Гидродинамическая спиральность

Эта страница о спиральности в гидродинамике. Для спиральности магнитных полей см магнитную спиральность. Для спиральности в физике частиц см спиральность (физика элементарных частиц).

В динамике жидкости, спиральность есть, при соответствующих условиях, инвариант уравнений Эйлера потока жидкости, имеющей топологическую интерпретацию в качестве меры связи и / или knottedness из вихревых линий в потоке. Впервые это было доказано Жан-Жаком Моро в 1961 году, а Моффат вывел его в 1969 году, не зная о работе Моро. Этот инвариант спиральности является расширением теоремы Вольтьера для магнитной спиральности.

Позвольте быть поле скорости и соответствующее поле завихренности. При следующих трех условиях вихревые линии перемещаются вместе с потоком (или «замораживаются»): (i) жидкость невязкая; (ii) поток либо несжимаемый (), либо сжимаемый с баротропным соотношением между давлением и плотностью ; и (iii) любые массовые силы, действующие на жидкость, являются консервативными. В этих условиях любая замкнутая поверхность, по которой, подобно завихренности, переносится потоком. ${\ Displaystyle \ mathbf {и} (х, т)}$${\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {u} = 0}$${\ Displaystyle р = р (\ ро)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle п \ cdot (\ набла \ раз \ mathbf {u}) = 0}$

Позвольте быть объемом внутри такой поверхности. Тогда спиральность в определяется равенством ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle H = \ int _ {V} \ mathbf {u} \ cdot \ left (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \, dV \ ;.}$

Для распределения локализованной завихренности в неограниченной жидкости можно принять все пространство, а в таком случае - полную спиральность потока. инвариантен именно потому, что вихревые линии заморожены в потоке, и их сцепление и / или узловатость, следовательно, сохраняются, как это было признано лордом Кельвином (1868). Спиральность - это псевдоскалярная величина: она меняет знак при изменении с правой на левую систему отсчета; его можно рассматривать как меру направленности (или хиральности ) потока. Спиральность - один из четырех известных интегральных инвариантов уравнений Эйлера; остальные три - это энергия, импульс и угловой момент. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$

Для двух связанных незаузлованных вихревых трубок с циркуляцией и без внутреннего скручивания спиральность определяется выражением, где - число гауссовских связей двух трубок, а плюс или минус выбирается в зависимости от того, является ли соединение правосторонним или левосторонним.. Тогда для одной завязанной вихревой трубы с циркуляцией, как показано Моффаттом и Риккой (1992), спиральность определяется выражением, где и - изгиб и скручивание трубы; сумма, как известно, инвариантна относительно непрерывного деформирования трубки. ${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {2}}$${\ displaystyle H = \ pm 2n \ kappa _ {1} \ kappa _ {2}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle Н = \ каппа ^ {2} (Wr + Tw)}$${\ displaystyle Wr}$${\ displaystyle Tw}$ ${\ displaystyle Wr + Tw}$

Инвариантность спиральности является важным краеугольным камнем предметной топологической гидродинамики и магнитогидродинамики, которая занимается глобальными свойствами потоков и их топологическими характеристиками.

В метеорологии спиральность соответствует передаче завихренности от окружающей среды к воздушной частице при конвективном движении. Здесь определение спиральности упрощено, чтобы использовать только горизонтальную составляющую ветра и завихренности :

${\ displaystyle H = \ int {{\ vec {V}} _ {h}} \ cdot {\ vec {\ zeta}} _ {h} \, d {\ mathbf {Z}} = \ int {{\ vec {V}} _ {h}} \ cdot \ nabla \ times {\ vec {V}} _ {h} \, d {\ mathbf {Z}} \ qquad \ qquad {\ begin {cases} Z = { \ text {Высота}} \\ {\ vec {V}} _ {h} = {\ text {Горизонтальная скорость}} \\ {\ vec {\ zeta}} _ {h} = {\ text {Горизонтальная завихренность} } \ end {case}}}$

