Микромасштабные и макромасштабные модели

редактировать

Микромасштабные и связанные с ними макромасштабные модели сосуществования в Phalaris arundinacea, глобально распространенной траве. Каждый цвет представляет собой пространственную протяженность отдельного генотипа в микромасштабной модели с использованием стохастических клеточных автоматов. Каждая кривая на графике представляет уровень популяции соответствующего генотипа в макромасштабной модели дифференциального уравнения.

Микромасштабные модели образуют широкий класс вычислительных моделей, которые имитируют мелкомасштабные детали, напротив с макромасштабными моделями, которые объединяют детали в выбранные категории. Микромасштабные и макромасштабные модели можно использовать вместе, чтобы понять различные аспекты одной и той же проблемы.

Содержание

1 Приложения
2 История
3 Пример
4 Сложность
5 Будущее
6 Рисунки
7 Ссылки

Приложения

Макромасштаб модели могут включать обычные, частные и интегро-дифференциальные уравнения, где категории и потоки между категориями определяют динамику, или могут включают только алгебраические уравнения. Абстрактная макромасштабная модель может быть объединена с более детальными микромасштабными моделями. Связи между двумя шкалами связаны с многомасштабным моделированием. Один математический метод многомасштабного моделирования наноматериалов основан на использовании функции Мультимасштаба Грина.

. В отличие от этого, микромасштабные модели могут моделировать различные детали, такие как отдельные бактерии в биопленках, отдельных пешеходов в смоделированных окрестностях, отдельные световые лучи на изображениях с трассировкой лучей, отдельные дома в городах, мелкомасштабные поры и поток жидкости в батареях, мелкомасштабные отсеки в метеорологии, мелкомасштабные структуры в системах твердых частиц и другие модели, в которых взаимодействие между людьми и фоновые условия определяют динамику.

Дискретно-событийные модели, индивидуальные модели и агентные модели являются частными случаями микромасштабных моделей. Однако микромасштабные модели не требуют дискретных индивидов или дискретных событий. Мелкие детали топографии, зданий и деревьев могут добавить микромасштабные детали к метеорологическим симуляциям и могут быть связаны с так называемыми мезомасштабными моделями в этой дисциплине. Ландшафтное разрешение размером в квадратный метр, доступное на лидарных изображениях, позволяет моделировать потоки воды через поверхности суши, например ручьи и водные карманы, с использованием массивов деталей размером в гигабайт. Модели нейронных сетей могут включать отдельные нейроны, но могут работать в непрерывном времени и, следовательно, не иметь точных дискретных событий.

История

Идеи для вычислительных микромасштабных моделей возникли в самые ранние дни вычислительной техники и применялись к сложным системам, которые нельзя было точно описать стандартными математическими формами.

Две темы возникли в работах двух основоположников современных вычислений примерно в середине 20 века. Сначала пионер Алан Тьюринг использовал упрощенные макромасштабные модели, чтобы понять химическую основу морфогенеза, но затем предложил и использовал вычислительные микромасштабные модели, чтобы понять нелинейности и другие условия, которые могут возникнуть в реальных биологических условиях. системы. Во-вторых, пионер Джон фон Нейман создал клеточный автомат, чтобы понять возможности самовоспроизведения произвольно сложных объектов, которые имели микромасштабное представление в клеточном автомате, но не упрощали макромасштабную форму. Эта вторая тема рассматривается как часть агентно-ориентированных моделей, где объекты в конечном итоге могут быть агентами с искусственным интеллектом, работающими автономно.

К последней четверти 20-го века вычислительная мощность выросла настолько, что в микромасштабные модели можно было включить до десятков тысяч человек или более, и что разреженные массивы могли быть применяется также для достижения высокой производительности. Постоянное увеличение вычислительных мощностей позволило к началу 21 века моделировать сотни миллионов людей на обычных компьютерах с помощью микромасштабных моделей.

Термин «микромасштабная модель» возник позже в 20 веке и теперь появляется в литературе по многим отраслям физической и биологической науки.

Пример

На рисунке 1 представлена фундаментальная макромасштабная модель: рост населения в неограниченной среде. Его уравнение актуально в другом месте, например, в случае комплексного роста капитала в экономике или экспоненциального убывания в физике. У него есть одна объединенная переменная, $N (t) {\ displaystyle N (t)}$ $N(t)$ , количество особей в популяции в определенный момент $t {\ displaystyle t}$ $t$ . Он имеет объединенный параметр $r = β - δ {\ displaystyle r = \ beta - \ delta}$ $r = \ beta- \ дельта$ , годовой темп роста населения, рассчитываемый как разница между годовым коэффициентом рождаемости $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ и годовой коэффициент смертности $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ . Время $t {\ displaystyle t}$ $t$ может измеряться в годах, как показано здесь для иллюстрации, или в любой другой подходящей единице.

Макромасштабная модель на Рисунке 1 объединяет параметры и включает ряд упрощающих приближений:

коэффициенты рождаемости и смертности постоянны;
все люди идентичны, без генетической или возрастной структуры ;
фракции особей значимы;
параметры постоянны и не меняются;
среда обитания совершенно однородна;
иммиграция или эмиграция не происходит; и
случайность не учитывается.

Все эти приближения макромасштабной модели могут быть уточнены в аналогичных микромасштабных моделях.

В первом приближении, указанном выше - что коэффициенты рождаемости и смертности постоянны - макромасштабная модель на Рисунке 1 в точности представляет собой среднее значение большого числа стохастических испытаний с темпами роста, случайным образом колеблющимися в каждый момент времени.. Стохастические детали на микромасштабах включаются в уравнение диффузии в частных производных, и это уравнение используется для установления эквивалентности.

Чтобы ослабить другие предположения, исследователи применили вычислительные методы. На рисунке 2 показан пример вычислительного алгоритма микромасштаба, который соответствует макромасштабной модели на рисунке 1. Когда все люди идентичны, а мутации в показателях рождаемости и смертности отключены, динамика микромасштаба почти параллельна динамике макромасштаба (рисунки 3A и 3B). Небольшие различия между двумя моделями возникают из-за стохастических вариаций в микромасштабной версии, отсутствующей в детерминированной макромасштабной модели. Эти изменения будут отличаться каждый раз при выполнении алгоритма из-за преднамеренных изменений в последовательностях случайных чисел.

Когда не все люди идентичны, динамика на микромасштабе может значительно отличаться от динамики на макроуровне, моделируя более реалистичные ситуации, чем можно смоделировать на макромасштабе (рисунки 3C и 3D). Микромасштабная модель не включает явным образом дифференциальное уравнение, хотя для больших групп населения оно точно моделирует его. Когда люди отличаются друг от друга, система имеет четко определенное поведение, но дифференциальные уравнения, управляющие этим поведением, трудно систематизировать. Алгоритм на рисунке 2 является основным примером того, что называется моделью без уравнений.

Когда мутации включены в микромасштабной модели ( $σ>0 {\ displaystyle \ sigma>0}$ $\sigma>0$ ), население растет быстрее, чем в макромасштабной модели (рисунки 3C и 3D). Мутации в параметрах позволяют одним людям иметь более высокий уровень рождаемости, а другим - более низкий уровень смертности, и эти люди вносят пропорциональный больший вклад в популяцию. При прочих равных условиях средний Коэффициент рождаемости смещается к более высоким значениям, а средний коэффициент смертности смещается к более низким значениям по мере продвижения моделирования. Этот дрейф отслеживается в структурах данных, названных бета и дельта микромасштабного алгоритма на рисунке 2.

Алгоритм на рисунке 2 - упрощенная модель в микромасштабе с использованием метода Эйлера. Другие алгоритмы, такие как Gill На практике также используются метод espie и метод дискретных событий . Варианты алгоритма, применяемые на практике, включают такие меры повышения эффективности, как удаление людей из рассмотрения после их смерти (для уменьшения требований к памяти и увеличения скорости) и планирование случайных событий в будущем (для обеспечения непрерывной временной шкалы и дальнейшего повышения скорости). Такие подходы могут быть на порядки быстрее.

Сложность

Сложность систем, рассматриваемых с помощью микромасштабных моделей, приводит к сложности самих моделей, и спецификация микромасштабной модели может быть в десятки или сотни раз больше, чем соответствующая макромасштабная модель. (В упрощенном примере на рисунке 2 в спецификации в 25 раз больше строк, чем на рисунке 1.) Поскольку ошибки возникают в компьютерном программном обеспечении и не могут быть полностью устранены стандартными методами, такими как тестирование, и поскольку сложные модели часто не публикуются подробно и не прошли экспертную оценку, их достоверность была поставлена под сомнение. Руководства по передовому опыту для микромасштабных моделей существуют, но никакие статьи по этой теме не претендуют на полное решение проблемы проверки сложных моделей.

Будущее

Вычислительные мощности достигают уровня, при котором население целых стран или даже всего мира находится в пределах досягаемости микромасштабных моделей, а улучшение данных переписей и поездок позволяет дальнейшее улучшение параметризации таких моделей. Дистанционные датчики от спутников наблюдения Земли и от наземных обсерваторий, таких как Национальная сеть экологических обсерваторий (NEON), предоставляют большие объемы данных для калибровки. Возможные применения варьируются от прогнозирования и снижения распространения болезней до помощи в понимании динамики Земли.

Рисунки

Рисунок 1. Уравнения макроуровня

Рисунок 1. Одна из простейших моделей макроуровня: обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее непрерывный экспоненциальный рост. $N (t) {\ displaystyle N (t)}$ $N(t)$ - размер совокупности в момент времени $t {\ displaystyle t}$ $t$ , $d N (t) / dt {\ displaystyle dN (t) / dt}$ $dN (t) / dt$ - скорость изменения во времени в одном измерении $N {\ displaystyle N}$ $N$ . $N (0) {\ displaystyle N (0)}$ $N (0)$ - начальная численность населения при $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ - коэффициент рождаемости в единицу времени, а $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ - коэффициент смертности в единицу времени. Слева - дифференциальная форма; справа явное решение в терминах стандартных математических функций, которое следует в данном случае из дифференциальной формы. Почти все макромасштабные модели более сложны, чем этот пример, поскольку они имеют несколько измерений, не имеют явных решений в терминах стандартных математических функций и должны быть поняты из их дифференциальных форм.

Рисунок 2. Алгоритм микромасштабирования, соответствующий уравнениям на рисунке 1.

Рисунок 2. Базовый алгоритм, применяющий метод Эйлера к индивидуальной модели. См. Текст для обсуждения. Алгоритм, представленный в псевдокоде, начинается с вызова процедуры $Microscale ⁡ () {\ displaystyle \ operatorname {Microscale} ()}$ $\ operatorname {Microscale} ()$ , которая использует структуры данных для переноса завершите симуляцию в соответствии с пронумерованными шагами, описанными справа. Он неоднократно вызывает функцию $Mutation ⁡ (v) {\ displaystyle \ operatorname {Mutation} (v)}$ $\operatorname{Mutation}(v)$ , которая возвращает свой параметр, возмущенный случайным числом, полученным из равномерного распределения со стандартным отклонением, определяемым переменная $sigma {\ displaystyle sigma}$ $sigma$ . (Квадратный корень из 12 появляется потому, что стандартное отклонение равномерного распределения включает этот коэффициент.) Функция $Rand ⁡ () {\ displaystyle \ operatorname {Rand} () }$ $\ operatorname {Rand} ()$ в алгоритме, как предполагается, возвращает равномерно распределенное случайное число $0 ≤ R и () < 1 {\displaystyle 0\leq Rand()<1}$ $0 \ le Rand () <1$ . Предполагается, что данные сбрасываются до исходных значений при каждом вызове $Microscale ⁡ () {\ displaystyle \ operatorname {Microscale} ()}$ $\ operatorname {Microscale} ()$ .