Схема для горизонтальных циферблатов

редактировать

A схема для горизонтальных циферблатов - это набор инструкций, используемых для построения горизонтальных солнечных часов с использованием методы построения циркуля и линейки, которые широко использовались в Европе с конца пятнадцатого века до конца девятнадцатого века. Обычные горизонтальные солнечные часы представляют собой геометрическую проекцию экваториальных солнечных часов на горизонтальную плоскость.

Особые свойства (осевого гномона) были впервые известны мавританскому астроному в начале тринадцатого века, и это привело к появлению уже знакомых нам циферблатных пластин, в которых стиль и часовые линии имеют общий корень.

На протяжении веков ремесленники использовали различные методы для разметки часовых линий солнечных часов, используя методы, которые были им знакомы, кроме того, эта тема увлекла математиков и стала предметом изучения. Когда-то обычно преподавалось графическое проецирование, но его заменили тригонометрия, логарифмы, правила скольжения и компьютеры, которые сделали арифметическим расчеты становятся все более тривиальными / Графическая проекция когда-то была основным методом выкладки солнечных часов, но отошла на второй план и теперь представляет только академический интерес.

Первый известный документ на английском языке, описывающий схему для графической проекции, был опубликован в Шотландии в 1440 году, что привело к серии отдельных схем для горизонтальных циферблатов, каждый с характеристиками, которые соответствовали целевой широте и метод строительства того времени.

Содержание

1 Контекст
- 1.1 Базовый расчет
2 Горизонтальные циферблаты
- 2.1 Ранний шотландский метод (1440) Дюрер (1525) Рор (1965)
- 2.2 Бенедетти (1574)
- 2.3 Метод Клавиуса (1586)
- 2.4 Метод Стиррапа (1652)
- 2.5 Метод Беттини (1660)
- 2.6 Лейборн (1669)
- 2.7 Метод Озанама (1673) Мэйалл (1938)
- 2.8 Энциклопедия метод (1771)
- 2.9 de Celles (1760) (1790) Метод Во (1973)
- 2.10 Метод Николсона (1825)
- 2.11 Шкалы набора номера Фостера-Серлеса (1638)
- 2.12 Saphea (As-Saphiah)
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки
- 5.1 Цитаты
- 5.2 Источники

Контекст

Мечеть Омейядов, также известная как Большая мечеть Дамаска

Искусство Разработка солнечных часов заключается в создании циферблата, точно отображающего местное время. Дизайнеры солнечных часов также были очарованы математикой циферблата и возможными новыми способами отображения информации. Современный набор номера начался в десятом веке, когда арабские астрономы сделали великое открытие, что гномон, параллельный оси Земли, будет производить солнечные часы, чьи часовые линии показывают или юридические часы в любой день года: циферблат Ибн аль-Шатира в мечети Омейядов в Дамаске - самый старый циферблат этого типа. Циферблаты этого типа появились в Австрии и Германии в 1440-х годах.

Циферблат может быть выложен прагматичным подходом, наблюдая и отмечая тень через равные промежутки времени в течение дня в каждый день года. Если известна широта, циферблат может быть выложен с использованием методов геометрического построения, основанных на геометрии проекции, или путем расчета с использованием известных формул и тригонометрические таблицы, обычно использующие логарифмы, или правила скольжения, или недавно компьютеры или мобильные телефоны. Линейная алгебра предоставила полезный язык для описания преобразований .

В схеме солнечных часов используется компас и прямая кромка, чтобы в первую очередь вычислить основные углы для этой широты, затем использовать это для рисования часовых линий на циферблате. В современной терминологии это будет означать, что графические методы использовались для получения $sin ⁡ x {\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ и $m tan ⁡ y {\ displaystyle m \ tan y}$ $m \ tan y$ и от него $sin ⁡ x. tan ⁡ y {\ displaystyle \ sin x. \ tan y}$ $\ sin x. \ Tan y$ .

Базовое вычисление

Использование большого листа бумаги.
Начиная с нижней части рисуется горизонтальная линия, а вертикальная - вверх центр. Место их пересечения становится началом O, основанием Гномона.
Горизонтальная линия показывает линию, которая фиксирует размер циферблата. Там, где она пересекает центральную линию, является важная точка построения F
Строительная линия проводится вверх от точки O под углом широты.
Используя квадрат, (опустите линию) проведите линию от F через строительную линию проводится так, чтобы они пересекались под прямым углом. Эта точка E - важная точка построения. Чтобы быть точным, важна именно линия FE, так как она имеет длину $sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ sin \ phi}$ $\ sin \ phi$ .
Используя циркуль или делители, длина FE была скопирована вверх по центральной линии от F. Новая точка построения называется G Линии построения и FE стираются.

