В теории чисел символ Кронекера, записанный как или , является обобщением символа Якоби на все целые числа . Он был введен Леопольдом Кронекером (1885, стр. 770).
Содержание
- 1 Определение
- 2 Таблица значений
- 3 Свойства
- 3.1 Квадратичная взаимность
- 4 Связь с символами Дирихле
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
Определение
Пусть будет ненулевым целым числом с разложением на простые множители
где - это единица (т. Е. ), а - это простые числа. Пусть будет целым числом. Символ Кронекера определяется как
Для odd , число просто обычное Символ Лежандра. Остается случай, когда . Мы определяем как
Так как он расширяет символ Якоби, количество просто , когда . Когда , мы определяем его как
Наконец, мы кладем
Этих расширений достаточно, чтобы определить символ Кронекера для всех целочисленных значений .
Некоторые авторы определяют символ Кронекера только для более ограниченных значений ; например, конгруэнтно и .
Таблица значений
Ниже представлена таблица значений символа Кронекера с n, k ≤ 30.
kn | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
---|
2 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
---|
3 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | 0 |
---|
4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
---|
5 | 1 | -1 | -1 | 1 | 0 | 1 | -1 | -1 | 1 | 0 | 1 | -1 | -1 | 1 | 0 | 1 | -1 | -1 | 1 | 0 | 1 | -1 | -1 | 1 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | 0 |
---|
6 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
---|
7 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 |
---|
8 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
---|
9 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
---|
10 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
---|
11 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 |
---|
12 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 |
---|
13 | 1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | 1 | 1 |
---|
14 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
---|
15 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | −1 | 1 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | −1 | 1 | 0 | 0 | −1 | 0 | -1 | -1 | 0 |
---|
16 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
---|
17 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | - 1 | −1 | −1 | 1 |
---|
18 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 |
---|
19 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | −1 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 |
---|
20 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | - 1 | 0 | 1 | 0 |
---|
21 | 1 | −1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | −1 | 1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | −1 | 0 |
---|
22 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 |
---|
23 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | - 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | 1 | −1 |
---|
24 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
---|
25 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
---|
26 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
---|
27 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 | 1 | −1 | 0 |
---|
28 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | - 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 |
---|
29 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | −1 | −1 | 1 | −1 | −1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 1 | 1 | 1 | −1 | - 1 | 1 | 0 | 1 |
---|
30 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
---|
Свойства
Символ Кронекера разделяет многие основные свойства символа Якоби при определенных ограничениях:
- , если , иначе .
- , если , одно из - ноль, а другой - отрицательное.
- , если , один из равен нулю, а другой имеет нечетную часть (определение ниже) соответствует .
- для , у нас есть всякий раз, когда Если дополнительно имеют тот же знак, то же самое верно и для .
- Для , , мы имеем всякий раз, когда
С другой стороны, символ Кронекера не имеет такой же связи с квадратичными вычетами, как символ Якоби. В частности, символ Кронекера для четных может принимать значения независимо от того, является ли квадратичным остатком или невычетом по модулю .
Квадратичная взаимность
Символ Кронекера также удовлетворяет следующим версиям квадратичного закона взаимности.
Для любого ненулевого целого числа пусть обозначает его нечетную часть: где нечетное (для , мы кладем ). Тогда следующая симметричная версия квадратичной взаимности выполняется для каждой пары целых чисел такой, что :
где знак равен if или и равно if и .
Существует также эквивалентная несимметричная версия квадратичной взаимности, которая выполняется для каждой пары относительно простых целых чисел :
Для любого целого пусть . Затем у нас есть другая эквивалентная несимметричная версия, в которой говорится:
для каждой пары целых чисел (не обязательно относительно премьер).
Дополнительные законы также распространяются на символ Кронекера. Эти законы легко следуют из каждой версии квадратичного закона взаимности, указанной выше (в отличие от символа Лежандра и Якоби, где и основной закон, и дополнительные законы необходимы для полного описания квадратичной взаимности).
Для любого целого числа мы имеем
и для любого нечетного целого это
Связь с символами Дирихле
Если и , карта - действительный символ Дирихле модуля И наоборот, каждый реальный символ Дирихле может быть записан в этой форме с помощью (для это ).
В частности, примитивные действительные символы Дирихле находятся в соответствии 1–1 с квадратичными полями , где ненулевое значение целое число без квадратов (мы можем включить случай для представления главного символа, даже если это не правильное квадратичное поле). Символ можно восстановить из поля как символ Артина : то есть для положительного простого числа , значение зависит от поведения идеала в кольце целых чисел :
Тогда равно Кронекеру символ , где
- это дискриминант для . Проводником является .
Аналогично, если , карта - действительный символ Дирихле с модулем Однако не все реальные символы могут быть представлены таким образом, например, символ не может быть записывается как для любого . По закону квадратичной взаимности мы имеем . Символ можно представить как тогда и только тогда, когда его нечетная часть , в этом случае мы можем взять .
См. также
Ссылки
- Kronecker, L. (1885), "Zur Theorie der elliptischen Funktionen", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 761–784
- Монтгомери, Хью Л. ; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория. Кембриджские исследования в области высшей математики. 97. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.
Эта статья включает материал из символа Кронекера на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.