Гармоническая прогрессия (математика)

редактировать

Первые десять членов гармоники последовательность

an = 1 n {\ displaystyle a_ {n} = {\ tfrac {1} {n}}}

{\ displaystyle a_ {n} = {\ tfrac { 1} {n}}}

В математике, гармоническая прогрессия (или гармоническая последовательность ) - это прогрессия, образованная обратными величинами арифметической прогрессии.

Эквивалентно, последовательность является гармонической прогрессией, когда каждый член является гармоническим означает из соседних терминов.

В качестве третьей эквивалентной характеристики это бесконечная последовательность вида

$1 a, 1 a + d, 1 a + 2 d, 1 a + 3 d, ⋯, {\ displaystyle {\ frac {1} {a}}, \ {\ frac {1} {a + d}} \, {\ frac {1} {a + 2d}} \, {\ frac {1} {a + 3d}} \, \ cdots,}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {a}}, \ {\ frac {1} {a + d}} \, {\ frac {1} {a + 2d}} \, {\ frac {1} {a + 3d}} \, \ cdots,}$

, где a не равно нулю, а −a / d не является натуральным числом или конечной последовательностью вида

$1 a, 1 a + d, 1 a + 2 d, 1 a + 3 d, ⋯, 1 a + kd, {\ displaystyle {\ frac {1} {a}}, \ {\ frac {1} {a + d}} \, {\ frac {1} {a + 2d}} \, {\ frac {1} {a + 3d}} \, \ cdots, {\ frac {1} {a + kd}},}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {a}}, \ {\ frac {1} {a + d} } \, {\ frac {1} {a + 2d}} \, {\ frac {1} {a + 3d}} \, \ cdots, {\ frac {1} {a + kd}},}$

где a не равно нулю, k - натуральное число, а −a / d не является натуральным числом или больше k.

Содержание

1 Примеры
2 Суммы гармонических последовательностей
3 Использование в геометрии
4 Падающая башня Лир
5 См. Также
6 Ссылки

Примеры

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
12, 6, 4, 3, $12 5 {\ displaystyle {\ tfrac {12} { 5}}}$ $\ tfrac {12} {5}$ , 2,…, $12 n {\ displaystyle {\ tfrac {12} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {12} {n}}}$ ,…
30, −30, −10, −6, - $30 7 {\ displaystyle {\ tfrac {30} {7}}}$ $\ tfrac {30} {7}$ ,…, $10 1 - 2 n 3 {\ displaystyle {\ tfrac {10} {1 - {\ tfrac {2n} {3}}}}}$ $\ tfrac {10} {1- \ tfrac {2n} {3} }$
10, 30, −30, −10, −6, - $30 7 {\ displaystyle {\ tfrac {30} {7}}}$ $\ tfrac {30} {7}$ ,…, $10 1–2 (n - 1) 3 {\ displaystyle {\ tfrac {10} {1 - {\ tfrac {2 (n- 1)} {3}}}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {10} {1 - {\ tfrac {2 (n-1)} {3}}}}}$

Суммы гармонических прогрессий

Бесконечные гармонические прогрессии не суммируемы (сумма до бесконечности).

Невозможно для гармонической прогрессии различных единичных дробей (кроме тривиального случая, когда a = 1 и k = 0) суммировать до целого числа. Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии обязательно будет делиться на простое число, которое не делит никакого другого знаменателя.

Использование в геометрии

Если коллинеарные точки A, B, C и D таковы, что D является гармоническим сопряженным точки C относительно A и B, тогда расстояния от любой из этих точек до три оставшихся точки образуют гармоническую прогрессию. В частности, каждая из последовательностей AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB; а DA, DC, DB - гармонические последовательности, где каждое из расстояний подписано в соответствии с фиксированной ориентацией линии.

В треугольнике, если высоты находятся в арифметической прогрессии, то стороны находятся в гармонической прогрессии.

Падающая Башня Лир

Прекрасным примером Гармонического Прогресса является Падающая Башня Лира. В нем однородные блоки укладываются друг на друга для достижения максимального бокового или бокового расстояния. Блоки укладываются друг на друга на 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10… расстояния в сторону под исходным блоком. Это гарантирует, что центр тяжести находится как раз в центре конструкции, чтобы она не разрушилась. Небольшое увеличение веса конструкции приводит к ее нестабильности и падению.

См. Также

Ссылки

Освоение технической математики Стэном Гибилиско, Норман Х. Кроухерст, (2007) стр. 221
Стандартные математические таблицы Chemical Rubber Company (1974) стр. 102
Основы алгебры для средних школ Вебстера Уэллса (1897) стр. 307