Установка шкалы на 52 ° N. Три начальных строки.
Маркировка широты, разметка длины $sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ sin \ phi}$ $\ sin \ phi$ и копирование в G по вертикали.
Касательная: нанесение длины $tan ⁡ θ {\ displaystyle \ tan \ theta}$ $\ tan \ theta$
касательная к синусу: нанесение линий длиной $sin ⁡ ϕ tan ⁡ h {\ displaystyle \ sin \ phi \ tan h}$ $\ sin \ phi \ tan h$ , где h - целое число 0.. 5

Такие геометрические конструкции были хорошо известны и оставались частью учебной программы средней школы (британской гимназии) до Новая математика революция 1970-х.

Схема, показанная выше, использовалась в 1525 году (из более ранней работы 1440 года) Дюрером и используется до сих пор. Более простая схема больше подходила для циферблатов, предназначенных для более низких широт, требующих для конструкции узкого листа бумаги, чем для циферблатов, предназначенных для более высоких широт. Это побудило к поиску других построек.

Горизонтальные шкалы

Первая часть процесса является общей для многих методов. Он устанавливает точку на линии север-юг, которая находится на расстоянии sin φ от линии меридиана.

Ранний шотландский метод (1440 г.) Дюрер (1525 г.) Рор (1965 г.)

Начните с основного метода, показанного выше
От G проводится серия длинных линий под углом 15 ° достаточно, чтобы они пересекали линию через F. Они отмечают часовые точки 1, 2, 3, 4, 5 и 7, 8, 9, 10, 11.
Центр циферблата находится внизу, точка O. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до O, будет часовой линией на законченном циферблате.

Существенной проблемой является ширина бумаги, необходимая в более высоких широтах.

Установка шкалы на 52 ° N. Три начальных строки.
Маркировка широты, разметка длины $sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ sin \ phi}$ $\ sin \ phi$ и копирование в G по вертикали.

Бенедетти (1574)

Бенедетти, бедный дворянин, работал математиком при дворе Саволы. Его книга, описывающая этот метод, была De gnomonum umbrarumque solarium usu, опубликованная в 1574 году. В ней описан метод отображения официальных часов, то есть равных часов, которые мы используем сегодня, в то время как большинство людей все еще использовали неравные часы, которые делили дневное время на 12. равные часы, но они будут меняться с течением года. Метод Бенедеттиса делит квадрант на сегменты по 15 °. Сделаны две конструкции: параллельная горизонтальная линия, определяющая расстояния tan h, и гномоническая полярная линия GT, которая представляет sin φ.

Нарисуйте квадрант GRB с сегментами 15 °. GR является горизонтальным.
Параллельная горизонтальная линия проведена от PE, и сделаны отметки там, где она делит пополам лучи 15 °.
GX - широта. T - точка пересечения с PE. GTE - гномонический треугольник.
Длина GT копируется в нижнюю часть E, давая точку F.
Часовые линии начерчены из F, и циферблат закончен.

Бенедетти включил инструкции по рисованию точечного гномона, чтобы можно было нанести на график неравные часы.

Квадрант с сегментами 15 °.
построение лучей.
Нахождение источника.
Добавление часовых линий.
Циферблат.

Метод Клавиуса (1586)

(Fabica et usus Instrumenti ad horologiorum descriptionem.) Рим, Италия.

Метод Клавиуса смотрит на четверть циферблата. Он рассматривает горизонтальную и перпендикулярную плоскости к полярной оси в виде двух прямоугольников, шарнирно соединенных с верхним краем обоих циферблатов. полярная ось будет на φ градусов к полярной оси, а часовые линии будут равномерно распределены в полярной плоскости на экваториальном циферблате. (15 °). Часовые точки на полярной плоскости соединятся с совпадающей точкой на горизонтальной плоскости. Горизонтальные часовые линии откладываются до начала координат.

Нарисуйте гномический треугольник, лежащий на нем гипотенузу.
На маленькой стороне нарисуйте (экваториальный) квадрат с разметкой 15 ° часов.
Циферблат построен с помощью циркуля. беря его размеры из треугольника.
Часовые линии 12, 3 и 6 известны. Часовые линии 1 и 2 взяты со стороны квадрата.
Диагональ берется от 12 до 6, и параллельные ей прямые проходят через 1 и 2, что дает 5 и 4
Утренний циферблат является отражением этого.

Метод Стиррапа (1652)

От G проведена серия линий, разнесенных на 15 °, достаточно длинных, чтобы они пересекали линию через F. Эти отметки отмечают часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
Центр циферблата находится внизу, точка O. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до O, будет часовой линией на закончил циферблат.

Выставляем циферблат на 52 ° с. Три начальных строки.
Маркировка широты, разметка длины $sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ sin \ phi}$ $\ sin \ phi$ и копирование в G по вертикали.
Отливка из G $tan ⁡ h sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ tan h \ sin \ phi}$ $\ tan h \ sin \ phi$ по горизонтали.
Фактические часовые линии 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
Строительные линии удалены.
Определение угла для 4 и 5.
Чертеж 4 и 5.
Строительные линии удалены. Готовая циферблат на 52 ° с. Стирруп (1652)

Метод Беттини (1660)

Иезуит Марио Беттини разработал метод, который был посмертно опубликован в книге Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima 1660.

Нарисуйте гномонический треугольник с гипотенузой напротив линии меридиана и направьте φ вниз, C. Другая точка, обозначенная M, обозначенная прямым углом G.
Горизонтальная линия проведена через M, это равноденствие
Нарисована окружность с центром в точке M и радиусом MG. G2 и G3 - это точки пересечения окружности и меридиана.
В верхних квадрантах точки отмечены каждые 30 °. Две из них названы P, Q.
Строительные линии проводятся от G2 и G3 через P и Q - отмечены пересечения с равноденствием.
В завершение через эти точки от C, и циферблат возведен в квадрат.

Метод Беттини 1660
Гномонический треугольник
Круг, отмеченный каждые 30 °
Строительные линии
Часовые линии, проведенные к началу координат
Циферблат

Лейборн (1669)

Уильям Лейборн опубликовал свое «Искусство набора номера» в 1669 году, в котором использовался шестиступенчатый метод. Его описание в значительной степени опирается на термин строка аккордов, который в современном списке набора заменяется на транспортир. Линия аккордов представляла собой шкалу, найденную в секторе , которая использовалась вместе с набором разделителей или циркуля. Он использовался мореплавателями до конца XIX века.

Нарисуйте круг и два его основных диаметра: E – W и S – N (сверху вниз). O - их точка пересечения или начало координат.
Используя шкалу хорд или транспортир, отложите две линии: «0a», что на 52 ° от OS, и «0b», что на 52 ° от OW. (они будут под прямым углом. Важны точки «a» и «b».
Нарисуйте прямую линию, соединяющую E с «a», она пересекает SN (меридиональная линия) в точке P, который называется полюсом мира. Теперь соедините E с "a", он соединит AE. Эта точка важна, так как именно здесь меридиан пересекает равноденственный круг. Точки E, AE и W лежат на равноденственном круге.. Следующая задача - использовать эту информацию, чтобы найти центр и нарисовать круг. Используйте вспомогательную линию, чтобы соединить AE и W. В центральной точке поднимите линию под прямым углом. Там, где она пересекает SN (меридиан) будет C, центром равноденственного круга. Используйте C, чтобы нарисовать дугу от E до W, она пройдет через AE.
Теперь полукруг проходит через E и W, а дуга равноденствия проходит через E и W. Разделите полукруг на 12 равных частей, то есть на углы 15 °. Отметьте «точку построения».
Линейка соединяет точку O с точками на полукруге. Эти линии пересекают равноденствия al arc: создается серия неравных точек («маркеров»).
Линейка от P (полюса мира) переносит линию от этих маркеров обратно через полукруг. Где он сокращается, это будет «часовая точка»; эти часовые точки расположены неравномерно.
Часовые линии проводятся от каждой из этих «часовых точек» до начала координат. Исток - основа стиля, срезанного под углом 52 °.

Метод Озанама (1673), Mayall (1938)

Для этого метода требуется гораздо меньший лист бумаги, что является большим преимуществом для более высоких широт.

От G проведена серия линий, разнесенных на 15 °, достаточно длинных, чтобы они пересекали линию, проходящую через F. Они отмечают часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3 и представляют точки $tan ⁡ час грех ⁡ ϕ {\ displaystyle \ tan h \ sin \ phi}$ $\ tan h \ sin \ phi$ .
Центр циферблата находится внизу, точка O. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до O, будет часовой линией на законченном циферблате.
Линии через 9 и 3 продолжаются до линии WE, а линия перпендикулярно от 9 и 3 к линии WE, назовите точки пересечения W 'и E'. От W и E еще две линии проводятся на расстоянии 15 ° друг от друга, они пересекают вертикали, образуя часовые точки 7, 8 и 4, 5. Линии от 0 до этих часовых точек являются часовыми линиями на последнем циферблате. из шкалы на 52 ° с. Три начальных строки.
Обозначение широты, длина $sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ sin \ phi}$ $\ sin \ phi$ и копирование в G по вертикали.
Отливка из G $tan ⁡ h sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ tan h \ sin \ phi}$ $\ tan h \ sin \ phi$ по горизонтали.
Фактические часовые линии 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
Строительные линии удалены.

