Модель Гейзенберга (квант)

редактировать

Статистическая модель в квантовой механике магнитных материалов

Модель Гейзенберга,, разработанная Вернером Гейзенбергом, представляет собой статистическую механическую используемую модель при исследовании критических точек и фазовых переходов магнитных систем, в которых спины магнитных систем обрабатываются квантово-механически. Это связано с прототипной моделью Изинга, где на каждом узле решетки спин $σ i ∈ {± 1} {\ displaystyle \ sigma _ {i} \ in \ {\ pm 1 \}}$ $\ sigma _ {i} \ in \ {\ pm 1 \}$ представляет собой микроскопический магнитный диполь, у которого магнитный момент либо вверх, либо вниз. Помимо связи между магнитными дипольными моментами, существует также мультиполярная версия модели Гейзенберга, называемая мультиполярным обменным взаимодействием.

Содержание

1 Обзор
2 Приложения
3 См. Также
4 Ссылки
5 Примечания

Обзор

По причинам квантовой механики (см. обменное взаимодействие или Магнетизм § Квантово-механическое происхождение магнетизма ) преобладающая связь между два диполя могут привести к тому, что ближайшие соседи будут иметь самую низкую энергию, когда они выровнены. При этом предположении (так что магнитные взаимодействия происходят только между соседними диполями) и на одномерной периодической решетке гамильтониан может быть записан в виде

H ^ = - J ∑ j = 1 N σ J σ J + 1 - час ∑ J знак равно 1 N σ J {\ Displaystyle {\ Hat {H}} = - J \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sigma _ {j} \ sigma _ { j + 1} -h \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sigma _ {j}}

{\ hat H} = - J \ sum _ {{j = 1}} ^ {{N}} \ sigma _ {j} \ sigma _ {{j + 1}} - h \ sum _ {{j = 1}} ^ {{N}} \ sigma _ {j}

где $J {\ displaystyle J}$ $J$ - связь константа и диполи представлены классическими векторами (или «спинами») σ j с периодическим граничным условием $σ N + 1 = σ 1 {\ displaystyle \ sigma _ {N +1} = \ sigma _ {1}}$ $\ sigma _ {{N + 1} } = \ sigma _ {1}$ . Модель Гейзенберга является более реалистичной моделью, поскольку она рассматривает спины квантово-механически, заменяя спин квантовым оператором , действующим на тензорное произведение $(C 2) ⊗ N {\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {2}) ^ {\ otimes N}}$ $({\ mathbb {C}} ^ {2}) ^ {{ \ otimes N}}$ , размерности $2 N {\ displaystyle 2 ^ {N}}$ $2 ^ N$ . Чтобы определить его, вспомните матрицы спин-1/2 Паули

σ x = (0 1 1 0) {\ displaystyle \ sigma ^ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}}

\ sigma ^ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 1 \ \ 1 0 \ конец {pmatrix}}

σ y = (0 - ii 0) {\ displaystyle \ sigma ^ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 -i \\ i 0 \ end {pmatrix}}}

\ sigma ^ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 -i \\ i 0 \ end {pmatrix}}

σ z = (1 0 0-1) {\ displaystyle \ sigma ^ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \ end {pmatrix}}}

\ sigma ^ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \ end {pmatrix}}

и для $1 ≤ j ≤ N {\ Displaystyle 1 \ Leq J \ Leq N}$ ${\ displaystyle 1 \ leq j \ leq N}$ и $a ∈ {x, y, z} {\ displaystyle a \ in \ {x, y, z \}}$ ${\ displaystyle a \ in \ {x, y, z \}}$ обозначает $σ ja = I ⊗ j - 1 ⊗ σ a ⊗ I ⊗ N - j {\ displaystyle \ sigma _ {j} ^ {a} = I ^ {\ otimes j-1} \ otimes \ sigma ^ {a} \ otimes I ^ {\ otimes Nj}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {j} ^ {a} = I ^ { \ otimes j-1} \ otimes \ sigma ^ {a} \ otimes I ^ {\ otimes Nj}}$ , где $I {\ displaystyle I}$ $I$ - $2 × 2 {\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ times 2$ единичная матрица. Учитывая выбор констант связи с действительным знаком $J x, J y, {\ displaystyle J_ {x}, J_ {y},}$ $J_ { x}, J_ {y},$ и $J z {\ displaystyle J_ {z }}$ $J_ {z}$ , гамильтониан определяется как

H ^ = - 1 2 ∑ j = 1 N (J x σ jx σ j + 1 x + J y σ jy σ j + 1 y + J z σ jz σ j + 1 z + час σ jz) {\ displaystyle {\ hat {H}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {N} (J_ { x} \ sigma _ {j} ^ {x} \ sigma _ {j + 1} ^ {x} + J_ {y} \ sigma _ {j} ^ {y} \ sigma _ {j + 1} ^ {y } + J_ {z} \ sigma _ {j} ^ {z} \ sigma _ {j + 1} ^ {z} + h \ sigma _ {j} ^ {z})}

\ hat H = - \ frac {1} {2} \ sum_ { j = 1} ^ {N} (J_x \ sigma_j ^ x \ sigma_ {j + 1} ^ x + J_y \ sigma_j ^ y \ sigma_ {j + 1} ^ y + J_z \ sigma_j ^ z \ sigma_ {j + 1 } ^ z + h \ sigma_j ^ {z})

где $h {\ displaystyle h}$ $час$ в правой части указывает на внешнее магнитное поле с периодическими граничными условиями. Цель состоит в том, чтобы определить спектр гамильтониана, на основе которого может быть вычислена статистическая сумма и может быть изучена термодинамика системы.

Обычно модель называют в зависимости от значений $J x {\ displaystyle J_ {x}}$ $J_ {x}$ , $J y {\ displaystyle J_ {y}}$ ${ \ Displaystyle J_ {y}}$ и $J z {\ displaystyle J_ {z}}$ $J_ {z}$ : если $J x ≠ J y ≠ J z {\ displaystyle J_ {x} \ neq J_ {y} \ neq J_ { z}}$ ${\ displaystyle J_ {x} \ neq J_ {y} \ neq J_ {z}}$ , модель называется XYZ-моделью Гейзенберга; в случае $J = J x = J y ≠ J z = Δ {\ displaystyle J = J_ {x} = J_ {y} \ neq J_ {z} = \ Delta}$ $J = J_ {x} = J_ {y} \ neq J_ {z} = \ Delta$ , это модель Heisenberg XXZ ; если $J x = J y = J z = J {\ displaystyle J_ {x} = J_ {y} = J_ {z} = J}$ ${\ displaystyle J_ {x} = J_ {y} = J_ {z} = J}$ , это модель Гейзенберга XXX. Модель Гейзенберга со спином 1/2 в одном измерении может быть точно решена с помощью анзаца Бете. В алгебраической формулировке они связаны с конкретными квантовыми аффинными алгебрами и в случаях XXZ и XYZ соответственно. Другие подходы делают это без анзаца Бете.

Физика модели Гейзенберга XXX сильно зависит от знака константы связи $J {\ displaystyle J}$ $J$ и размерности Космос. Для положительного $J {\ displaystyle J}$ $J$ основным состоянием всегда является ферромагнитный. При отрицательном $J {\ displaystyle J}$ $J$ основным состоянием является антиферромагнитный в двух и трех измерениях. В одном измерении характер корреляций в антиферромагнитной модели Гейзенберга зависит от спина магнитных диполей. Если спин целочисленный, то присутствует только ближний порядок. Система полуцелых спинов.

