Точное дифференциальное уравнение

В математике, точное дифференциальное уравнение или полное дифференциальное уравнение - это разновидность обыкновенного дифференциального уравнения, которое широко используется в физике и технике.

• 1 Определение
  • 1.1 Пример
• 2 Существование потенциальных функций
• 3 Решения точных дифференциальных уравнений
• 4 Точные дифференциальные уравнения второго порядка
  • 4.1 Пример
• 5 Точные дифференциальные уравнения высшего порядка
  • 5.1 Пример
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература

Учитывая односвязное и открытое подмножество D из R и два функции I и J, которые непрерывны на D, неявное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

$I\; (x,\; y)\; dx\; +\; J\; (x,\; y)\; dy\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; +\; J\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; =\; 0,\; \backslash ,\; \backslash !\}$

называется d точное дифференциальное уравнение, если существует непрерывно дифференцируемая функция F, называемая потенциальной функцией, так что

$\partial \; F\; \partial \; x\; =\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; I\}$

и

$\partial \; F\; \partial \; y\; =\; J.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; J.\}$

Термин «точное дифференциальное уравнение» относится к точному дифференциалу функции. Для функции $F\; (x\; 0,\; x\; 1,...,\; xn\; -\; 1,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x\_\; \{0\},\; x\_\; \{1\},...,\; x\_\; \{n-1\},\; x\_\; \{n\})\}$, точная или полная производная по $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$задается как

$d\; F\; dx\; 0\; знак\; равно\; \partial \; F\; \partial \; x\; 0\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; n\; \partial \; F\; \partial \; xidxidx\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; F\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{0\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\_\; \{0\}\}\}.\}$

Пример

Функция $F:\; R\; 2\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; F:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$задано как

$F\; (x,\; y)\; =\; 1\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; +\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; +\; c\}$

- потенциальная функция для дифференциального уравнения

$xdx\; +\; ydy\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; +\; y\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; y\; =\; 0.\; \backslash ,\}$

В физических приложениях функции I и J обычно не только непрерывны, но даже непрерывно дифференцируемы. Теорема Шварца затем предоставляет нам необходимый критерий существования потенциальной функции. Для дифференциальных уравнений, определенных на односвязных множествах, критерий даже достаточен, и мы получаем следующую теорему:

Для дифференциального уравнения вида (например, когда F имеет нулевой наклон в направления x и y в точке F (x, y)):

$I\; (x,\; y)\; dx\; +\; J\; (x,\; y)\; dy\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; +\; J\; (x,\; y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; =\; 0,\; \backslash ,\; \backslash !\}$

с I и J, непрерывно дифференцируемыми на односвязном и открытом подмножестве D в R, тогда потенциальная функция F существует тогда и только тогда, когда

$\partial \; I\; \partial \; y\; (x,\; y)\; =\; \partial \; J\; \partial \; x\; (x,\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; y).\}$

Дано точное дифференциальное уравнение, определенное на некотором односвязном и открытом подмножестве D в R с потенциальной функцией F, дифференцируемая функция f с (x, f (x)) в D является решением тогда и только тогда, когда существует вещественное число c, так что

$F\; (x,\; f\; (x))\; =\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; f\; (x))\; =\; c.\; \backslash ,\}$

Для задачи начального значения

$y\; (x\; 0)\; =\; y\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x\_\; \{0\})\; =\; y\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$

мы можем локально найти потенциальную функцию по

$F\; (x,\; y)\; =\; \int \; x\; 0\; x\; I\; (t,\; y\; 0)\; dt\; +\; \int \; y\; 0\; y\; J\; (x,\; t)\; dt\; =\; x\; 0\; x\; I\; (t,\; y\; 0)\; dt\; +\; \int \; y\; 0\; y\; [J\; (x\; 0,\; t)\; +\; \int \; x\; 0\; x\; \partial \; I\; \partial \; t\; (u,\; t)\; du]\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{x\}\; I\; (t,\; y\_\; \{0\})\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{y\_\; \{0\}\}\; ^\; \{y\; \}\; J\; (x,\; t)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{x\}\; I\; (t,\; y\_\; \{0\})\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{y\_\; \{0\}\; \}\; ^\; \{y\}\; \backslash \; left\; [J\; (x\_\; \{0\},\; t)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; I\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; (u,\; t)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; u\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t.\}$

Решение

$F\; (x,\; y)\; =\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; c\; \backslash ,\}$

для y, где c - действительное число, затем мы можем построить все решения.

Концепция точных дифференциальных уравнений может быть расширена до уравнений второго порядка. Начнем с точного уравнения первого порядка:

$I\; (x,\; y)\; +\; J\; (x,\; y)\; dydx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\; +\; J\; (x,\; y)\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\; \}\; =\; 0\}$

Поскольку обе функции $I\; (x,\; y),\; J\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y),\; J\; (x,\; y)\}$являются функции двух переменных, неявно дифференцируя многомерную функцию, получаем

$d\; I\; dx\; +\; (d\; J\; dx)\; dydx\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; X\}\; +\; (\{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; X\})\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; над\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\}$

Расширение полных производных дает, что

$d\; I\; dx\; =\; \partial \; I\; \partial \; x\; +\; \partial \; I\; \partial \; ydydx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; operatorname\; \{\; d\}\; \backslash !\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}\; =\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$

и что

$d\; J\; dx\; =\; \partial \; J\; \partial \; x\; +\; \partial \; J\; \partial \; ydydx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; X\}\; =\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$

C Комбинирование членов $dydx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$дает

$\partial \; I\; \partial \; x\; +\; dydx\; (\partial \; I\; \partial \; y\; +\; \partial \; J\; \partial \; x\; +\; \partial \; J\; \partial \; ydydx)\; +\; d\; 2\; ярд\; x\; 2\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\; \}$

Если уравнение точное, то $\partial \; J\; \partial \; x\; =\; \partial \; I\; \partial \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; =\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\}$. Кроме того, полная производная от $J\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; (x,\; y)\}$равна его неявной обыкновенной производной $d\; J\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dJ\; \backslash \; через\; dx\}\}$. Это приводит к переписанному уравнению

$\partial \; I\; \partial \; x\; +\; dydx\; (\partial \; J\; \partial \; x\; +\; d\; J\; dx)\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; частичный\; x\}\; +\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; \{dJ\; \backslash \; over\; dx\})\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\}$

Теперь пусть существует некоторое дифференциальное уравнение второго порядка

$f\; (x,\; y)\; +\; g\; (x,\; y,\; dydx)\; dydx\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; (J\; (x,\; y))\; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; +\; g\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (\; J\; (x,\; y))\; =\; 0\}$

Если $\partial \; J\; \partial \; x\; =\; \partial \; I\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; =\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \}$для точных дифференциальных уравнений, тогда

$\int \; (\partial \; I\; \partial \; y)\; dy\; =\; \int \; (\partial \; J\; \partial \; x)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; (\{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\})\; dy\; =\; \backslash \; int\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\; dy\}$

и

$\int \; (\partial \; I\; \partial \; y)\; dy\; =\; \int \; (\partial \; J\; \partial \; x)\; dy\; =\; I\; (x,\; y)\; -\; час\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Int\; (\{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\})\; dy\; =\; \backslash \; int\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\; dy\; =\; I\; (x,\; y)\; -h\; (x)\; \}$

где $h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyl\; eh\; (x)\}$- некоторая произвольная функция только от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, которая была дифференцирована до нуля после взятия частной производной от $I\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\}$относительно $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$. Хотя знак в $h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\}$может быть положительным, более интуитивно будет думать о результате интеграла как $I\; (x,\; y)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\}$, в которой отсутствует какая-то исходная дополнительная функция $h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\}$, которая была частично дифференцирована до нуля.

Затем, если

$d\; I\; dx\; =\; \partial \; I\; \partial \; x\; +\; \partial \; I\; \partial \; ydydx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; X\}\; =\; \{\; \backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$

, затем термин $\partial \; I\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; частичный\; x\}\}$должен быть функцией только $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, поскольку частичный дифференцирование по $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$будет содержать константу $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и не будет производить никаких производных от $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$. В уравнении второго порядка

$f\; (x,\; y)\; +\; g\; (x,\; y,\; dydx)\; dydx\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; +\; g\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\}$

только термин $f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\}$- это термин, состоящий исключительно из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $у\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\}$. Пусть $\partial \; I\; \partial \; x\; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; =\; f\; (x,\; y)\}$. Если $\partial \; I\; \partial \; x\; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; =\; f\; (x,\; y)\}$, то

$f\; (x,\; y)\; знак\; равно\; d\; I\; dx\; -\; \partial \; I\; \partial \; ydydx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}\; -\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; частичное\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$

Поскольку полная производная от $I\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\}$по $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$эквивалентно неявной обыкновенной производной $d\; I\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dI\; \backslash \; over\; dx\}\}$, затем

$f\; (x,\; y)\; +\; \partial \; I\; \partial \; ydydx\; =\; d\; я\; dx\; =\; ddx\; (I\; (x,\; y)\; -\; h\; (x))\; +\; dh\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; +\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\; \}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; =\; \{dI\; \backslash \; over\; dx\}\; =\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x))\; +\; \{dh\; (x)\; \backslash \; over\; dx\}\}$

Итак,

$dh\; (x)\; dx\; =\; f\; (x,\; y)\; +\; \partial \; I\; \partial \; ydydx\; -\; ddx\; (I\; (x,\; y)\; -\; h\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dh\; (x)\; \backslash \; over\; dx\}\; =\; f\; (\; x,\; y)\; +\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; -\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x))\}$

и

$h\; (x)\; =\; \int \; (f\; (x,\; y)\; +\; \partial \; I\; \partial \; ydydx\; -\; ddx\; (I\; (\; x,\; y)\; -\; час\; (x)))\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\; =\; \backslash \; int\; (f\; (x,\; y)\; +\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; -\; \{d\; \backslash \; над\; dx\}\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x)))\; dx\}$

Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка

$f\; (x,\; y)\; +\; g\; (x,\; y,\; dydx)\; dydx\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; +\; g\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (J\; (x,\; y))\; =\; 0\}$

является точным, только если $g\; (x,\; y,\; dydx)\; =\; d\; J\; dx\; +\; \partial \; J\; \partial \; x\; =\; d\; J\; dx\; +\; \partial \; J\; \partial \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; g\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\; =\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; X\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; =\; \{dJ\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\}$и только если приведенное ниже выражение

$\int \; (f\; (x,\; y)\; +\; \partial \; I\; \partial \; ydydx\; -\; ddx\; (I\; (x,\; y)\; -\; час\; (x)))\; dx\; знак\; равно\; \int \; (е\; (x,\; y)\; -\; \partial \; (I\; (x,\; y)\; -\; h\; (x))\; \partial \; x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; (f\; (x,\; y)\; +\; \{\backslash \; partial\; I\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; -\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x)))\; dx\; =\; \backslash \; int\; (\; f\; (x,\; y)\; -\; \{\backslash \; partial\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x))\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\; dx\}$

является функцией исключительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. После вычисления $h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\}$с произвольной константой оно добавляется к $I\; (x,\; y)\; -\; h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\; -h\; (x)\}$, чтобы получить $I\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\}$. Если уравнение является точным, то мы можем привести к точному виду первого порядка, который разрешается обычным методом для точных уравнений первого порядка.

$I\; (x,\; y)\; +\; J\; (x,\; y)\; dydx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\; +\; J\; (x,\; y)\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; =\; 0\}$

Однако теперь, в окончательном неявном решении будет член $C\; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\; x\}$из интегрирования $h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\}$относительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$дважды, а также $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\}$, два произвольные константы, ожидаемые от уравнения второго порядка.

Пример

Учитывая дифференциальное уравнение

$(1\; -\; x\; 2)\; y\; ″\; -\; 4\; xy\; \prime \; -\; 2\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-x\; ^\; \{2\})\; y\; \text{'}\text{'}\; -4xy\text{'}-2y\; =\; 0\}$

всегда можно легко проверить точность, исследуя член $y\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\}$. В этом случае и частная, и полная производная от $1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-x\; ^\; \{2\}\}$по $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$равны $-\; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -2x\}$, поэтому их сумма равна $-\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -4x\}$, что в точности соответствует термин перед $y\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\}$. При соблюдении одного из условий точности можно вычислить, что

$\int \; (-\; 2\; x)\; dy\; =\; I\; (x,\; y)\; -\; h\; (x)\; =\; -\; 2\; xy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; (-2x)\; dy\; =\; I\; (x,\; y)\; -h\; (x)\; =\; -\; 2xy\}$

Пусть $f\; (x,\; y)\; =\; -\; 2\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; -\; 2y\}$, тогда

$\int \; (-\; 2\; y\; -\; 2\; xy\; \prime \; -\; ddx\; (-\; 2\; xy)\; dx\; =\; \int \; (-\; 2\; y\; -\; 2\; xy\; \prime \; +\; 2\; xy\; \prime \; +\; 2\; y)\; dx\; =\; \int \; (0)\; dx\; =\; h\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; (-2y-2xy\; \text{'}-\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (-\; 2xy)\; dx\; =\; \backslash \; int\; (-2y-2xy\text{'}\; +\; 2xy\; \text{'}+\; 2y)\; dx\; =\; \backslash \; int\; (0)\; dx\; =\; h\; (x)\}$

Итак, $h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\}$действительно является функцией только $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и дифференциальное уравнение второго порядка является точным. Следовательно, $h\; (x)\; =\; C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\; =\; C\_\; \{1\}\}$и $I\; (x,\; y)\; =\; -\; 2\; xy\; +\; C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\; =\; -\; 2xy\; +\; C\_\; \{1\}\}$. Приведение к точному уравнению первого порядка дает

$-\; 2\; xy\; +\; C\; 1\; +\; (1\; -\; x\; 2)\; y\; \text{'}=\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -2xy\; +\; C\_\; \{1\}\; +\; (1-x\; ^\; \{2\})\; y\text{'}\; =\; 0\}$

Интегрирование $I\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\}$относительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$дает

$-\; x\; 2\; y\; +\; C\; 1\; x\; +\; i\; (y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\; ^\; \{2\}\; y\; +\; C\_\; \{1\}\; x\; +\; i\; (y)\; =\; 0\}$

где $i\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; (y)\}$- некоторая произвольная функция от $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$. Дифференцирование по $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$дает уравнение, коррелирующее производную и член $y\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; y\text{'}\}$.

$-\; x\; 2\; +\; i\; \prime \; (y)\; =\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \text{'}(y)\; =\; 1-x\; ^\; \{2\}\}$

Итак, $i\; (y)\; =\; y\; +\; C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; (y)\; =\; y\; +\; C\_\; \{2\}\}$, и полное неявное решение становится

$C\; 1\; x\; +\; C\; 2\; +\; y\; -\; x\; 2\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\; x\; +\; C\_\; \{2\}\; +\; yx\; ^\; \{2\}\; y\; =\; 0\}$

Явное решение для $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$дает

$y\; =\; C\; 1\; x\; +\; C\; 2\; 1\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\_\; \{1\}\; x\; +\; C\_\; \{2\}\}\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Понятия точных дифференциальных уравнений могут быть расширены до любого порядка. Начиная с точного уравнения второго порядка

$d\; 2\; ydx\; 2\; (J\; (x,\; y))\; +\; dydx\; (d\; J\; dx\; +\; \partial \; J\; \partial \; x)\; +\; f\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{\; 2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (J\; (x,\; y))\; +\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{dJ\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\; +\; f\; (x,\; y)\; =\; 0\}$

ранее было показано, что уравнение определяется таким образом, что

$f\; (x,\; y)\; =\; dh\; (x)\; dx\; +\; ddx\; (I\; (x,\; y)\; -\; h\; (x))\; -\; \partial \; J\; \partial \; xdydx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; \{dh\; (x)\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x))\; -\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; частичное\; x\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$

