Мощное число

редактировать

Демонстрация с Cuisenaire стержни, обладающие сильной силой 1, 4, 8 и 9

A сильное число является положительным целым числом m таким, что для каждого простого числа p делит m, p также делит m. Эквивалентно сильное число - это произведение квадрата и куба, то есть числа m вида m = ab, где a и b - положительные целые числа. Мощные числа также известны как квадрат, полный квадрат или 2-полный . Пол Эрдеш и Джордж Секерес изучили такие числа и Соломон В. Голомб назвал такие числа сильными.

Ниже приводится список всех сильных чисел от 1 до 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000,... (последовательность A001694 в OEIS ).

Содержание

1 Эквивалентность двух определений
2 Математические свойства
3 Суммы и разности сильных чисел
4 Обобщение
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Эквивалентность двух определений

Если m = ab, то каждое простое число в разложении на простые множители a появляется в разложении на простые множители m с показателем степени не менее двух, и каждое простое число в разложении на простые множители числа b появляется в разложении на простые множители числа m с показателем не менее трех; следовательно, m является мощным.

В другом направлении предположим, что m - степень фул, с разложением на простые множители

m = ∏ pi α i, {\ displaystyle m = \ prod p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}},}

m = \ prod p_i ^ {\ alpha_i},

где каждое α i ≥ 2. Определим γ i равным трем, если α i нечетно, и нулю в противном случае, и определим β i = α i - γ i. Тогда все значения β i являются неотрицательными четными целыми числами, а все значения γ i равны нулю или трем, поэтому

m = (∏ pi β i) (∏ pi γ я) знак равно (∏ пи β я / 2) 2 (∏ пи γ я / 3) 3 {\ displaystyle m = \ left (\ prod p_ {i} ^ {\ beta _ {i}} \ right) \ left ( \ prod p_ {i} ^ {\ gamma _ {i}} \ right) = \ left (\ prod p_ {i} ^ {\ beta _ {i} / 2} \ right) ^ {2} \ left (\ prod p_ {i} ^ {\ gamma _ {i} / 3} \ right) ^ {3}}

{\ displaystyle m = \ left (\ prod p_ {i} ^ {\ beta _ {i}} \ right) \ left (\ prod p_ {i} ^ {\ gamma _ {i}} \ right) = \ left (\ prod p_ {i} ^ {\ beta _ {i} / 2} \ right) ^ {2} \ left (\ prod p_ {i} ^ {\ gamma _ {i} / 3} \ right) ^ {3}}

предоставляет желаемое представление m в виде произведения квадрата и куба.

Неформально, учитывая факторизацию m на простые множители, возьмите b как произведение простых множителей m, имеющих нечетную экспоненту (если их нет, возьмите b равным 1). Поскольку m является мощным, каждый простой множитель с нечетным показателем имеет показатель не менее 3, поэтому m / b является целым числом. Кроме того, каждый простой множитель m / b имеет четный показатель степени, так что m / b является полным квадратом, поэтому назовите его a; тогда m = ab. Например:

m = 21600 = 2 5 × 3 3 × 5 2, {\ displaystyle m = 21600 = 2 ^ {5} \ times 3 ^ {3} \ times 5 ^ {2} \,,}

m = 21600 = 2 ^ 5 \ times 3 ^ 3 \ times 5 ^ 2 \,,

b = 2 × 3 = 6, {\ displaystyle b = 2 \ times 3 = 6 \,,}

b = 2 \ times 3 = 6 \,,

a = mb 3 = 2 2 × 5 2 = 10, {\ displaystyle a = {\ sqrt { \ frac {m} {b ^ {3}}}} = {\ sqrt {2 ^ {2} \ times 5 ^ {2}}} = 10 \,,}

a = \ sqrt {\ frac {m} {b ^ 3}} = \ sqrt {2 ^ 2 \ times 5 ^ 2} = 10 \,,

m = a 2 b 3 = 10 2 × 6 3. {\ displaystyle m = a ^ {2} b ^ {3} = 10 ^ {2} \ times 6 ^ {3} \,.}

m = a ^ 2b ^ 3 = 10 ^ 2 \ times 6 ^ 3 \,.

Вычисленное таким образом представление m = ab имеет свойство b равно squarefree и однозначно определяется этим свойством.

