Точный дифференциал

В многомерном исчислении дифференциал называется точным или совершенный, в отличие от неточного дифференциала, если он имеет форму dQ, для некоторой дифференцируемой функции Q.

• 1 Обзор
  • 1.1 Определение
  • 1.2 Одно измерение
  • 1.3 Два и три измерения
• 2 Частные дифференциальные отношения
  • 2.1 Отношение взаимности
  • 2.2 Циклическое отношение
• 3 Некоторые полезные уравнения, полученные из точных дифференциалов в двух измерениях
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Определение

Мы работаем в трех измерениях, с аналогичными определениями, действующими в любом другом количестве измерений. В трех измерениях форма типа

$A\; (x,\; y,\; z)\; dx\; +\; B\; (x,\; y,\; z)\; dy\; +\; C\; (x,\; y,\; z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x,\; y,\; z)\; \backslash ,\; dx\; +\; B\; (x,\; y,\; z)\; \backslash ,\; dy\; +\; C\; (x,\; y,\; z)\; \backslash ,\; dz\}$

называется дифференциальной формой. Эта форма называется точной в области $D\; \subset \; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$в пространстве, если существует некоторая скалярная функция $Q\; =\; Q\; (x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; Q\; (x,\; y,\; z)\}$определено на $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$такое, что

$d\; Q\; \equiv \; (\partial \; Q\; \partial \; x)\; y,\; zdx\; +\; (\partial \; Q\; \partial \; y)\; x,\; zdy\; +\; (\partial \; Q\; \partial \; z)\; x,\; ydz,\; \{\backslash \; displaystyle\; dQ\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y,\; z\}\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x,\; z\}\; \backslash ,\; dy\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; Q\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x,\; y\}\; \backslash ,\; dz,\}$$d\; Q\; =\; A\; dx\; +\; B\; dy\; +\; C\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; dQ\; =\; A\; \backslash ,\; dx\; +\; B\; \backslash ,\; dy\; +\; C\; \backslash ,\; dz\}$

на протяжении D. Это эквивалентно утверждению, что векторное поле $(A,\; B,\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; B,\; C)\}$- это консервативное векторное поле с соответствующим потенциалом $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$.

Примечание. Нижние индексы за скобками указывают, какие переменные хранятся. константа при дифференцировке. Из-за определения частной производной эти индексы не требуются, но они включены в качестве напоминания.

Одно измерение

В одном измерении дифференциальная форма

$A\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

является точным, пока $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$имеет первообразное (но не обязательно один с точки зрения элементарных функций). Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$имеет первообразную, пусть $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$будет первообразной $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и этот $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$удовлетворяет условию точности. Если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$не имеет первообразной, мы не можем написать $d\; Q\; =\; A\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; dQ\; =\; A\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$и поэтому дифференциальная форма неточна.

Двух и трех измерений

По симметрии вторых производных для любой "хорошей" (не патологической ) функции $Q\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Q\}$у нас есть

$\partial \; 2\; Q\; \partial \; x\; \partial \; y\; =\; \partial \; 2\; Q\; \partial \; y\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; Q\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; y\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; Q\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; x\}\}\}$

Отсюда следует, что в односвязном область R плоскости xy, дифференциал

$A\; (x,\; y)\; dx\; +\; B\; (x,\; y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x,\; y)\; \backslash ,\; dx\; +\; B\; (x,\; y)\; \backslash ,\; dy\; \}$

является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда выполняется следующее:

$(\partial \; A\; \partial \; y)\; x\; =\; (\partial \; B\; \partial \; x)\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; B\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\}$

Для трех измерений дифференциал

$d\; Q\; знак\; равно\; A\; (x,\; y,\; z)\; dx\; +\; B\; (x,\; y,\; z)\; dy\; +\; C\; (x,\; y,\; z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; dQ\; =\; A\; (x,\; y,\; z)\; \backslash ,\; dx\; +\; B\; (x,\; y,\; z)\; \backslash ,\; dy\; +\; C\; (x,\; y,\; z)\; \backslash ,\; dz\}$

- точный дифференциал в односвязной области R системы координат xyz i f между функциями A, B и C существуют отношения:

$(\partial \; A\; \partial \; y)\; x,\; z\; =\; (\partial \; B\; \partial \; x)\; y,\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\})\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x,\; z\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; B\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y,\; z\}\}$;$(\partial \; A\; \partial \; Z)\; Икс,\; Y\; знак\; равно\; (\partial \; С\; \partial \; Икс)\; Y,\; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; A\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x,\; y\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; C\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y,\; z\}\}$;$(\partial \; B\; \partial \; z)\; x,\; y\; =\; (\partial \; C\; \partial \; Y)\; Икс,\; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; B\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x,\; y\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; =\; \backslash \; Left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; C\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x,\; z\}\}$

Эти условия эквивалентны следующему: если G - график этой векторнозначной функции, то для всех касательных векторов X, Y поверхность G, то s (X, Y) = 0, где s симплектическая форма.

Эти условия, которые легко обобщить, возникают из-за независимости порядка дифференцирования при вычислении вторых производных. Итак, для того, чтобы дифференциал dQ, который является функцией четырех переменных, был точным дифференциалом, необходимо выполнить шесть условий.

Таким образом, если дифференциал dQ точен:

• функция Q существует;
• $\int \; ifd\; Q\; =\; Q\; (f)\; -\; Q\; (i),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{i\}\; ^\; \{f\}\; dQ\; =\; Q\; (f)\; -Q\; (i),\}$независимо от пройденного пути.

В термодинамике, когда dQ является точным, функция Q государственная функция системы. Термодинамические функции U, S, H, A и G являются функциями состояния. Обычно ни работа, ни нагрев не являются функцией состояния. Точный дифференциал иногда также называют «полным дифференциалом» или «полным дифференциалом», или, при изучении дифференциальной геометрии, его называют точной формой.

Если три переменные, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$связаны условием $F\; (x,\; y,\; z)\; =\; constant\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y,\; z)\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\}$для некоторой дифференцируемой функции $F\; (x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y,\; z)\}$, тогда следующие общие дифференциалы существуют

$dx\; =\; (\partial \; x\; \partial \; y)\; zdy\; +\; (\partial \; x\; \partial \; z)\; ydz\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; =\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{z\}\; \backslash ,\; dy\; +\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \backslash ,\; dz\}$

$dz\; =\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; ydx\; +\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; xdy.\; \{\backslash \; displaystyle\; dz\; =\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \backslash ,\; dx\; +\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{x\}\; \backslash ,\; dy.\}$

Подставляя первое уравнение во второе и переставляя, получаем

$dz\; =\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; [(\partial \; x\; \partial \; y)\; zdy\; +\; (\partial \; x\; \partial \; z)\; ydz]\; +\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; xdy,\; \{\backslash \; displaystyle\; dz\; =\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{z\}\; dy\; +\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \}\; \_\; \{y\}\; dz\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{x\}\; dy,\}$

$dz\; =\; [(\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; y)\; z\; +\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; x]\; dy\; +\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; z)\; ydz,\; \{\backslash \; displaystyle\; dz\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{z\}\; +\; \{\backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; dy\; +\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{\; y\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; dz,\}$

$[1\; -\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; z)\; y]\; dz\; =\; [(\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; y)\; z\; +\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; x]\; d\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [1\; -\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; z\; \}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \backslash \; right]\; dz\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{z\}\; +\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{x\}\; \backslash \; right]\; dy.\}$

Поскольку $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$являются независимыми переменными, $dy\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; \}$и $dz\; \{\backslash \; displaystyle\; dz\}$можно выбирать без ограничений. Чтобы последнее уравнение выполнялось в целом, члены в квадратных скобках должны быть равны нулю.

Отношение взаимности

Установка первого члена в скобках равным нулю дает

$(\partial \; z\; \partial \; x)\; Y\; (\partial \; Икс\; \partial \; Z)\; Y\; знак\; равно\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; =\; 1.\}$

Небольшая перестановка дает соотношение взаимности,

$(\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; =\; 1\; (\partial \; x\; \partial \; z)\; у.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\; \backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\}\}.\}$

Есть еще две перестановки вышеприведенного вывода, которые дают в общей сложности три отношения взаимности между $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$. Отношения взаимности показывают, что обратная частная производная равна ее обратной величине.

Циклическое отношение

Циклическое отношение также известно как циклическое правило или правило тройного произведения. Если второй член в скобках равен нулю, получим

$(\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; y)\; z\; =\; -\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \}\; \_\; \{z\}\; =\; -\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{x\}.\}$

Использование отношения взаимности для $\partial \; z\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\}$в этом уравнении, и переупорядочение дает циклическую связь (правило тройного произведения ),

$(\partial \; x\; \partial \; y)\; Z\; (\partial \; Y\; \partial \; Z)\; Икс\; (\partial \; Z\; \partial \; Икс)\; Y\; =\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{z\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{x\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\; =\; -1.\}$

Если вместо этого используется отношение взаимности для $\partial \; x\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\}$с при последующей перестановке получается стандартная форма для неявного дифференцирования :

$(\partial \; y\; \partial \; x)\; z\; =\; -\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{z\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{y\}\}\; \{\{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{x\}\}\}.\}$

(См. Также термодинамические уравнения Бриджмена для использования точных дифференциалов в теории термодинамических уравнений )

Предположим, у нас есть пять функций состояния $z,\; x,\; y,\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; z,\; x,\; y,\; u\}$и $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$. Предположим, что пространство состояний двумерно, и любая из пяти величин является точным дифференциалом. Затем по цепному правилу

$(1)\; dz\; =\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; ydx\; +\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; xdy\; =\; (\partial \; z\; \partial \; u)\; vdu\; +\; (\partial \; z\; \partial \; v)\; udv\; \{\backslash \; displaystyle\; (1)\; ~~~~~\; dz\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; dx\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\; \}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\}\; dy\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\; du\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{u\}\; dv\}$

, но также по цепному правилу:

$(2)\; dx\; =\; (\partial \; x\; \partial \; u)\; vdu\; +\; (\partial \; x\; \partial \; v)\; udv\; \{\backslash \; displaystyle\; (2)\; ~~~~~\; dx\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\; du\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{u\}\; dv\}$

и

$(3)\; dy\; =\; (\partial \; y\; \partial \; u)\; vdu\; +\; (\partial \; y\; \partial \; v)\; udv\; \{\backslash \; displaystyle\; (3)\; ~~~~~\; dy\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\; du\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{u\}\; dv\}$

так, чтобы:

$(4)\; dz\; =\; [(\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; u)\; v\; +\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; x\; (\partial \; y\; \partial \; u)\; v]\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; 4)\; ~~~~~\; dz\; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\; \backslash \; right]\; du\}$

$+\; [(\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; v)\; u\; +\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; x\; (\partial \; y\; \partial \; v)\; u]\; dv\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{u\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; v\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{u\}\; \backslash \; right]\; dv\}$

что означает, что:

$(5)\; (\partial \; z\; \partial \; u)\; v\; =\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; u)\; v\; +\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; x\; (\partial \; y\; \partial \; u)\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; (5)\; ~~~~~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; справа)\; \_\; \{x\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\}$

Пусть $v\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; y\}$дает:

$(6)\; (\partial \; z\; \partial \; u)\; y\; =\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; u)\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; (6)\; ~~~~~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; par\; tial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; u\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\}$

Если $u\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; y\}$дает:

$(7)\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; v\; =\; (\partial \; z\; \partial \; y)\; x\; +\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; y)\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; (7)\; ~~~~~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\; \backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; частичное\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{v\}\}$

Если $u\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; y\}$, $v\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; z\}$дает:

$(8)\; (\partial \; Z\; \partial \; Y)\; Икс\; знак\; равно\; -\; (\partial \; Z\; \partial \; Икс)\; Y\; (\partial \; X\; \partial \; Y)\; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; (8)\; ~~~~~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\; \}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; \}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{z\}\}$

используя ($\partial \; a\; /\; \partial \; b)\; c\; =\; 1\; /\; (\partial \; b\; /\; \partial \; a)\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; a\; /\; \backslash \; partial\; б)\; \_\; \{c\}\; =\; 1\; /\; (\backslash \; partial\; b\; /\; \backslash \; partial\; a)\; \_\; \{c\}\}$дает правило тройного произведения :

$(9)\; (\partial \; z\; \partial \; x)\; y\; (\partial \; x\; \partial \; y)\; z\; (\partial \; y\; \partial \; z)\; x\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaysty\; le\; (9)\; ~~~~~\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{z\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\}\; =\; -\; 1\}$

• Замкнутые и точные дифференциальные формы для лечения более высокого уровня
• Дифференциальный (математика)
• Неточный дифференциал
• Интегрирующий коэффициент для решения неточных дифференциальных уравнений, делая их точными
• Точное дифференциальное уравнение

1. ^ Engel, Yunus A.; Болес, Майкл А. (1998) [1989]. «Термодинамика отношений собственности». Термодинамика - инженерный подход. Серия Макгро-Хилл в Машиностроение (3-е изд.). Бостон, Массачусетс: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-011927-9.

• Перро, П. (1998). От А до Я термодинамики. Нью-Йорк: Oxford University Press.
• Деннис Г. Зилл (14 мая 2008 г.). Первый курс дифференциальных уравнений. Cengage Learning. ISBN 0-495-10824-3.

• Неточная разность - из Wolfram MathWorld
• Точные и неточные разности - Университет Аризоны
• Точные и неточные разности - Техасский университет
• Точные разности - из Wolfram MathWorld