Псевдовыпуклая функция

В выпуклом анализе и вариационном исчислении, разделах математики, псевдовыпуклая функция - это функция, которая ведет себя как выпуклая функция в отношении поиска своих локальных минимумов, но требует на самом деле не быть выпуклым. Неформально дифференцируемая функция является псевдовыпуклой, если она возрастает в любом направлении, где она имеет положительную производную по направлению.

• 1 Формальное определение
• 2 Свойства
• 3 Обобщение на недифференцируемые функции
• 4 Связанные понятия
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Формально, дифференцируемая функция с действительным знаком $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$определено на (непустом) выпуклом открытом множестве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в конечномерном евклидовом пространстве $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$называется псевдовыпуклой, если для всех $x,\; y\; \in \; X\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; X\}$так, что $\nabla \; е\; (x)\; \cdot \; (y\; -\; x)\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\; (x)\; \backslash \; cdot\; (yx)\; \backslash \; geq\; 0\; \}$, мы имеем $f\; (y)\; \ge \; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (y)\; \backslash \; geq\; f\; (x)\}$. Здесь $\nabla \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\}$- это градиент из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, определяемый

$\nabla \; f\; =\; (\partial \; f\; \partial \; x\; 1,\dots ,\; \partial \; f\; \partial \; xn).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Каждая выпуклая функция является псевдовыпуклой, но обратное неверно. Например, функция ƒ (x) = x + x является псевдовыпуклой, но не выпуклой. Любая псевдовыпуклая функция квазивыпуклая, но обратное неверно, поскольку функция ƒ (x) = x квазивыпуклая, но не псевдовыпуклая. Псевдовыпуклость представляет интерес в первую очередь потому, что точка x * является локальным минимумом псевдовыпуклой функции ƒ тогда и только тогда, когда она является стационарной точкой из ƒ, то есть градиентом обращается в нуль в точке x *:

$\nabla \; f\; (x\; \ast )\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\; (x\; ^\; \{*\})\; =\; 0.\}$

Понятие псевдовыпуклости можно обобщить на недифференцируемые функции следующим образом. Для любой функции ƒ: X → R мы можем определить верхнюю производную Дини функции ƒ как

$f\; +\; (x,\; u)\; =\; lim\; sup\; h\; \to \; 0\; +\; f\; (x\; +\; ху)\; -\; е\; (х)\; час\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{+\}\; (x,\; u)\; =\; \backslash \; limsup\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; hu)\; -f\; (x)\}\; \{h\}\}\}$

где u - любой единичный вектор. Функция называется псевдовыпуклой, если она возрастает в любом направлении, где верхняя производная Дини положительна. Точнее, это характеризуется в терминах субдифференциала ∂ следующим образом:

• Для всех x, y ∈ X, если существует x * ∈ ∂ƒ (x) такой, что $⟨X\; \ast ,\; y\; -\; x⟩\; \ge \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\; ^\; \{*\},\; yx\; \backslash \; rangle\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash ,,\}$, тогда ƒ (x) ≤ ƒ (z) для всех z на отрезке, примыкающем к x и y.

A псевдовогнутая функция - это функция, отрицательная величина которой является псевдовогнутой. Псевдолинейная функция - это функция, которая одновременно является псевдовыпуклой и псевдовогнутой. Например, дробно-линейные программы имеют псевдолинейные целевые функции и ограничения линейного неравенства : Эти свойства позволяют решать дробно-линейные задачи с помощью варианта симплексный алгоритм (из Джордж Б. Данциг ). Для векторнозначной функции η существует более общее понятие η-псевдовыпуклости и η-псевдолинейности, в которых классическая псевдовыпуклость и псевдолинейность относятся к случаю, когда η (x, y) = y - x.

• Псевдовыпуклость
• Выпуклая функция
• Квазивыпуклая функция

• Floudas, Christodoulos A. ; Пардалос, Панос М. (2001), "Обобщенные монотонные многозначные отображения", Энциклопедия оптимизации, Springer, стр. 227, ISBN 978-0-7923-6932-5.
• Мангасарян, О. Л. (январь 1965 г.). «Псевдовыпуклые функции». Журнал Общества промышленной и прикладной математики, серия A Control. 3 (2): 281–290. DOI : 10.1137 / 0303020. ISSN 0363-0129. CS1 maint: ref = harv (link ).
• Rapcsak, T. (1991-02-15). «О псевдолинейных функциях ". European Journal of Operational Research. 50 (3): 353–360. doi : 10.1016 / 0377-2217 (91) 90267-Y. ISSN 0377-2217. CS1 maint: ref = harv (ссылка )