Математические свойства

Сумма обратных величин сильных чисел сходится. Значение этой суммы можно записать несколькими другими способами, в том числе в виде бесконечного произведения

∏ p (1 + 1 p (p - 1)) = ζ (2) ζ (3) ζ (6) = 315 2 π 4 ζ (3), {\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {1} {p (p-1)}} \ right) = {\ frac {\ zeta (2) \ zeta (3)} {\ zeta (6)}} = {\ frac {315} {2 \ pi ^ {4}}} \ zeta (3),}

\ prod_p \ left (1+ \ frac {1} {p (p-1)} \ right) = \ frac {\ zeta (2) \ zeta (3)} {\ zeta (6)} = \ frac {315} {2 \ pi ^ 4} \ zeta (3),

где p пробегает все простые числа, ζ (s) обозначает дзета-функцию Римана, а ζ (3) - константа Апери. В более общем смысле, сумма обратных величин sth степеней сильных чисел (производящая функция ряда Дирихле ) равна

ζ (2 s) ζ (3 s) ζ (6 s) {\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s) \ zeta (3s)} {\ zeta (6s)}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s) \ zeta (3s)} {\ zeta (6s)}}}

всякий раз, когда он сходится.

Пусть k (x) обозначает количество сильных чисел в интервале [1, x]. Тогда k (x) пропорционально квадратному корню из x. Точнее,

cx 1/2 - 3 x 1/3 ≤ k (x) ≤ cx 1/2, c = ζ (3/2) / ζ (3) = 2,173… {\ displaystyle cx ^ {1 / 2} -3x ^ {1/3} \ leq k (x) \ leq cx ^ {1/2}, c = \ zeta (3/2) / \ zeta (3) = 2,173 \ ldots}

{\ displaystyle cx ^ {1/2} -3x ^ {1 / 3} \ leq k (x) \ leq cx ^ {1/2}, c = \ zeta (3/2) / \ zeta (3) = 2,173 \ ldots}

(Голомб, 1970).

Двумя наименьшими последовательными мощными числами являются 8 и 9. Поскольку уравнение Пелла x - 8y = 1 имеет бесконечно много целочисленных решений, существует бесконечно много пар последовательных сильных чисел (Golomb, 1970).); в более общем смысле, можно найти последовательные сильные числа, решив аналогичное уравнение Пелла x - ny = ± 1 для любого идеального куба n. Однако одно из двух сильных чисел в паре, образованной таким образом, должно быть квадратом. По словам Гая, Эрдеш спросил, существует ли бесконечно много пар последовательных сильных чисел, таких как (23, 2313), в которых ни одно число в паре не является квадратом. Уокер (1976) показал, что таких пар действительно бесконечно много, показав, что 3c + 1 = 7d имеет бесконечно много решений. Решения Уокера для этого уравнения генерируются для любого нечетного целого числа k путем рассмотрения числа

(2 7 + 3 3) 7 k = a 7 + b 3, {\ displaystyle (2 {\ sqrt {7}} + 3 {\ sqrt {3}}) ^ {7k} = a {\ sqrt {7}} + b {\ sqrt {3}},}

{\ displaystyle (2 {\ sqrt {7}} + 3 {\ sqrt {3}) }) ^ {7k} = a {\ sqrt {7}} + b {\ sqrt {3}},}

для целых чисел a, делимых на 7 и b, делимых на 3, и построение из a и b последовательные сильные числа 7a и 3b с 7a = 1 + 3b. Наименьшая последовательная пара в этом семействе создается для k = 1, a = 2637362 и b = 4028637 как

7 ⋅ 2637362 2 = 2 2 ⋅ 7 3 ⋅ 13 2 ⋅ 43 2 ⋅ 337 2 = 48689748233308 {\ displaystyle 7 \ cdot 2637362 ^ {2} = 2 ^ {2} \ cdot 7 ^ {3} \ cdot 13 ^ {2} \ cdot 43 ^ {2} \ cdot 337 ^ {2} = 48689748233308}

{\ displaystyle 7 \ cdot 2637362 ^ {2} = 2 ^ { 2} \ cdot 7 ^ {3} \ cdot 13 ^ {2} \ cdot 43 ^ {2} \ cdot 337 ^ {2} = 48689748233308}

3 ⋅ 4028637 2 = 3 3 ⋅ 139 2 ⋅ 9661 2 = 48689748233307. {\ displaystyle 3 \ cdot 4028637 ^ {2} = 3 ^ {3} \ cdot 139 ^ {2} \ cdot 9661 ^ {2} = 48689748233307.}

{\ displaystyle 3 \ cdot 4028637 ^ {2} = 3 ^ {3} \ cdot 139 ^ {2} \ cdot 9661 ^ {2} = 48689748233307.}

Нерешенная задача в математике :. Могут ли три последовательных числа быть сильными? (больше нерешенных задач в математике)

Это гипотеза Эрдеша, Моллина и Уолша что нет трех последовательных сильных чисел.

