Золотая спираль

редактировать

Золотые спирали самоподобны. Форма бесконечно повторяется при увеличении.

В геометрии, золотая спираль представляет собой логарифмическую спираль с коэффициентом роста φ, золотое сечение. То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего начала) в φ раз на каждую четверть оборота.

Содержание

1 Аппроксимация золотой спирали
2 Спирали в природе
3 Математика
- 3.1 Полярный наклон
4 См. Также
5 Ссылки

Аппроксимации золотой спирали

Приблизительные и истинные золотые спирали: зеленая спираль состоит из четверти окружностей, касающихся внутренней части каждого квадрата, а красная спираль - это золотая спираль, особый тип логарифмической спирали. Перекрывающиеся части отображаются желтым цветом. Длина стороны большего квадрата до следующего меньшего квадрата находится в золотом сечении. Для квадрата со стороной 1 следующий меньший квадрат имеет ширину 1 / φ. Следующая ширина - 1 / φ², затем 1 / φ³ и т. Д.

Есть несколько сопоставимых спиралей, которые приблизительно равны золотой спирали, но не точно равны ей.

Например, золотая спираль можно аппроксимировать, начав с прямоугольника, для которого соотношение длины и ширины является золотым сечением. Затем этот прямоугольник можно разделить на квадрат и аналогичный прямоугольник, а затем таким же образом можно разделить этот новейший прямоугольник. Если продолжить этот процесс для произвольного количества шагов, результатом будет почти полное разбиение прямоугольника на квадраты. Углы этих квадратов можно соединить четвертью окружностей. Результат, хотя и не является истинной логарифмической спиралью, близко аппроксимируется золотой спиралью.

Другое приближение - спираль Фибоначчи, которая построена несколько иначе. Спираль Фибоначчи начинается с прямоугольника, разделенного на 2 квадрата. На каждом шаге к прямоугольнику добавляется квадрат, равный длине самой длинной стороны прямоугольника. Поскольку соотношение между последовательными числами Фибоначчи приближается к золотому сечению, когда числа Фибоначчи приближаются к бесконечности, эта спираль становится все более похожей на предыдущее приближение, чем больше добавляется квадратов, как показано на изображении.

Спирали в природе

Приблизительные логарифмические спирали могут встречаться в природе, например, рукава спиральных галактик - золотые спирали являются одним из частных случаев эти логарифмические спирали, хотя нет никаких свидетельств того, что есть какая-либо общая тенденция к появлению этого случая. Филлотаксис связан с золотым сечением, потому что он включает в себя следующие друг за другом листья или лепестки, разделенные золотым углом ; это также приводит к появлению спиралей, хотя опять же, ни одна из них (обязательно) не является золотой спиралью. Иногда утверждается, что спиральные галактики и оболочки наутилуса становятся шире по форме золотой спирали и, следовательно, связаны как с φ, так и с рядами Фибоначчи. По правде говоря, спиральные галактики и оболочки наутилусов (и многие раковины моллюсков) демонстрируют рост по логарифмической спирали, но под разными углами, которые обычно заметно отличаются от углов золотой спирали. Этот паттерн позволяет организму расти без изменения формы.

Математика

Спираль Фибоначчи аппроксимирует золотую спираль с помощью дуг четверти круга, вписанных в квадраты, полученные из последовательности Фибоначчи.

золотой спирали с начальным радиусом 1 - геометрическое место точек полярных координат $(r, θ) {\ displaystyle (r, \ theta)}$ $(г, \ тета)$ , удовлетворяющее

r = φ θ 2 π {\ displaystyle r = \ varphi ^ {\ theta {\ frac {2} {\ pi}}} \,}

{\ displaystyle r = \ varphi ^ {\ theta {\ frac {2} {\ pi}}} \,}

Полярное уравнение для золотой спирали такое же, как и для других логарифмических спиралей, но с особым значением фактора роста b:

r = aeb θ {\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta} \,}

r = ae ^ {b \ theta} \,

или

θ = 1 b ln ⁡ ( r / a), {\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),}