Неявное дифференцирование точного уравнения второго порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$раз даст $(n\; +\; 2)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (n\; +\; 2)\}$дифференциальное уравнение -го порядка с новыми условиями точности, которые можно легко вывести из формы полученного уравнения. Например, дифференцируя приведенное выше дифференциальное уравнение второго порядка один раз, чтобы получить точное уравнение третьего порядка, получаем следующую форму

$d\; 3\; ydx\; 3\; (J\; (x,\; y))\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; d\; J\; dx\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; (d\; J\; dx\; +\; \partial \; J\; \partial \; x)\; +\; dydx\; (d\; 2\; J\; dx\; 2\; +\; ddx\; (\partial \; J\; \partial \; x))\; +\; df\; (x,\; y)\; dx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash \; над\; dx\; ^\; \{3\}\}\; (J\; (x,\; y))\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; над\; dx\; ^\; \{2\}\}\; \{dJ\; \backslash \; над\; dx\}\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; над\; dx\; ^\; \{\; 2\}\}\; (\{dJ\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\; +\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{d\; ^\; \{2\}\; J\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}))\; +\; \{df\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; dx\}\; =\; 0\}$

где

$df\; (x,\; y)\; dx\; =\; d\; 2\; h\; (x)\; dx\; 2\; +\; d\; 2\; dx\; 2\; (I\; (x,\; y)\; -\; h\; (x))\; -\; d\; 2\; ydx\; 2\; \partial \; J\; \partial \; x\; -\; dydxddx\; (\partial \; J\; \partial \; x)\; =\; F\; (x,\; y,\; dydx)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{df\; (x,\; y)\; \backslash \; over\; dx\}\; =\; \{d\; ^\; \{2\}\; h\; (x)\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x))\; -\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; -\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; частичное\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\; =\; F\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\}$и где $F\; (x,\; y,\; dydx)\; \{\backslash \; displayst\; yle\; F\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\}$

является функцией только от $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$и $dydx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$. Объединение всех $dydx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$и $d\; 2\; ydx\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\}$термины, не исходящие из $F\; (x,\; y,\; dydx)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\}$дает

$d\; 3\; ydx\; 3\; (J\; (x,\; y))\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; (2\; d\; J\; dx\; +\; \partial \; J\; \partial \; x)\; +\; dydx\; (d\; 2\; J\; dx\; 2\; +\; ddx\; (\partial \; J\; \partial \; x))\; +\; F\; (x,\; y,\; dydx)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{3\}\}\; (J\; (x,\; y))\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (2\; \{dJ\; \backslash \; над\; dx\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\; +\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{d\; ^\; \{2\}\; J\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}))\; +\; F\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\; =\; 0\}$

Таким образом, тремя условиями точности дифференциального уравнения третьего порядка являются: $d\; 2\; ydx\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\}$член должен быть $2\; d\; J\; dx\; +\; \partial \; J\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \{dJ\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\}$, член $dydx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\}$должен быть $d\; 2\; J\; dx\; 2\; +\; ddx\; (\partial \; J\; \partial \; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d\; ^\; \{2\}\; J\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\}$и

$F\; (x,\; y,\; dydx)\; -\; d\; 2\; dx\; 2\; (я\; (Икс,\; Y)\; -\; час\; (Икс))\; +\; d\; 2\; ярдx\; 2\; \partial \; J\; \partial \; x\; +\; dydxddx\; (\partial \; J\; \partial \; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\; -\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x))\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\; \}\; +\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\}$

должно быть функцией только $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.