Суммы и разности сильных чисел

Визуальное доказательство того, что разности последовательных квадратов являются последовательными нечетными числами

Любое нечетное число - это разность двух последовательных квадратов: (k + 1) = k + 2k + 1, поэтому (k + 1) - k = 2k + 1. Аналогично, любое кратное четырем числам является разностью квадратов двух чисел, которые отличаются на два: (k + 2) - k = 4k + 4. Однако, однократно четное число, то есть число, делимое на два, но не на четыре, не может быть выражено как разность квадратов. Это мотивирует вопрос о том, какие единичные четные числа могут быть выражены как разности сильных чисел. Голомб показал несколько представлений этого типа:

2 = 3-5

10 = 13-3

18 = 19-7 = 3-15.

Это предполагалось что 6 не может быть представлено таким образом, и Голомб предположил, что существует бесконечно много целых чисел, которые не могут быть представлены как разность между двумя сильными числами. Однако Наркевич показал, что число 6 может быть таким образом представлено бесконечным числом способов, например

6 = 57 - 463,

, а МакДэниел показал, что каждое целое число имеет бесконечно много таких представлений (McDaniel, 1982).

Эрдеш предположил, что каждое достаточно большое целое число является суммой не более трех сильных чисел; это было доказано Роджером Хит-Брауном (1987).

Обобщение

В более общем плане мы можем рассматривать целые числа, все простые множители которых имеют экспоненты не менее k. Такое целое число называется k-сильным числом, k-полным числом или k-полным числом.

(2-1), 2 (2-1), (2-1)

- k-сильные числа в арифметической прогрессии. Более того, если 1, 2,..., s являются k-мощными в арифметической прогрессии с общей разностью d, то

a1(as+ d),

a2(as+ d),..., a s(as+ d), (a s + d)

- s + 1 k-сильные числа в арифметическая прогрессия.

У нас есть тождество, включающее k-сильные числа:

a (a +... + 1) + a (a +... + 1) +... + a (a +... + 1) = a (a +... +1).

Это дает бесконечно много l + 1 наборов k-мощных чисел, сумма которых также k-сильна. Нитадж показывает, что существует бесконечно много решений x + y = z в относительно простых трехзначных числах (Nitaj, 1995). Кон строит бесконечное семейство решений x + y = z в относительно простых некубических 3-мощных числах следующим образом: тройка

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 274746218552168709417490>решение <уравнение 32X + 49Y = 81Z. Мы можем построить другое решение, положив X ′ = X (49Y + 81Z), Y ′ = −Y (32X + 81Z), Z ′ = Z (32X - 49Y) и опуская общий делитель.

См. Также

Примечания

Ссылки

Cohn, J.H.E. (1998). «Гипотеза Эрдеша о трехзначных числах». Математика. Комп. 67 (221): 439–440. doi : 10.1090 / S0025-5718-98-00881-3.
Эрдеш, Пол и Секерес, Джордж (1934). "Uber die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta Litt. Sci. Сегед. 7 : 95–102. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
Golomb, Solomon W. (1970). «Мощные числа». American Mathematical Monthly. 77(8): 848–852. doi : 10.2307 / 2317020. JSTOR 2317020.
Гай, Ричард K. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел, 3-е издание. Springer-Verlag. Section B16. ISBN 978-0-387-20860-2.
Heath-Brown, Roger (1988). «Тернарные квадратичные формы и суммы трех квадратичных чисел». Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7. Boston: Birkhäuser. Pp. 137–163.
Heath- Браун, Роджер (1990). «Суммы трех полных квадратов чисел». Теория чисел, I (Будапешт, 1987). Разговор. Математика. Soc. János Bolyai, № 51. стр. 163–171.
Ивич, Александр (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями. Публикация Wiley-Interscience. Нью-Йорк и др.: John Wiley Sons. С. 33–34, 407–413. ISBN 978-0-471-80634-9. Zbl 0556.10 026.
МакДэниел, Уэйн Л. (1982). «Представления каждого целого числа как разности сильных чисел». Fibonacci Quarterly. 20: 85–87.
Нитадж, Абдеррахман (1995). «О гипотезе Эрдеша о 3-сильных числах». Бык. Лондонская математика. Soc. 27(4): 317–318. CiteSeerX 10.1.1.24.563. doi : 10.1112 / blms / 27.4.317.
Уокер, Дэвид Т. (1976). «Последовательные целые пары сильных чисел и соответствующие диофантовы уравнения» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 14 (2): 111–116. MR 0409348. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки