Теорема Гербрана – Рибета

редактировать

Результат на группе классов определенных числовых полей, усиливающий теорему Эрнста Куммера

В математике теорема Хербрана – Рибета является результатом на группа классов определенных числовых полей. Это усиление теоремы Эрнста Куммера о том, что простое число p делит номер класса кругового поля p-го корни из единицы тогда и только тогда, когда p делит числитель n-го числа Бернулли Bnдля некоторого n, 0 < n < p − 1. The Herbrand–Ribet theorem specifies what, in particular, it means when p divides such an Bn.

Содержание

1 Утверждение
2 Доказательства
3 Обобщения
4 См. Также
5 Примечания

Утверждение

Группа Галуа Δ кругового поля pth корней из единицы для нечетного простого числа p, Q (ζ) с ζ = 1, состоит из элементов группы p - 1 σ a, где $σ a (ζ) знак равно ζ a {\ displaystyle \ sigma _ {a} (\ zeta) = \ zeta ^ {a}}$ $\ sigma _ {a} (\ zeta) = \ zeta ^ {a}$ . Как следствие маленькой теоремы Ферма, в кольце целых p-адических чисел $Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ $\ mathbb {Z} _ {p}$ у нас есть p - 1 корней из единицы, каждый из которых по модулю p конгруэнтен некоторому числу в диапазоне от 1 до p - 1; поэтому мы можем определить символ Дирихле ω (символ Тейхмюллера) со значениями в $Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ $\ mathbb {Z} _ {p}$ , потребовав это для n, взаимно простое с p, ω (n) сравнимо с n по модулю p. Часть p группы классов является модулем $Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ $\ mathbb {Z} _ {p}$ (поскольку он является p-первичным), следовательно, модулем над групповое кольцо $Z p [Δ] {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [\ Delta]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [\ Delta]}$ . Теперь определим идемпотентные элементы группового кольца для каждого n от 1 до p - 1, как

ϵ n = 1 p - 1 ∑ a = 1 p - 1 ω (a) n σ a - 1. {\ displaystyle \ epsilon _ {n} = {\ frac {1} {p-1}} \ sum _ {a = 1} ^ {p-1} \ omega (a) ^ {n} \ sigma _ {a } ^ {- 1}.}

\ epsilon _ {n} = {\ frac {1} {p-1}} \ sum _ {{a = 1}} ^ {{p-1} } \ omega (a) ^ {n} \ sigma _ {a} ^ {{- 1}}.

Легко видеть, что $∑ ϵ n = 1 {\ displaystyle \ sum \ epsilon _ {n} = 1}$ $\ sum \ epsilon _ {n} = 1$ и $ϵ я ϵ j знак равно δ ij ϵ я {\ displaystyle \ epsilon _ {i} \ epsilon _ {j} = \ delta _ {ij} \ epsilon _ {i}}$ $\ epsilon _ {i} \ epsilon _ {j} = \ delta _ {{ij}} \ epsilon _ {i}$ где $δ ij { \ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ { ij}$ - это дельта Кронекера. Это позволяет нам разбить p-часть идеальной группы классов G в Q (ζ) с помощью идемпотентов; если G - идеальная группа классов, то, полагая G n = ε n (G), мы имеем $G = ⊕ G n {\ displaystyle G = \ oplus G_ {n}}$ $G = \ oplus G_ {n}$ .

Теорема Эрбрана – Рибета утверждает, что для нечетного n G n нетривиально тогда и только тогда, когда p делит число Бернулли B p − n.

Теорема делает нет утверждения о четных значениях n, но не существует известного p, для которого G n нетривиально для любого четного n: тривиальность для всех p была бы следствием гипотезы Вандивера.

Доказательства

Часть, в которой говорится, что p делит B p − n, если G n нетривиальна, принадлежит Жаку Эрбранду. Обратное, что если p делит B p − n, то G n нетривиально, связано с Кеннетом Рибетом и значительно труднее. Согласно теории полей классов, это может быть истинным, только если существует неразветвленное расширение поля корней p-й степени из единицы с помощью циклического расширения степени p, которое ведет себя указанным образом под действием Σ; Рибет доказывает это, фактически построив такое расширение, используя методы теории модульных форм. Более элементарное доказательство обращения Рибета к теореме Хербрана, являющегося следствием теории систем Эйлера, можно найти в книге Вашингтона.

Обобщения

методы Рибета были продвинуты. далее Барри Мазур и Эндрю Уайлс, чтобы доказать главную гипотезу теории Ивасавы, следствием которой является усиление теоремы Хербрана – Рибета: степень p деления B p − n в точности равна степени p деления порядка G n.

См. также

теория Ивасавы

Примечания