Согласно этой формуле, если горизонтальный ветер не меняет направление с высоты, Н будет равна нулю, как и в перпендикулярном друг к другу делает их скалярное произведение ноль. Тогда H будет положительным, если ветер меняет направление (поворачивает по часовой стрелке ) с высотой, и отрицательным, если он возвращается (поворачивается против часовой стрелки ). Эта спиральность, используемая в метеорологии, имеет единицы энергии на единицу массы () и, таким образом, интерпретируется как мера передачи энергии сдвигом ветра с высотой, включая направление. ${\ displaystyle V_ {h}}$${\ Displaystyle \ набла \ раз V_ {ч}}$ ${\ displaystyle {м ^ {2}} / {s ^ {2}}}$

Это понятие используется для предсказания возможности развития смерчей в грозовой туче. В этом случае вертикальное интегрирование будет ограничено ниже верхней границы облаков (обычно 3 км или 10 000 футов), а горизонтальный ветер будет рассчитываться как ветер относительно шторма, вычитая его движение:

${\ displaystyle SRH = \ int {\ left ({\ vec {V}} _ {h} - {\ vec {C}} \ right)} \ cdot \ nabla \ times {\ vec {V}} _ {h } \, d {\ mathbf {Z}} \ qquad \ qquad {\ begin {cases} {\ vec {C}} = {\ text {Движение облака к земле}} \ end {ases}}}$

Критические значения SRH ( S torm R elative H elicity) для развития смерчей, согласно исследованиям в Северной Америке, следующие:

• СРЗ = 150-299... суперячейки возможно со слабыми торнадо в зависимости от масштаба Fujita
• SRH = 300-499... очень благоприятно для развития суперячейки и сильных торнадо
• SRHgt; 450... сильные торнадо
• При расчете ниже 1 км (4000 футов) пороговое значение равно 100.

Сама по себе спиральность - не единственный компонент сильных гроз, и к этим значениям следует относиться с осторожностью. Именно поэтому был создан Индекс энергетической спиральности ( EHI ). Это результат SRH, умноженного на CAPE ( доступная конвективная потенциальная энергия ) и затем разделенного на пороговое значение CAPE: EHI = (CAPE x SRH) / 160 000. Это включает в себя не только спиральность, но и энергию воздушной частицы и, таким образом, пытается устранить слабый потенциал для гроз даже в регионах с сильным СРЗ. Критические значения EHI:

• EHI = 1... возможные торнадо
• EHI = 1-2... смерчи от умеренных до сильных
• EHIgt; 2... сильные торнадо

• Бэтчелор, GK, (1967, перепечатано 2000) Введение в динамику жидкости, Cambridge Univ. Нажмите
• Окитани, К., " Элементарный учет завихренности и связанных уравнений ". Издательство Кембриджского университета. 30 января 2005 г. ISBN   0-521-81984-9
• Чорин, AJ, " Завихренность и турбулентность ". Прикладные математические науки, Том 103, Springer-Verlag. 1 марта 1994 г. ISBN   0-387-94197-5
• Майда, AJ, и Бертоцци, AL, " Завихренность и несжимаемый поток ". Издательство Кембриджского университета; 1-е издание. 15 декабря 2001 г. ISBN   0-521-63948-4
• Триттон, Д. Д., " Физическая гидродинамика ". Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк. 1977 г. ISBN   0-19-854493-6
• Арфкен, Г., " Математические методы для физиков ", 3-е изд. Академик Пресс, Орландо, Флорида. 1985. ISBN   0-12-059820-5
• Моффатт, Х.К. (1969) Степень узловатости запутанных вихревых линий. J. Fluid Mech. 35. С. 117–129.
• Моффатт, Х.К. и Рикка, Р.Л. (1992) Спиральность и инвариант Келугреану. Proc. R. Soc. Лондон. А 439, стр. 411–429.
• Томсон, У. (лорд Кельвин) (1868) О вихревом движении. Пер. Рой. Soc. Един. 25. С. 217–260.