Энциклопедический метод (1771)

Этот метод использует свойства хорд для определения расстояния $м. sin ⁡ θ {\ displaystyle m. \ sin \ theta}$ $м. \ sin \ theta$ в верхнем квадранте, а затем переносит это расстояние в нижний квадрант, так что $sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ phi \ sin \ theta}$ $\ sin \ phi \ sin \ theta$ установлен. Опять перенос этой меры на хорды в верхнем квадранте. Последние строки устанавливают формулу $загар ⁡ κ = {\ displaystyle \ tan \ kappa =}$ $\ tan \ kappa =$ $sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ theta \ sin \ phi \ over \ cos \ theta}$ $\ sin \ theta \ sin \ phi \ over \ cos \ theta$ = $tan ⁡ θ sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ tan \ theta \ sin \ phi}$ $\ tan \ theta \ sin \ phi$

Затем симметрично переносится на все квадранты. Он использовался в Британской энциклопедии Первое издание 1771 г., шестое издание 1823 г.

Гномон сначала нарисован по линии север-юг. При этом рисуется диаметр под углом φ градусов к вертикали; его отражение также будет необходимо.
Окружность размечена с интервалом 15 ° в верхних квадрантах. Рисуются хорды, параллельные горизонтали (длина этих хорд будет sin Θ.
Измерение каждого хорды переносится на шкалу по нижним радиусам. При соединении эти точки образуют серию параллельных линий которые имеют длину sin θ. sin φ.
Эти измерения переносятся до хорды.
Последние часовые линии проводятся от исходных точек через эти точки пересечения. ( $tan ⁡ κ знак равно {\ displaystyle \ tan \ kappa =}$ $\ tan \ kappa =$ $грех ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ {\ displaystyle \ sin \ theta \ sin \ phi \ over \ cos \ theta}$ $\ sin \ theta \ sin \ phi \ over \ cos \ theta$ = $tan ⁡ θ sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ tan \ theta \ sin \ phi}$ $\ tan \ theta \ sin \ phi$ )

Нарисуйте гномон и диаметры под заданным углом.
Отметьте верхние квадранты под углом 15 ° и соедините их хордами
Перенесите полухорды длину до нижнего радиуса и проведите поперек.
Поднимите вертикали.
Проведите часовую линию через пересечения.
Полученный циферблат для 52 °.

de Celles (1760) (1790) Метод Во (1973)

Дом Франсуа Бедо де Се lles метод (1760), иначе известный как метод Waugh (1973)

От G проводится серия линий, разнесенных на 15 °, достаточно длинных, чтобы они пересекали линию через F. Этим отмечены часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, если вы возьмете всего 3 и представите точки $tan ⁡ h sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ tan h \ sin \ phi}$ $\ tan h \ sin \ phi$ .
Центр циферблата находится в внизу, точка O. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до O, будет часовой линией на законченном циферблате.
Если бумага достаточно большая, описанный выше метод работает с 7 по 12, и 12 до 5, а значения до и после 6 рассчитываются симметрично. Однако есть другой способ разметки 7 и 8, 4 и 5. Назовите точку, где 3 пересекает линию R, и проведите линию под прямым углом к базовой линии. Назовите эту точку W. Используйте вспомогательную линию, чтобы соединить W и F. Во назовет точки пересечения линиями часов K, L, M.
С помощью циркуля или разделителя добавьте еще две точки к этой линии N и P, так что расстояния MN = ML, а MP = MK. Отсутствующие часовые линии проведены от O до N и через P. Строительные линии стираются.

Разметка шкалы на 52 ° N. Три начальных строки.
Маркировка широты, разметка длины $sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ sin \ phi}$ $\ sin \ phi$ и копирование в G по вертикали.
Отливка из G $tan ⁡ h sin ⁡ ϕ {\ displaystyle \ tan h \ sin \ phi}$ $\ tan h \ sin \ phi$ по горизонтали.
Фактические часовые линии 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
Строительные линии удалены.
Построение линий 7, 8, 4, 5
Обозначение линий 7, 8, 4, 5
Готовая циферблата для 52 ° с. Бедос де Селлес (1790)

Метод Николсона (1825)

Этот метод впервые появился в популярном курсе чистой и смешанной математики Питера Николсона в 1825 году. Он был скопирован School World в июне 1903 года, затем в "Солнечные часы и сферы" Кеннета Линча, 1971. Он начинается с рисования хорошо известного треугольника и берет вершины, чтобы нарисовать две окружности с радиусами (OB) sin φ и (AB) tan φ. Проведены линии 15 °, пересекающие эти круги. Линии взяты по горизонтали, а по вертикали от этих кругов и их точка пересечения (OB sin t, AB cos t) находится на часовой линии. То есть tan κ = OB sin t / AB cos t, что сводится к sin φ. загар т.

