Экспоненциальный объект

редактировать

В математике, особенно в теории категорий, экспоненциальный объект или объект карты является категориальным обобщением функционального пространства в теории множеств. Категории со всеми конечными произведениями и экспоненциальными объектами называются декартовыми замкнутыми категориями. Категории (например, подкатегории из Top ) без присоединенных продуктов могут по-прежнему иметь экспоненциальный закон .

Содержание

1 Определение
- 1.1 Определение уравнения
- 1.2 Универсальное свойство
2 Примеры
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

Пусть $C {\ displaystyle \ mathbf {C}}$ $\ mathbf {C}$ будет категорией, пусть $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ быть объектами из $C {\ displaystyle \ mathbf {C}}$ $\ mathbf {C}$ , и пусть $C {\ displaystyle \ mathbf {C}}$ $\ mathbf {C}$ иметь все двоичные продукты с $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Объект $ZY {\ textstyle Z ^ {Y}}$ ${ \ textstyle Z ^ {Y}}$ вместе с морфизмом $eval: (ZY × Y) → Z {\ textstyle \ mathrm {eval } \ двоеточие (Z ^ {Y} \ times Y) \ rightarrow Z}$ ${\ textstyle \ mathrm {eval} \ двоеточие (Z ^ {Y} \ times Y) \ rightarrow Z}$ является экспоненциальным объектом, если для любого объекта $X {\ displaystyle X}$ $X$ и морфизма $g: X × Y → Z {\ textstyle g \ двоеточие X \ times Y \ to Z}$ ${\ textstyle g \ двоеточие X \ times Y \ to Z}$ существует уникальный морфизм $λ g: X → ZY {\ textstyle \ lambda g \ двоеточие X \ to Z ^ {Y}}$ ${\ textstyle \ lambda g \ двоеточие X \ to Z ^ {Y}}$ (называется транспонированием $g {\ displaystyle g}$ $g$ ) так, что следующая диаграмма коммутирует :

Универсальное свойство экспоненциального объекта

Это присвоение уникального $λ g {\ displaystyle \ lambda g}$ $\ lambda g$ для каждого $g {\ displaystyle g}$ $g$ устанавливает изоморфизм hom-множества, $H om (X × Y, Z) ≅ H om (X, ZY). {\ textstyle \ mathrm {Hom} (X \ times Y, Z) \ cong \ mathrm {Hom} (X, Z ^ {Y}).}$ ${\ textstyle \ mathrm {Hom} (X \ times Y, Z) \ cong \ mathrm {Hom} (X, Z ^ {Y}).}$

Если $ZY {\ textstyle Z ^ {Y} }$ ${ \ textstyle Z ^ {Y}}$ существует для всех объектов $Z, Y {\ displaystyle Z, Y}$ ${\ displaystyle Z, Y}$ в $C {\ displaystyle \ mathbf {C}}$ $\ mathbf {C}$ , то функция $(-) Y: C → C {\ displaystyle (-) ^ {Y} \ двоеточие \ mathbf {C} \ to \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle (-) ^ {Y} \ двоеточие \ mathbf {C} \ to \ mathbf {C}}$ определяется на объектах с помощью $Z ↦ ZY {\ displaystyle Z \ mapsto Z ^ {Y}}$ ${\ displaystyle Z \ mapsto Z ^ {Y}}$ и на стрелках с помощью $(f: X → Z) ↦ (f Y: XY → ZY) {\ displaystyle (f \ двоеточие X \ к Z) \ mapsto (f ^ {Y} \ двоеточие X ^ {Y} \ to Z ^ {Y})}$ ${\ displaystyle (е \ двоеточие X \ к Z) \ mapsto (f ^ {Y} \ двоеточие X ^ {Y} \ to Z ^ {Y})}$ , является справа, сопряженный с функтором произведения $- × Y {\ displaystyle - \ times Y}$ ${\ displaystyle - \ times Y}$ . По этой причине морфизмы $λ g {\ displaystyle \ lambda g}$ $\ lambda g$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ иногда называют экспоненциально сопряженными друг к другу. 68>

Определение уравнения

В качестве альтернативы, экспоненциальный объект может быть определен посредством уравнений:

Существование $λ g {\ displaystyle \ lambda g}$ $\ lambda g$ гарантируется существование операции $λ - {\ displaystyle \ lambda -}$ ${ \ displaystyle \ lambda -}$ .
Коммутативность приведенных выше диаграмм гарантируется равенством $∀ g: X × Y → Z, eval ∘ (λ g × id Y) = g {\ displaystyle \ forall g \ двоеточие X \ times Y \ to Z, \ \ mathrm {eval} \ circ (\ lambda g \ times \ mathrm {id} _ {Y}) = g}$ ${\ displaystyle \ forall g \ двоеточие X \ times Y \ to Z, \ \ mathrm {eval} \ circ (\ lambda g \ times \ mathrm {id} _ {Y}) = g}$ .
Уникальность $λ g {\ displaystyle \ lambda g}$ $\ lambda g$ гарантируется равенством $∀ h: X → ZY, λ (eval ∘ (h × id Y)) = h {\ displaystyle \ для всех h \ двоеточие X \ в Z ^ {Y}, \ \ lambda (\ mathrm {eval} \ circ (h \ times \ mathrm {id} _ {Y})) = h}$ ${\ displaystyle \ forall h \ двоеточие X \ до Z ^ {Y}, \ \ lambda (\ mathrm {eval} \ circ (h \ times \ mathrm {id } _ {Y})) = h}$ .

Универсальное свойство

Показательная величина $ZY {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ дает n посредством универсального морфизма из функтора произведения $- × Y {\ displaystyle - \ times Y}$ ${\ displaystyle - \ times Y}$ к объекту $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ . Этот универсальный морфизм состоит из объекта $ZY {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ и морфизма $eval: (ZY × Y) → Z {\ textstyle \ mathrm {eval} \ двоеточие (Z ^ {Y} \ times Y) \ rightarrow Z}$ ${\ textstyle \ mathrm {eval} \ двоеточие (Z ^ {Y} \ times Y) \ rightarrow Z}$ .

Примеры

В категории наборов экспоненциальный объект $ZY {\ displaystyle Z ^ { Y}}$ $Z ^ {Y}$ - это набор всех функций $Y → Z {\ displaystyle Y \ to Z}$ ${\ displaystyle Y \ to Z}$ . Карта $eval: (ZY × Y) → Z {\ displaystyle \ mathrm {eval} \ двоеточие (Z ^ {Y} \ times Y) \ to Z}$ $\ mathrm {eval} \ двоеточие (Z ^ {Y} \ times Y) \ to Z$ - это просто карта оценки, которая отправляет пару $(f, y) {\ displaystyle (f, y)}$ ${\ displaystyle (f, y)}$ в $f (y) {\ displaystyle f (y)}$ $f (y)$ . Для любой карты $g: (X × Y) → Z {\ displaystyle g \ двоеточие (X \ times Y) \ rightarrow Z}$ $g \ двоеточие (X \ times Y) \ rightarrow Z$ карта $λ g: X → ZY {\ displaystyle \ lambda g \ двоеточие X \ to Z ^ {Y}}$ $\ lambda g \ двоеточие X \ до Z ^ {Y}$ - это каррированная форма $g {\ displaystyle g}$ $g$ :

λ g (x) ( у) = д (х, у). {\ displaystyle \ lambda g (x) (y) = g (x, y). \,}

\ lambda g (x) (y) = g (x, y). \,

A алгебра Гейтинга $H {\ displaystyle H}$ $H$ - это просто ограниченное решетка, содержащая все экспоненциальные объекты. Значение Гейтинга, $Y ⇒ Z {\ displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ $Y \ Rightarrow Z$ , является альтернативным обозначением для $Z Y {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ . Приведенные выше результаты присоединения переводятся в импликацию ( $⇒: H × H → H {\ displaystyle \ Rightarrow: H \ times H \ to H}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow: H \ раз от H \ до H}$ ), являющегося правым сопряженным с соответствуют ( $∧: H × H → H {\ displaystyle \ wedge: H \ times H \ to H}$ ${\ displaystyle \ wedge: H \ times H \ to H}$ ). Это присоединение можно записать как $(- ∧ Y) ⊣ (Y ⇒ -) {\ displaystyle (- \ wedge Y) \ dashv (Y \ Rightarrow -)}$ ${\ displaystyle (- \ wedge Y) \ dashv (Y \ Rightarrow -)}$ , или более полно как:

(- ∧ Y): H ⊤ ⟵ ⟶ H: (Y ⇒ -) {\ displaystyle (- \ wedge Y): H {\ stackrel {\ longrightarrow} {\ underset {\ longleftarrow} {\ top}} } H: (Y \ Rightarrow -)}

{\ displaystyle (- \ wedge Y): H {\ stackrel {\ longrightarrow} {\ underset {\ longleftarrow} {\ top}}} H: (Y \ Rightarrow -)}

В категории топологических пространств существует экспоненциальный объект $ZY {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ при условии что $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ является локально компактным пространством Хаусдорфа. В этом случае пробел $ZY {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ представляет собой набор всех непрерывных функций из $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ - $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ вместе с компактно-открытой топологией. Оценочная карта такая же, как в категории наборов; она является продолжением указанной выше топологии. Если $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ не является локально компактным по Хаусдорфу, экспоненциальный объект может не существовать (пространство $ZY {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ все еще существует, но он может не быть экспоненциальным объектом, поскольку функция оценки не обязательно должна быть непрерывной). По этой причине категория топологических пространств не может быть декартово замкнутой. Однако категория локально компактных топологических пространств также не является декартово замкнутой, поскольку $ZY {\ displaystyle Z ^ {Y}}$ $Z ^ {Y}$ не обязательно должен быть локально компактным для локально компактных пространств $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ . Декартова замкнутая категория пространств, например, задается полной подкатегорией, натянутой на компактно порожденные хаусдорфовы пространства.

. В языках функционального программирования морфизм $eval {\ displaystyle \ operatorname {eval}}$ $\ operatorname {eval}$ часто называется $apply {\ displaystyle \ operatorname {apply}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {применить }}$ , а синтаксис $λ g {\ displaystyle \ lambda g}$ $\ lambda g$ часто записывается как $curry ⁡ (g) {\ displaystyle \ operatorname {curry} (g)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {curry} (g)}$ . Морфизм $eval {\ displaystyle \ operatorname {eval}}$ $\ operatorname {eval}$ здесь не следует путать с функцией eval в некоторых языках программирования, которая вычисляет цитируемые выражения.

См. Также

Закрытая моноидальная категория

Примечания

Ссылки

Adámek, Jiří; Хорст Херрлих; Джордж Стрекер (2006) [1990]. Абстрактные и конкретные категории (Кошачьи радости). John Wiley Sons.
Awodey, Стив (2010). «Глава 6: Экспоненты». Теория категорий. Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0199237180.
Маклейн, Сондерс (1998). «Глава 4: Смежные». Категории для работающего математика. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0387984032.

Внешние ссылки

Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры экспоненциальных объектов и других категориальных конструкций. Автор Джоселин Пейн.