Спроектированная динамическая система

Спроектированные динамические системы - это математическая теория, исследующая поведение динамических систем, где решения ограничены набором ограничений. Дисциплина имеет общие связи и приложения как со статическим миром оптимизации и задач равновесия, так и с динамическим миром обыкновенных дифференциальных уравнений. спроектированная динамическая система задается потоком в спроецированное дифференциальное уравнение

$dx\; (t)\; dt\; =\; \Pi \; K\; (x\; (t),\; -\; F\; (x\; (t)))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; (t)\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{K\}\; (x\; (t),\; -\; F\; (x\; (t)))\}$

где K - наш набор ограничений. Дифференциальные уравнения такого вида отличаются наличием разрывного векторного поля.

• 1 История проектируемых динамических систем
• 2 Проекция и конусы
• 3 Спроецированные дифференциальные уравнения
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Спроектированные динамические системы возникли из желания динамически моделировать поведение нестатических решений в задачах равновесия по некоторому параметру, обычно принимаемому за время. Эта динамика отличается от динамики обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что решения по-прежнему ограничены тем набором ограничений, над которым работает основная задача равновесия, например неотрицательность инвестиций в финансовое моделирование, выпуклые многогранные множества в исследования операций и т. д. Один особенно важный класс задач равновесия, который помог в росте проектируемых динамических систем был рост вариационных неравенств.

Формализация проектируемых динамических систем началась в 1990-х годах. Однако подобные концепции можно найти в предшествующей математической литературе, особенно в связи с вариационными неравенствами и дифференциальными включениями.

Любое решение нашего спроецированного дифференциального уравнения должно оставаться внутри нашего набора ограничений K на все время. Этот желаемый результат достигается за счет использования операторов проекции и двух особо важных классов выпуклых конусов. Здесь мы берем K как замкнутое, выпуклое подмножество некоторого гильбертова пространства X.

Нормальный конус множества K в точке x в K задается следующим образом:

$N\; K\; (x)\; =\; \{p\; \in \; V\; |\; ⟨P,\; x\; -\; x\; \ast ⟩\; \ge \; 0,\; \forall \; x\; \ast \; \in \; K\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{K\}\; (x)\; =\; \backslash \; \{p\; \backslash \; in\; V\; |\; \backslash \; langle\; p,\; xx\; ^\; \{*\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; geq\; 0,\; \backslash \; forall\; x\; ^\; \{*\}\; \backslash \; in\; K\; \backslash \}.\}$

касательный конус (или условный конус) к множеству K в точке x задается как

$TK\; (x)\; =\; \bigcup \; h>0\; 1\; h\; (K\; -\; x)\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{K\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; bigcup\; \_\; \{h>0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\}\}\; (Kx)\}\}.\}$

Оператор проекции (или отображение ближайшего элемента) точки x из X в K задается точкой $PK\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{K\}\; (x)\}$в K таким, что

$\Vert \; x\; -\; PK\; (x)\; \Vert \; \le \; \Vert \; x\; -\; y\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; x-P\_\; \{K\}\; (x)\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; xy\; \backslash \; |\}$

для каждого y в K.

Оператор проекции вектора вектора v в X в точку x в K задается следующим образом:

$\Pi \; K\; (x,\; v)\; =\; lim\; \delta \; \to \; 0\; +\; PK\; (Икс\; +\; \delta \; v)\; -\; Икс\; \delta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Pi\; \_\; \{K\}\; (x,\; v)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{K\}\; (x\; +\; \backslash \; delta\; v)\; -x\}\; \{\backslash \; delta\}\}.\}$

Дано замкнутое выпуклое подмножество K гильбертова пространства X и векторное поле -F, которое переводит элементы из K в X, прогнозируемое дифференциальное уравнение, связанное с K и -F, определяется как

$dx\; (t)\; d\; t\; =\; \Pi \; K\; (x\; (t),\; -\; F\; (x\; (t))).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; (t)\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{K\}\; (x\; (t),\; -\; F\; (x\; (t))).\}$

На внутренней части K решений ведут себя так, как если бы система была обыкновенным дифференциальным уравнением без ограничений. Однако, поскольку векторное поле разрывно вдоль границы множества, спроецированные дифференциальные уравнения принадлежат к классу разрывных обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя это делает большую часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений неприменимой, известно, что когда -F является липшицевым непрерывным векторным полем, единственное абсолютно непрерывное решение существует через каждую начальную точку x (0) = x 0 в K на интервале $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$.

Это дифференциальное уравнение можно также охарактеризовать как

$dx\; (t)\; dt\; =\; PTK\; (x\; (t))\; (-\; F\; (x\; (t)))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; (t)\}\; \{dt\}\}\; =\; P\_\; \{T\_\; \{K\}\; (x\; (t))\}\; (-F\; (x\; (t)))\}$

или

$dx\; (t)\; dt\; =\; -\; F\; (x\; (t))\; -\; PNK\; (x\; (t))\; (-\; F\; (x\; (t))).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; (t)\}\; \{dt\}\}\; =\; -\; F\; (x\; (t))\; -\; P\_\; \{N\_\; \{K\}\; (x\; (t))\}\; (-\; F\; (x\; (t))).\; \}$

Условное обозначение векторного поля -F с отрицательным знаком возникает из-за определенной связи, которую проектируемые динамические системы разделяют с вариационными неравенствами. В литературе принято называть векторное поле положительным в вариационном неравенстве и отрицательным в соответствующей проектируемой динамической системе.

• Дифференциальное вариационное неравенство
• Теория динамических систем
• Обыкновенное дифференциальное уравнение
• Вариационное неравенство
• Дифференциальное включение
• Теория комплементарности

• Aubin, Дж. П. и Челлина, А., Дифференциальные включения, Springer-Verlag, Берлин (1984).
• Нагурни, А., Чжан, Д., Прогнозируемые динамические системы и вариационные неравенства с приложениями, Kluwer Academic Publishers (1996).
• Кожокару, М., Йонкер Л., Существование решений проектируемых дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах, Proc. Амер. Математика. Soc., 132 (1), 183-193 (2004).
• Brogliato, B., and Daniilidis, A., и Lemaréchal, C., и Acary, V., «Об эквивалентности между системами дополнительности, проектируемыми системами и дифференциальными включениями», Systems and Control Letters, vol.55, pp.45-51 (2006)