Упрощенная версия модели Гейзенберга - это одномерная модель Изинга, в которой поперечное магнитное поле находится в x-направлении, а взаимодействие происходит только в z-направлении:

H ^ = - J Z ∑ J знак равно 1 N σ JZ σ J + 1 Z - г J Z ∑ J знак равно 1 N σ JX {\ Displaystyle {\ Hat {H}} = - J_ {z} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sigma _ {j} ^ {z} \ sigma _ {j + 1} ^ {z} -gJ_ {z} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ sigma _ {j} ^ { x}}

\ hat H = -J_z \ sum_ {j = 1} ^ {N} \ sigma_j ^ z \ sigma_ {j + 1} ^ z - gJ_z \ sum_ {j = 1} ^ {N} \ sigma_j ^ x

При малых g и больших g вырождение основного состояния другое, что означает, что между ними должен быть квантовый фазовый переход. Ее можно решить точно для критической точки с помощью анализа двойственности. Переход двойственности матриц Паули равен $σ iz = ∏ j ≤ i S jx {\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {z} = \ prod _ {j \ leq i} S_ {j} ^ {x }}$ $\ sigma_i ^ z = \ prod_ {j \ leq i} S ^ x_j$ и $σ ix = S iz S i + 1 z {\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {x} = S_ {i} ^ {z} S_ {i + 1} ^ {z}}$ $\ sigma_i ^ x = S ^ z_i S ^ z_ {я + 1}$ , где $S x {\ displaystyle S ^ {x}}$ $S^x$ и $S z {\ displaystyle S ^ {z}}$ $S ^ z$ также являются матрицами Паули, которые подчиняются алгебре матриц Паули. При периодических граничных условиях можно показать, что преобразованный гамильтониан имеет очень похожий вид:

H ^ = - g J z ∑ j = 1 NS jz S j + 1 z - J z ∑ j = 1 NS jx {\ displaystyle {\ hat {H}} = - gJ_ {z} \ sum _ {j = 1} ^ {N} S_ {j} ^ {z} S_ {j + 1} ^ {z} -J_ {z} \ sum _ {j = 1} ^ {N} S_ {j} ^ {x}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = - gJ_ {z} \ sum _ {j = 1} ^ {N} S_ {j} ^ {z} S_ {j + 1} ^ { z} -J_ {z} \ sum _ {j = 1} ^ {N} S_ {j} ^ {x}}

, но для $g {\ displaystyle g}$ $g$ , прикрепленного к члену взаимодействия вращения. Предполагая, что существует только одна критическая точка, мы можем заключить, что фазовый переход происходит при $g = 1 {\ displaystyle g = 1}$ $g = 1$ .

Applications

Другой важный объект - энтропия запутанности. Один из способов описать это - разделить уникальное основное состояние на блок (несколько последовательных спинов) и окружение (остальное основное состояние). Энтропию блока можно рассматривать как энтропию запутанности. При нулевой температуре в критической области (термодинамический предел) она логарифмически масштабируется с размером блока. С повышением температуры логарифмическая зависимость изменяется на линейную функцию. Для больших температур линейная зависимость следует из второго закона термодинамики.

Модель Гейзенберга представляет собой важный и удобный теоретический пример применения перенормировки матрицы плотности.

шестивершинной модели может быть решена с использованием алгебраического анзаца Бете для спиновой цепи Гейзенберга (см. Бакстер, «Точно решаемые модели в статистической механике»).

Наполовину заполненная модель Хаббарда в пределе сильного отталкивающего взаимодействия может быть отображено на модель Гейзенберга с $J < 0 {\displaystyle J<0}$ ${\ displaystyle J <0}$ , представляющим силу суперобменного взаимодействия.

См. также

Литература

RJ Бакстер, Точно решаемые модели в статистической механике, Лондон, Academic Press, 1982
W. Гейзенберг. Zur Theorie des Ferromagnetismus. Zeitschrift für Physik 49 (1928): 619-636.
Х. Бете, Zur Theorie der Metalle, Zeitschrift für Physik A, 1931 doi : 10.1007 / BF01341708

Примечания