Вселенная Гротендика

редактировать

В математике Вселенная Гротендика - это множество U со следующими свойствами:

Если x является элементом U и если y является элементом x, то y также является элементом U. (U - это транзитивное множество.)
Если x и y являются элементами U, то ${x, y} {\ displaystyle \ {x, y \}}$ $\ {x, y \}$ является элементом U.
Если x является элементом U, то P (x), набор мощности x, также является элементом U.
Если ${x α} α ∈ I {\ displaystyle \ {x _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in I}}$ $\ {x_ \ alpha \} _ { \ alpha \ in I}$ - семейство элементов U, и если I является элементом U, то союз $⋃ α ∈ I x α {\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} x _ {\ alpha}}$ $\ bigcup _ {\ alpha \ in I} x_ \ alpha$ является элементом U.

Вселенная Гротендика предназначена для предоставления набора в который можно выполнить всю математику. (Фактически, бесчисленные вселенные Гротендика предоставляют модели теории множеств с естественным ∈-отношением, естественной операцией набора мощности и т. Д.). Элементы вселенной Гротендика иногда называют небольшими множествами . Идея вселенных принадлежит Александру Гротендику, который использовал их как способ избежать правильных классов в алгебраической геометрии.

Существование нетривиальной вселенной Гротендика выходит за рамки обычные аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля ; в частности, это будет означать существование сильно недоступных кардиналов. Теория множеств Тарского – Гротендика - аксиоматическая трактовка теории множеств, используемая в некоторых автоматических системах доказательства, в которых каждое множество принадлежит вселенной Гротендика. Концепция вселенной Гротендика также может быть определена в topos.

Содержание

1 Свойства
2 Вселенные Гротендика и недоступные кардиналы
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Свойства

В качестве примера мы докажем простое предложение.

Предложение . Если

x ∈ U {\ displaystyle x \ in U}

x \ in U

y ⊆ x {\ displaystyle y \ substeq x}

y \ substeq x

, то

y ∈ U {\ displaystyle y \ in U}

y \ in U

Доказательство.

y ∈ P (x) {\ displaystyle y \ in P (x)}

y \ in P (x)

потому что

y ⊆ x {\ displaystyle y \ substeq x}

y \ substeq x

P (x) ∈ U {\ displaystyle P (x) \ in U}

P (x) \ in U

, потому что

x ∈ U {\ displaystyle x \ in U}

x \ in U

, поэтому

y ∈ U {\ displaystyle y \ in U}

y \ in U

Аналогично легко доказать, что любая вселенная Гротендика U содержит:

все синглтоны каждого из своих элементов,
все произведения всех семейств элементов из U, индексированных элементом U,
Все непересекающиеся объединения всех семейств элементов U, индексированных элементом U,
Все пересечения всех семейств элементов U, индексированных элемент U,
Все функции между любыми двумя элементами U и
Все подмножества U, кардинал которых является элементом U.

В частности, это следует из последней аксиомы что если U непусто, оно должно содержать все свои конечные подмножества и подмножество каждой конечной мощности. Также можно сразу доказать из определений, что пересечение любого класса вселенных является вселенной.

Вселенные Гротендика и недоступные кардиналы

Есть два простых примера вселенных Гротендика:

пустое множество и
множество всех $V ω { \ displaystyle V _ {\ omega}}$ $V _ {\ omega}$ .

Другие примеры построить сложнее. Грубо говоря, это потому, что вселенные Гротендика эквивалентны сильно недоступным кардиналам. Более формально следующие две аксиомы эквивалентны:

(U) Для каждого множества x существует универсум Гротендика U такой, что x ∈ U.

Для доказательства этого факта введем функцию c (U). Определим:

c (U) = sup x ∈ U | х | {\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ sup _ {x \ in U} | x |}

\ mathbf {c} (U) = \ sup_ {x \ in U} | x |

где by | x | мы имеем в виду мощность x. Тогда для любого универсума U c (U) либо равно нулю, либо полностью недоступен. Предполагая, что он не равен нулю, это сильный предельный кардинал, потому что набор мощности любого элемента U является элементом U, а каждый элемент U является подмножеством U. Чтобы убедиться, что он регулярный, предположим, что c λ - это набор кардиналов, проиндексированных I, где мощность I и каждого c λ меньше c (U). Тогда, по определению c (U), I и каждый c λ могут быть заменены элементом U. Объединение элементов U, индексированных элементом U, равно элемент U, поэтому сумма c λ имеет мощность элемента U, следовательно, меньше, чем c (U). Применяя аксиому основания, что ни одно множество не содержится в себе, можно показать, что c (U) равно | U |; когда аксиома основания не предполагается, существуют контрпримеры (мы можем взять, например, U как множество всех конечных множеств конечных множеств и т. д. множеств x α, где индекс α - любой действительный число и x α = {x α } для каждого α. Тогда U имеет мощность континуума, но все его элементы имеют конечную мощность и поэтому $c ( U) = ℵ 0 {\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ aleph _ {0}}$ $\ mathbf {c} (U) = \ aleph_0$ ; подробнее см. Статью Бурбаки).

Пусть κ - сильно недоступный кардинал. Скажем, что множество S строго типа κ, если для любой последовательности s n ∈... ∈ s 0 ∈ S, | s n| < κ. (S itself corresponds to the empty sequence.) Then the set u(κ) of all sets strictly of type κ is a Grothendieck universe of cardinality κ. The proof of this fact is long, so for details, we again refer to Bourbaki's article, listed in the references.

Чтобы показать, что аксиома большого кардинала (C) следует аксиома вселенной (U), выберите набор x. Пусть x 0 = x, и для каждого n пусть x n + 1 = $⋃ {\ displaystyle \ bigcup}$ $\ bigcup$ xnбудет объединением элементов x n. Пусть y = $⋃ n {\ displaystyle \ bigcup _ {n}}$ $\bigcup_n$ xn. По (C) существует сильно недоступный кардинал κ такой, что | y | < κ. Let u(κ) be the universe of the previous paragraph. x is strictly of type κ, so x ∈ u(κ). To show that the universe axiom (U) implies the large cardinal axiom (C), choose a cardinal κ. κ is a set, so it is an element of a Grothendieck universe U. The cardinality of U is strongly inaccessible and strictly larger than that of κ.

Фактически, любая вселенная Гротендика имеет вид u (κ) для некоторого κ. Это дает другую форму эквивалентности между вселенными Гротендика и сильно недоступными кардиналами:

Для любой вселенной Гротендика U, | U | равно нулю,

ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}

\ aleph _ {0}

или сильно недоступному кардиналу. И если κ равно нулю,

ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}

\ aleph _ {0}

или сильно недоступный кардинал, тогда существует вселенная Гротендика u (κ). Кроме того, u (| U |) = U и | u (κ) | = κ.

Поскольку существование сильно недоступных кардиналов не может быть доказано с помощью аксиом теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC), существование вселенных, отличных от пустого множества и $V ω {\ displaystyle V _ {\ omega}}$ $V _ {\ omega}$ также не может быть подтверждено ZFC. Однако крайне недоступные кардиналы находятся в нижней части списка крупных кардиналов ; таким образом, большинство теорий множеств, использующих большие кардиналы (например, «ZFC плюс есть измеримый кардинал », «ZFC плюс бесконечно много кардиналов Вудина ») докажут, что вселенные Гротендика существовать.

См. Также

Примечания

Ссылки

Бурбаки, Николас (1972). "Универсал". В Майкл Артин ; Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Конспект лекций по математике 269 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. С. 185–217.