Обычное простое число

Нерешенная математическая проблема :. Существует ли бесконечно много обычных простых чисел, и если да, то их относительная плотность $e\; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; 1/2\}\}$?(больше нерешенных задач в математике)

В теории чисел обычное простое число является особым разновидность простого числа, определенного Эрнстом Куммером в 1850 году для доказательства некоторых случаев Великой теоремы Ферма. Обычные простые числа могут быть определены через делимость либо номеров классов, либо чисел Бернулли.

Первые несколько регулярных нечетных простых чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199,... (последовательность A007703 в OEIS ).

• 1 История и мотивация
• 2 Определение
  • 2.1 Критерий номера класса
  • 2.2 Критерий Куммера
• 3 Гипотеза Зигеля
• 4 Неправильные простые числа
  • 4.1 Бесконечность
  • 4.2 Неправильные пары
  • 4.3 Неправильный индекс
• 5 Обобщения
  • 5.1 Неправильные простые числа Эйлера
  • 5.2 Сильные неправильные простые числа
  • 5.3 Слабые неправильные простые числа
    • 5.3.1 Слабые неправильные пары
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

В 1850 году Куммер доказал, что Великая теорема Ферма верна для простого показателя p, если p регулярное. Это сосредоточило внимание на том, что е неправильные простые числа. В 1852 году Дженокки смог доказать, что первый случай Великой теоремы Ферма верен для показателя p, если (p, p - 3) не является неправильной парой. Куммер еще больше улучшил это в 1857 году, показав, что для «первого случая» Великой теоремы Ферма (см. теорему Софи Жермен ) достаточно установить, что либо (p, p - 3), либо (p, p - 5) не может быть неправильной парой.

Куммер нашел неправильные простые числа меньше 165. В 1963 году Лемер сообщил о результатах до 10000, а Селфридж и Поллак объявили в 1964 году, что завершили таблицу неправильных простых чисел до 25000. Хотя две последние таблицы этого не сделали. появляются в печати, Джонсон обнаружил, что (p, p - 3) на самом деле является неправильной парой для p = 16843 и что это первый и единственный раз, когда это происходит для p < 30000. It was found in 1993 that the next time this happens is for p = 2124679; see простого числа Вольстенхолма.

Критерий номера класса

Нечетное простое число p определяется как регулярное, если оно не делит номер класса p-го циклотомического поля Q(ζp), где ζ p - это примитивный корень p-й степени из единицы, он указан в OEIS : A000927. Простое число 2 также часто считается правильным.

номер класса кругового поля - это количество идеалов кольца целых чисел Z(ζp) с точностью до эквивалентности. Два идеала I, J считаются эквивалентными, если в Q(ζp) существует ненулевое u, так что I = uJ.

Критерий Куммера

Эрнст Куммер (Куммер 1850) показал, что эквивалентным критерием регулярности является то, что p не делит числитель любого из чисел Бернулли. Bkдля k = 2, 4, 6,…, p - 3.

Доказательство Куммера, что это эквивалентно определению числа классов, усилено теоремой Эрбрана – Рибета, который утверждает некоторые последствия деления p одного из этих чисел Бернулли.

Была гипотеза, что существует бесконечно регулярных простых чисел. Точнее Карл Людвиг Сигель (1964) предположил, что e, или около 60,65% всех простых чисел, регулярны в асимптотике смысл естественной плотности. На сегодняшний день ни одна из гипотез не доказана.

Нечетное простое число, которое не является правильным, - это неправильное простое число (или нерегулярное простое число Бернулли или B-неправильное число, чтобы отличить от других типов или неправильностей, обсуждаемых ниже). Первые несколько неправильных простых чисел:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593,... (последовательность A000928 в OEIS )

Бесконечность

(неизвестный ученик Нильсена ) в 1915 году доказал, что существует бесконечно много неправильных простых чисел формы 4n + 3. В 1954 году Карлитц дал простое доказательство более слабого результата о том, что неправильных простых чисел, вообще говоря, бесконечно много.

Метсянкюля доказал, что для любого целого T>6 существует бесконечно много неправильных простых чисел не вида mT + 1 или mT - 1.

Нерегулярные пары

Если p - неправильное простое число и p делит числитель числа Бернулли B 2k на 0 < 2k < p − 1, then (p, 2k) is called an неправильную пару . Другими словами, нерегулярная пара - это средство учета для нерегулярного простого числа p, конкретных индексов чисел Бернулли, при которых нарушается регулярность. Первые несколько неправильных пар (если они упорядочены по k):

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22)), (593, 22), (103, 24), (2294797, 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28),... (последовательность A189683 в OEIS ).

Наименьшее четное k такое, что n-е нерегулярное простое деление B k равно

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, ​​126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22,... (последовательность A035112 в OEIS )

Для данного простого числа p количество таких пар называется индексом неправильности числа p. Следовательно, простое число является правильным тогда и только тогда, когда его индекс неправильности равен нулю. Точно так же простое число является неправильным тогда и только тогда, когда его индекс неправильности положительный.

Было обнаружено, что (p, p - 3) на самом деле является неправильной парой для p = 16843, а также для p = 2124679. Больше нет вхождений для p < 10.

неправильный индекс

Нечетное простое число p имеет неправильный индекс n тогда и только тогда, когда существует n значений k, для которых p делит B 2k и эти ks равны меньше чем (p - 1) / 2. Первое нерегулярное простое число с неправильным индексом больше 1 - это 157, которое делит B 62 и B 110, поэтому оно имеет неправильный индекс 2. Очевидно, что число неправильный индекс обычного простого числа равен 0.

Неправильный индекс n-го простого числа равен

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0,... (Начните с n = 2 или простого числа = 3) (последовательность A091888 в OEIS )

Неправильный индекс n-го неправильного простого числа равен

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1,... (последовательность A091887 в OEIS )

Простые числа с нерегулярным индексом 1:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971,... (последовательность A073276 в OEIS )

Простые числа с нерегулярным индексом 2 равны

157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957,... (последовательность A073277 в OEIS )

Простые числа, имеющие нерегулярный индекс 3, равны

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869,... (последовательность A060975 в OEIS )

Наименьшими числами, имеющими нерегулярный индекс n, являются

2, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481,... (последовательность A061576 в OEIS ) (Эта последовательность определяет «неправильный индекс 2 "как -1, а также начинается с n = -1.)

нерегулярные простые числа Эйлера

Аналогичным образом мы можем определить нерегулярные простые числа Эйлера (или E-неправильное) как простое число p, которое делит по крайней мере одно число Эйлера E2nна 0 < 2n ≤ p − 3. The first few Euler irregular primes are

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587,... (последовательность A120337 в OEIS )

Неправильные пары Эйлера:

(61, 6), (277, 8), (19, 10), ( 2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28),...

Вандивер доказал, что Последняя теорема Ферма ( x + y = z) не имеет решения для целых чисел x, y, z с НОД (xyz, p) = 1, если p эйлерово обычный. Гут доказал, что x + y = z не имеет решения, если p имеет индекс E-неправильности меньше 5.

Было доказано, что существует бесконечное количество E-неправильных простых чисел. Был получен более сильный результат: существует бесконечное количество E-нерегулярных простых чисел , конгруэнтных 1 по модулю 8. Как и в случае B-регулярных простых чисел Куммера, пока нет доказательства того, что существует бесконечно много E -регулярные простые числа, хотя это, вероятно, так.

Сильные нерегулярные простые числа

Простое число p называется сильным нерегулярным, если оно одновременно B-нерегулярно и E-нерегулярно (индексы чисел Бернулли и Эйлера, которые делятся на p может быть одинаковым или различным). Первые несколько сильных неправильных простых чисел:

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439,... (последовательность A128197 в OEIS )

Доказать Великую теорему Ферма для сильного иррегулярного простого числа p труднее (поскольку Куммер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для B-регулярных простых чисел, Вандивер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для E-регулярных простых чисел), наиболее сложным является то, что p не только сильное неправильное простое число, но и 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1 и 16p + 1 также являются составными (Лежандр доказал первый случай Великой теоремы Ферма для простых чисел p, таких, что хотя бы одно из 2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1 и 16p + 1 простое число), первые несколько таких p - это

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283,...

Слабый нерегулярный приц. mes

Простое число p является слабым нерегулярным, если оно либо B-нерегулярное, либо E-нерегулярное (или оба). Первые несколько слабых неправильных простых чисел:

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593,... (последовательность A250216 в OEIS )

Как и неравномерность Бернулли, слабая регулярность относится к делимость номеров классов круговых полей. Фактически, простое число p является слабым иррегулярным тогда и только тогда, когда p делит номер класса 4p-го кругового поля Q(ζ4p).

Слабые неправильные пары

В этом разделе «a n » означает числитель n-го числа Бернулли, если n четное, «a n "означает (n - 1)-е число Эйлера, если n нечетное (последовательность A246006 в OEIS ).

Так как для каждого нечетного простого числа p, p делит p тогда и только тогда, когда p конгруэнтно 1 по модулю 4, и поскольку p делит знаменатель (p - 1) -го числа Бернулли для каждого нечетного простого числа p, поэтому для любого нечетного простого числа p число p не может делить p - 1. Кроме того, если и только если нечетное простое число p делит a n (и 2p не делит n), то p также делит n + k (p - 1) (если 2p делит n, тогда предложение следует изменить на «p также делит a n + 2kp ». Фактически, если 2p делит n и p (p - 1) не делит n, то p делит a n.) Для каждого целого числа k (условие: n + k (p - 1) должно быть>1). Например, поскольку 19 делит 11, а 2 × 19 = 38 не делит 11, поэтому 19 делит 18k + 11 для всех k. Таким образом, определение неправильной пары (p, n), n должно быть не более p - 2.

В следующей таблице показаны все неправильные пары с нечетным простым p ≤ 661:

Единственные простые числа ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 3 - это 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 и 929. Кроме того, 491 - это только простое число меньше 1000 со слабым нерегулярным индексом 4 и все другие нечетные простые числа ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 0, 1 или 2. (слабый нерегулярный индекс определяется как «количество целых чисел 0 ≤ n ≤ p - 2 такие, что p делит a n)

В следующей таблице показаны все неправильные пары с n ≤ 63: (To g и эти нерегулярные пары, нам нужно только факторизовать n. Например, a 34 = 17 × 151628697551, но 17 < 34 + 2, so the only irregular pair with n = 34 is (151628697551, 34)) (for more information (even ns up to 300 and odd ns up to 201), see)

n	простых чисел p ≥ n + 2 таких, что p делит n	n	простые числа p ≥ n + 2, такие что p делит n
0		32	37, 683, 305065927
1		33	930157, 42737921, 52536026741617
2		34	151628697551
3		35	4153, 8429689, 2305820097576334676593
4		36	26315271553053477373
5		37	9257, 73026287, 25355088490684770871
6		38	154210205991661
7	61	39	23489580527043108252017828576198947741
8		40	137616929, 1897170067619
9	277	41	763601, 52778129, 359513962188687126618793 <>	1520097643918070802691
11	19, 2659	43	137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
12	691	44	59, 8089, 2947939, 1798482437
13	43, 967	45	587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
14		46	383799511, 67568238839737
15	47, 4241723	47	285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
16	3617	48	653, 56039, 153289748932447906241
17	22813543754	49	5516994249383296071214195242422482492286460673697
18	43867	50	417202699, 47464429777438199
19	79, 349, 87224971	51	5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
20	283, 617	52	577, 58741, 401029177, 4534045619429
21	41737, 354957173	53	1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083283282746263743638619
22
22 95>131, 593	54	39409, 660183281, 1120412849144121779
23	31, 1567103, 1427513357	55	2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
24	103, 2294797	56	113161, 163979, 19088082706840550550313 <34995>25	57	5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
26	657931	58	67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
27	67, 6100108222825558048	59	1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
28	9349, 362903	60	2003, 5549927, 1093179262423495098>	71, 30211, 2717447, 77980901	61	6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
30	1721, 1001259881		55>	157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
31	15669721, 28178159218598921101	63	101, 6863, 418739, 104237651, 916963921739317332942155295145329329429169163921739317429169163921743293294291691639217393173 В следующей таблице показаны неправильные пары (p, p - n) (n ≥ 2), это предположение о том, что существует бесконечно много неправильных пар (p, p - n) для каждого натурального числа n ≥ 2, но для фиксированный n. Для некоторых значений n даже такое простое число p неизвестно. n простые числа p, такие что p делит p - n (эти p проверены до 20000) OEIS последовательность 2 149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319,... A198245 3 16843, 2124679,... A088164 4 ... 5 37,... 6 ... 7 ... 8 19, 31, 3701,... 9 67, 877,... A212557 10 139,... 11 9311,... 12 ... 13 ... 14 ... 15 59, 607,... 16 1427, 6473,... 17 2591,... 18 ... 19 149, 311, 401, 10133,... 20 9643,... 21 8369,... 22 ... 23 ... 24 17011,... 25 ... 26 ... 27 ... 28 ... 29 4219, 9133,... 30 43, 241,... 31 3323,... 32 47,... 33 101, 2267,... 34 461,... 35 ... 36 1663,... 37 ... 38 101, 5147,... 39 3181, 3529,... 40 67, 751, 16007,... 41 773,... См. Также Прайм Вольстенхолма Ссылки Дополнительная литература Kummer, EE (1850), «Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x + y = z durch ganze Zahlen unlösbar ist, für all diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3) / 2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen ", J. Reine Angew. Math., 40 : 131–138 Зигель, Карл Людвиг (1964), «Zu zwei Bemerkungen Kummers», Nachrichten der Akademie der Wissenschaften в Геттингене, 1964 : 51–57, MR 0163899 Iwasawa, K.; Sims, CC (1966), «Вычисление инвариантов в теории круговых полей», Journal of the Mathematical Society of Japan, 18 (1): 86–96, doi : 10.2969 / jmsj / 01810086 Вагстафф, младший, СС (1978), «Нерегулярные простые числа для 125000», Математика вычислений, 32(142): 583–591, doi : 10.2307 / 2006167, JSTOR 2006167 Granville, A.; Монаган, МБ (1988), «Первый случай Великой теоремы Ферма верен для всех простых экспонентов до 714 591 416 091 389», Труды Американского математического общества, 306 (1): 329–359, doi : 10.1090 / S0002-9947-1988-0927694-5, MR 0927694 Гардинер А. (1988), «Четыре задачи о делимости простой степени», American Mathematical Monthly, 95 (10): 926–931, doi : 10.2307 / 2322386, JSTOR 2322386 Ernvall, R.; Метсянкюля, Т. (1991), «Циклотомические инварианты для простых чисел от 125000 до 150000», Математика вычислений, 56(194): 851–858, doi : 10.2307 / 2008413 Ernvall, R.; Метсянкюля, Т. (1992), «Циклотомические инварианты для простых чисел до одного миллиона» (PDF), Математика вычислений, 59 (199): 249–250, doi : 10.2307 / 2152994 Бюлер, JP; Crandall, R.E.; Сомпольски, Р. У. (1992), «Неправильные простые числа до одного миллиона», Математика вычислений, 59(200): 717–722, doi : 10.2307 / 2153086 Бойд, DW (1994), «p-адическое исследование частных сумм гармонического ряда», экспериментальная математика, 3(4): 287–302, doi : 10.1080 / 10586458.1994.10504298, Zbl 0838.11015 Шокроллахи, Массачусетс (1996), Вычисление нерегулярных простых чисел до Восемь миллионов (предварительный отчет), технический отчет ICSI, TR-96-002 Бюлер, Дж.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T.; Шокроллахи, Массачусетс (2001), «Нерегулярные простые числа и циклотомические инварианты до 12 миллионов», Журнал символических вычислений, 31 (1-2): 89–96, doi : 10.1006 / jsco.1999.1011 Ричард К. Гай (2004), «Раздел D2. Проблема Ферма», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag, ISBN 0-387-20860-7 Виллегас, Франция (2007), Экспериментальная теория чисел, Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 166–167, ISBN 978-0-19-852822-7 Внешние ссылки Вайсштейн, Эрик У. «Нерегулярное простое число». MathWorld. Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​регулярное простое число на Prime Pages. Кит Конрад, последняя теорема Ферма для регулярных простых чисел. нерегулярное простое число Бернулли Неправильное простое число Эйлера Неправильное простое число Бернулли и Эйлера. Факторизация чисел Бернулли и Эйлера Факторизация чисел Бернулли и Эйлера Последняя правка сделана 2021-06-03 11:57:42 Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное). Обратная связь: support@alphapedia.ru Соглашение О проекте