Пример

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка

$yy\; ‴\; +\; 3\; y\; \prime \; y\; ″\; +\; 12\; x\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; yy\; \text{'}\text{'}\; \text{'}+\; 3y\text{'}y\text{'}\; \text{'}+\; 12x\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$

Если $J\; (x,\; y)\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; (x,\; y)\; =\; y\}$, то $y\; ″\; (2\; d\; J\; dx\; +\; \partial \; J\; \partial \; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; \text{'}\text{'}\; (2\; \{dJ\; \backslash \; over\; dx\}\; +\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\}$равно $2\; y\; \prime \; y\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; 2y\; \text{'}\; y\; \text{'}\text{'}\}$и $y\; \prime \; (d\; 2\; J\; dx\; 2\; +\; ddx\; (\partial \; J\; \partial \; x))\; =\; y\; \prime \; y\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}(\{d\; ^\; \{2\}\; J\; \backslash \; над\; dx\; ^\; \{2\}\}\; +\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}))\; =\; y\text{'}y\; \text{'}\text{'}\}$которые вместе составляют $3\; y\; \prime \; y\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; 3y\text{'}y\; \text{'}\text{'}\}$. К счастью, это присутствует в нашем уравнении. Для последнего условия точности

$F\; (x,\; y,\; dydx)\; -\; d\; 2\; dx\; 2\; (I\; (x,\; y)\; -\; h\; (x))\; +\; d\; 2\; ydx\; 2\; \partial \; J\; \partial \; x\; +\; dydxddx\; (\partial \; J\; \partial \; x)\; знак\; равно\; 12\; x\; 2\; -\; 0\; +\; 0\; +\; 0\; =\; 12\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y,\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\})\; -\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; (I\; (x,\; y)\; -h\; (x))\; +\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; over\; dx\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; +\; \{dy\; \backslash \; over\; dx\}\; \{d\; \backslash \; over\; dx\}\; (\{\backslash \; partial\; J\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\})\; =\; 12x\; ^\; \{2\}\; -0\; +\; 0\; +\; 0\; =\; 12x\; ^\; \{2\}\}$

, который действительно является функцией только $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Итак, дифференциальное уравнение точное. Двойное интегрирование дает: $h\; (x)\; =\; x\; 4\; +\; C\; 1\; x\; +\; C\; 2\; =\; I\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\; =\; x\; ^\; \{4\}\; +\; C\_\; \{1\}\; x\; +\; C\_\; \{\; 2\}\; =\; I\; (x,\; y)\}$. Переписывая уравнение в виде точного дифференциального уравнения первого порядка, получаем

$x\; 4\; +\; C\; 1\; x\; +\; C\; 2\; +\; yy\; \prime \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{4\}\; +\; C\_\; \{1\}\; x\; +\; C\_\; \{2\}\; +\; yy\; \text{'}=\; 0\}$

Интегрирование $I\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (x,\; y)\}$относительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$дает следующее: $x\; 5\; 5\; +\; C\; 1\; x\; 2\; +\; C\; 2\; x\; +\; i\; (y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{x\; ^\; \{5\}\; \backslash \; over\; 5\}\; +\; C\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; C\_\; \{2\}\; x\; +\; i\; (y)\; =\; 0\}$. Дифференцируя по $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и приравнивая это к члену перед $y\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\}$в первом порядке уравнение дает, что

$i\; \text{'}(y)\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; i\text{'}\; (y)\; =\; y\}$и что $i\; (y)\; =\; y\; 2\; 2\; +\; C\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; (y)\; =\; \{y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2\}\; +\; C\_\; \{3\}\}$. Полное неявное решение имеет вид

$x\; 5\; 5\; +\; C\; 1\; x\; 2\; +\; C\; 2\; x\; +\; C\; 3\; +\; y\; 2\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{x\; ^\; \{5\}\; \backslash \; over\; 5\}\; +\; C\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{\; 2\}\; +\; C\_\; \{2\}\; x\; +\; C\_\; \{3\}\; +\; \{y\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2\}\; =\; 0\}$

Тогда явное решение:

$y\; =\; \pm \; C\; 1\; x\; 2\; +\; C\; 2\; x\; +\; C\; 3\; -\; 2\; x\; 5\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{C\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; C\_\; \{2\}\; x\; +\; C\_\; \{3\}\; -\; \{2x\; ^\; \{5\}\; \backslash \; более\; 5\; \}\}\}\}$

• Точный дифференциал
• Неточное дифференциальное уравнение

• Boyce, William E.; ДиПрима, Ричард С. (1986). Элементарные дифференциальные уравнения (4-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8