Очень распространенное число

Суммы делителей в стержнях Кюизенера первых шести очень распространенных чисел

В математике, очень распространенное число - это натуральное число со свойством, что сумма его делителей (включая его самого) больше суммы делителей любого меньшего натурального числа.

Большое количество чисел и несколько похожих классов чисел были впервые введены Пиллаи (1943), а ранняя работа по этой теме была проведена Алаоглу и Эрдеш (1944). Алаоглу и Эрдеш свели в таблицу все высоконаселенные числа до 10 и показали, что число высоконаселенных чисел, меньшее любого N, по крайней мере, пропорционально log N.

• 1 Формальное определение и примеры
• 2 Взаимосвязи с другими наборами чисел
• 3 Примечания
• 4 Ссылки

Формально натуральное число n называется очень распространенным тогда и только тогда, когда для всех натуральные числа m < n,

$\sigma \; (n)>\sigma \; (m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (n)>\backslash \; sigma\; (m)\}$

где σ обозначает функцию суммы делителей >. Первые несколько очень распространенных чисел:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60,... (последовательность A002093 в OEIS ).

Например, 5 не является очень распространенным, потому что σ (5) = 5+ 1 = 6 меньше, чем σ (4) = 4 + 2 + 1 = 7, а число 8 очень распространено, потому что σ (8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 больше, чем все предыдущие значения σ.

Единственными нечетными очень многочисленными числами являются 1 и 3.

диаграмма Эйлера из обильного, примитивного обильный, очень обильный, сверхизобильный, колоссально обильный, очень сложный, превосходный очень сложный, странные и совершенные числа меньше 100 по сравнению с неполными и составными числами

Хотя первые восемь факториалов очень обильно, не все факториалы очень многочисленны. Например,

σ (9!) = Σ (362880) = 1481040,

, но есть меньшее число с большей суммой делителей,

σ (360360) = 1572480,

итак 9! не очень распространен.

Алаоглу и Эрдеш отметили, что все сверхизбыточные числа очень многочисленны, и спросили, существует ли бесконечно много очень распространенных чисел, которые не являются избыточными. На этот вопрос утвердительно ответил Жан-Луи Николя (1969).

Несмотря на терминологию, не все очень распространенные числа являются многочисленными числами. В частности, ни одно из первых семи очень распространенных чисел не является обильным.

7200 - это самое большое сильное число, которое также очень распространено: все большие, очень многочисленные числа имеют простой множитель, который делит их только один раз. Следовательно, 7200 также является самым большим числом с нечетной суммой делителей.

• Alaoglu, L. ; Erdős, P. (1944). «О сильно составных и похожих числах» (PDF). Труды Американского математического общества. 56(3): 448–469. DOI : 10.2307 / 1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087. CS1 maint: ref = harv (link )
• Николя, Жан-Луи (1969). "Максимальный порядок объединения групп S n перестановок и" очень сложных чисел "". Bull. Soc. Math. France. 97 : 129–191. MR 0254130. CS1 maint: ref = harv (link )
• Pillai, SS (1943). «Очень многочисленные числа». Bull. Calcutta Math. Soc. 35 : 141–156. MR 0010560. CS1 maint: ref = harv (ссылка )