл (ред.). Топосы, алгебраическая геометрия и логика. Конспект лекций по математике. 274 . Springer-Verlag.
4. ^ Абрамский, С.; Юнг, А. (1994). «Теория предметной области» (PDF). По Абрамскому, С.; Gabbay, D.M.; Майбаум, Т.С.Э. (ред.). Справочник по логике в компьютерных науках. Vol. III. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853762-5.
5. ^ Бауэр, Андрей и Тейлор, Пол (2009). "Реальные Дедекинда в абстрактной каменной двойственности". Математические структуры в информатике. 19 (4): 757–838. CiteSeerX 10.1.1.424.6069. DOI : 10.1017 / S0960129509007695. Проверено 8 октября 2010 г.
6. ^Барендрегт, H.P. (1984). Лямбда-исчисление. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-87508-2.(см. Теоремы 1.2.13, 1.2.14)
7. ^Н. Белнап (1975) «Как компьютеры должны мыслить», страницы с 30 по 56 в «Современные аспекты философии», Гилберт Райл редактор, Oriel Press ISBN 0-85362- 161-6

• «Топология Скотта». PlanetMath.