Войти
Все 8 односторонних тетракубов - если хиральность игнорируется, нижняя 2 серого цвета считаются одинаковыми, что дает в общей сложности 7 свободных тетракубов 
Загадка, связанная с расположением пентакубов A поликуб - это сплошная фигура, образованная соединением одного или нескольких равных кубов лицом к лицу.. Поликубы являются трехмерными аналогами плоских полимино. куб Сомы, куб Бедлама, Дьявольский куб, Загадка Ленивера – Граатсма и Загадка Конвея являются примерами задач упаковки, основанных на поликубах.
A хиральный пентакуб Подобно полиимино, поликубы могут быть пронумерованы двумя способами, в зависимости от того, считаются ли хиральные пары поликубов за один поликуб или две. Например, 6 тетракубов имеют зеркальную симметрию, а один - хиральный, что дает 7 или 8 тетракубов соответственно. В отличие от полимино, поликубы обычно считаются с выделенными парами зеркал, потому что нельзя перевернуть поликуб, чтобы отразить его, как можно полимино в трех измерениях. В частности, куб Сомы использует обе формы хирального тетракуба.
Поликубы классифицируются в зависимости от того, сколько кубических ячеек у них есть:
| n | Имя n-поликуба | Количество односторонних n-поликубов. (отражения считаются отдельными). (последовательность A000162 в OEIS ) | Количество свободных n-поликубов. (отражения считаются вместе). (последовательность A038119 в OEIS ) |
|---|---|---|---|
| 1 | монокуб | 1 | 1 |
| 2 | дикуб | 1 | 1 |
| 3 | трикуб | 2 | 2 |
| 4 | тетракуб | 8 | 7 |
| 5 | пентакуб | 29 | 23 |
| 6 | гексакуб | 166 | 112 |
| 7 | гептакуб | 1023 | 607 |
| 8 | октакуб | 6922 | 3811 |
Поликубы пронумерованы до n = 16. Совсем недавно были исследованы определенные семейства поликубов.
Как и в случае с полиимино, поликубы можно классифицировать в зависимости от того, сколько у них симметрий. Симметрии поликубов (классы сопряженности подгрупп ахиральной октаэдрической группы ) были впервые перечислены У. Ф. Ланноном в 1972 году. Большинство поликубов асимметричны, но многие из них обладают более сложной симметрией. y групп, вплоть до полной группы симметрии куба с 48 элементами. Возможны многие другие симметрии; например, существует семь возможных форм 8-кратной симметрии
12 пентакубов плоские и соответствуют пентамино. 5 из остальных 17 имеют зеркальную симметрию, а остальные 12 образуют 6 хиральных пар.
Ограничивающие прямоугольники пентакубов имеют размеры 5 × 1 × 1, 4 × 2 × 1, 3 × 3 × 1, 3 × 2 × 1, 4 × 2 × 2, 3 × 2 × 2, и 2 × 2 × 2.
Поликуб может иметь до 24 ориентаций в кубической решетке или 48, если допускается отражение. Из пентакубов 2 плоскости (5-1-1 и крест) имеют зеркальную симметрию по всем трем осям; у них всего три ориентации. 10 имеют одну зеркальную симметрию; у них есть 12 ориентаций. Каждый из оставшихся 17 пентакубов имеет 24 ориентации.
Крест Дали тессеракт (четырехмерный гиперкуб ) имеет восемь кубов в качестве граней, и так же, как куб может быть развернут в гексомино, тессеракт может быть развернут в октакуб. Одно развертывание, в частности, имитирует хорошо известное развертывание куба в латинский крест : оно состоит из четырех кубов, уложенных друг на друга, а еще четыре куба прикреплены к открытым квадратным граням второй сверху куб в стопке, чтобы сформировать трехмерную форму двойного креста. Сальвадор Дали использовал эту форму в своей картине 1954 года Распятие (Corpus Hypercubus) и она описана в рассказе Роберта А. Хайнлайна 1940 года "И построил кривой дом ». В честь Дали этот октакуб был назван крестом Дали. Он может тайловое пространство.
В более общем плане (отвечая на вопрос, заданный Мартином Гарднером в 1966 году), из всех 3811 различных свободных октакубов 261 являются развертками тессеракта.
Хотя кубы поликуба должны быть соединены квадрат с квадратом, квадраты его границы не обязательно должны быть соединены ребром к краю. Например, 26-куб, сформированный путем создания сетки из кубов 3 × 3 × 3 и последующего удаления центрального куба, является действительным поликубом, в котором граница внутренней пустоты не соединена с внешней границей. Также не требуется, чтобы граница поликуба образовывала многообразие. Например, у одного из пентакубов есть два куба, которые пересекаются друг с другом, так что ребро между ними является стороной четырех граничных квадратов.
Если поликуб имеет дополнительное свойство, заключающееся в том, что его дополнение (набор целочисленных кубов, не принадлежащих поликубу) соединяется путями кубов, пересекающихся квадратами, то граничные квадраты поликуба обязательно также соединены дорожками из квадратов, пересекающимися бок о бок. То есть в данном случае граница образует полииминоид.
 | Нерешенная математическая задача :. Можно ли развернуть в полимино каждый поликуб со связной границей? Если да, то может ли каждый такой поликуб быть развернутым до полимино, который мозаицирует плоскость? (другие нерешенные задачи в математике) |
Каждый k-куб с k < 7 as well as the Dalí cross (with k = 8) can be развернут в полимино, который мозаичен на плоскости. Это открытая проблема, можно ли развернуть каждый поликуб со связной границей в полимино или это всегда можно сделать с дополнительным условием, что полимино разбивает плоскость.
Структура поликуба может быть визуализирована с помощью «двойного графа», у которого есть вершина для каждого куба и ребро для каждых двух кубов, которые имеют общий квадрат. Это отличается от одноименных понятий двойного многогранника и двойного графа графа, вложенного в поверхность.
Двойные графы также использовались для определения и изучения специальных подклассов поликубов, например тех, чей двойственный граф представляет собой дерево.