Нарисуйте линию NS и линию EW, пересекающуюся в начале O. В удобной точке в первом квадранте соедините оси линией, установленной под целевым углом. Это образует основной треугольник OAB.
Установите циркуль на длину OB и начертите круг. Установите циркуль на AB и начертите концентрический круг. На обоих этих кругах отметьте углы 15 °.
Проведя линии вертикально от внутреннего круга и по горизонтали от внешнего круга, отметьте каждое из пересечений. Это на часовых линиях.
Соедините точки пересечения с началом координат.

Основной треугольник
Круги
Измерение 15 °
Точки пересечения
Завершенные циферблат

Шкала набора номера Фостера-Серлеса (1638)

На циферблате нарисован прямой угол, а шкала широты отложена относительно оси X.
Целевая точка широты отмечена поперек на циферблат. Часовая шкала помещается от этой точки до полуденной линии (обычно нулевая точка находится на полуденной линии).
Каждая из часовых точек копируется на циферблат, и эта процедура повторяется, давая часам обе стороны полудня. Прямая кромка используется для соединения этих точек с началом координат, таким образом рисуя часовые линии для этого местоположения.
Вертикальная линия от точки целевой широты и горизонтальная линия, проходящая через полуденную точку, будет делить пополам три точки. -часовой (9: 00–15: 00) маркер.
Стиль будет под тем же углом, что и широта.

Сафия (Ас-Сафия)

Это был ранний и удобный способ используйте, если бы у вас был доступ к астролябии столько же астрологов и математиков того времени. Метод заключался в копировании проекций небесной сферы на плоскую поверхность. Была проведена вертикальная линия с линией под углом к широте, проведенной на пополам вертикали с небесной сферой.

См. Также

Примечания

Ссылки

Цитаты

Источники

Durell, Климент V (1921). Геометрия. Издатель G.Bell And Sons Limited. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Bédos de Celles, Francois (1760). "4-3". La Gnomonique pratique ou l'Art de tracer les cadrans solaires avec la plus grande précision (на французском языке) (3-е изд.). Paris. p. 459. Проверено 12 июля 2015 г. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Дэвис, Джон (июнь 2014 г.). «Гравировка на английском - горизонтальные циферблаты» (PDF). Бюллетень. Британское общество солнечных часов. 26 (ii): 48–52. ISSN 0958-4315. Проверено 3 июля 2015 г. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Rohr, René RJ; с предисловием Анри Мишеля; перевод Габриэля Годена (1996). Солнечные часы: история, теория и практика (издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Dover Publications. Pp. 142. ISBN 0-486-29139-1. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Сойер, Фред (1995). «Шкалы набора номера Serle». Compendium. Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 2 (2): 5.
Сойер, Фред (2012) ". Горизонтальные схемы 1–4 ". Компендиум. Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 19 (1): 33.
Сойер, Фред (2012). «Горизонтальные схемы 6». Компендиум. Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 19 (3): 36–7.
Сойер, Фред (2012). «Горизонтальные схемы 7». Компендиум. Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 19 (4): 39.
Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные схемы 8 - Метод Клавиуса». Компендиум. Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 20 (1): 31. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (редактор). »Горизонтальные схемы 9 - Метод Бенедетти ". Сборник. Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 20 (2): 37.
Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (редактор). Layouts 10 - Saphea Method ". Compendium. Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 20 (3): 39.
Gunella, Alessandro (2013). Sawyer, Fred (ed.). «Горизонтальные схемы 11 - все еще метод для горизонтальных солнечных часов». Компендиум. Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 21 (3): 13.
Пауэрс, Патрик (2012). Сойер, Фред (редактор). "Horizontal Layouts 5 - Leybourns Method". Compendium. Glastonbury, CT, USA: North American Sundial Society. 19 (2): 4.
Во, Альберт E. (1973). Солнечные часы: их теория и конструкция. New York: Dover. Pp. 38–39. ISBN 0486229475. CS1 maint: ref = harv (ссылка )