\ theta = \ frac {1} {b} \ ln (r / a),

, где e является основанием натурального логарифма, где a - начальный радиус спирали, а b такой, что когда θ представляет собой прямой угол (четверть оборота в любом направлении):

eb θ right = φ {\ displaystyle e ^ {б \ тета _ {\ mathrm {right}}} \, = \ varphi}

e ^ {b \ theta_ \ mathrm {right}} \, = \ varphi

Следовательно, b определяется как

b = ln ⁡ φ θ r i g h t. {\ displaystyle b = {\ ln {\ varphi} \ over \ theta _ {\ mathrm {right}}}.}

b = {\ ln {\ varphi } \ over \ theta_ \ mathrm {right}}.

Спираль Лукаса приближается к золотой спирали, когда ее члены большие, но не когда они маленькие. Включены 10 членов, от 2 до 76.

Числовое значение b зависит от того, измеряется ли прямой угол как 90 градусов или как $π 2 {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ pi} { 2}}}$ $\ textstyle \ frac {\ pi} {2}$ радианы; и поскольку угол может быть в любом направлении, проще всего написать формулу для абсолютного значения $b {\ displaystyle b}$ $b$ (то есть b также может быть отрицательным для этого значения):

| б | = ln ⁡ φ 90 ≐ 0,0053468 {\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ over 90} \ doteq 0,0053468 \,}

| b | = {\ ln {\ varphi} \ over 90} \ doteq 0.0053468 \,

для θ в градусах;

| б | знак равно ln ⁡ φ π / 2 ≐ 0.3063489 {\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ over \ pi / 2} \ doteq 0.3063489 \,}

| b | = {\ ln {\ varphi} \ over \ pi / 2} \ doteq 0.3063489 \,

для θ в радианах. OEIS : A212225

Альтернативная формула для логарифмической и золотой спирали:

r = ac θ {\ displaystyle r = ac ^ {\ theta} \,}

r = ac ^ {\ theta} \,

где константа c определяется выражением:

c = eb {\ displaystyle c = e ^ {b} \,}

c = e ^ b \,

, что для золотой спирали дает значения c:

c = φ 1 90 ≐ 1.0053611 {\ displaystyle c = \ varphi ^ {\ frac {1} {90}} \ doteq 1.0053611}

c = \ varphi ^ \ frac {1} {90} \ doteq 1.0053611

, если θ измеряется в градусах, а

c = φ 2 π ≐ 1,358456. {\ displaystyle c = \ varphi ^ {\ frac {2} {\ pi}} \ doteq 1.358456.}

c = \ varphi ^ \ frac {2} {\ pi} \ doteq 1.358456.

OEIS : A212224

, если θ измеряется в радианах.

Относительно логарифмических спиралей золотая спираль обладает тем отличительным свойством, что для четырех коллинеарных точек спирали A, B, C, D, принадлежащих аргументам θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3π, точка C представляет собой проективное гармоническое сопряжение элемента B относительно A, D, то есть перекрестное отношение (A, D; B, C) имеет сингулярное значение -1. Золотая спираль - это единственная логарифмическая спираль, в которой (A, D; B, C) = (A, D; C, B).

Полярный наклон

Определение угла наклона и сектора

В полярном уравнении для логарифмической спирали :

r = aeb θ {\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta} \,}

r = ae ^ {b \ theta} \,

параметр b связан с полярным углом наклона $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ :

tan ⁡ α = b {\ displaystyle \ tan \ alpha = b}

{\ displaystyle \ tan \ alpha = b}

В золотой спирали, будучи $b {\ displaystyle b}$ $b$ константой и равной $| б | = ln ⁡ φ π / 2 {\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ over \ pi / 2}}$ ${\ displaystyle | b | = {\ ln {\ varphi} \ over \ pi / 2}}$ (для θ в радианах, как определено выше), угол наклона $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ равно: