Пустая сумма

редактировать

В математике, пустая сумма или нулевая сумма - это суммирование, в котором количество членов равно нулю. Естественный способ расширения непустых сумм - позволить пустой сумме быть аддитивным тождеством.

Пусть $a 1 {\ displaystyle a_ {1}}$ $a_ {1}$ , $a 2 {\ displaystyle a_ {2 }}$ $a_ {2}$ , $a 3 {\ displaystyle a_ {3}}$ $a_ { 3}$ ,... последовательность чисел, и пусть

sm = ∑ i = 1 mai = a 1 +… + am {\ displaystyle s_ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {i} = a_ {1} + \ ldots + a_ {m}}

s_m = \ sum_ {i = 1} ^ m a_i = a_1 + \ ldots + a_m

- сумма первых m членов последовательность. Это удовлетворяет повторению

sm = sm - 1 + am {\ displaystyle s_ {m} = s_ {m-1} + a_ {m}}

{\ displaystyle s_ { m} = s_ {m-1} + a_ {m}}

при условии, что мы используем следующее естественное соглашение: $s 0 = 0 {\ displaystyle s_ {0} = 0}$ $s_ {0} = 0$ . Другими словами, «сумма» $s 1 {\ displaystyle s_ {1}}$ $s_ {1}$ только с одним термином оценивается как этот один термин, а «сумма» $s 0 {\ displaystyle s_ {0}}$ $s_ {0}$ без терминов оценивается как 0. Разрешение «суммы» только с 1 или 0 членами сокращает количество случаев, которые необходимо учитывать во многих математических формулах. Такие «суммы» - естественные отправные точки в доказательствах индукции, а также в алгоритмах. По этим причинам расширение «пустая сумма равна нулю» является стандартной практикой в математике и компьютерном программировании (при условии, что домен имеет нулевой элемент ). По той же причине пустой продукт считается мультипликативным тождеством.

для сумм других объектов (например, векторов, матриц, полиномы ) значение пустого суммирования принимается как его аддитивная идентичность.

Пример: пустые линейные комбинации

В линейной алгебре, базис векторного пространства V - это линейно независимое подмножество B такое, что каждый элемент V является линейной комбинацией B. Соглашение о пустой сумме позволяет нульмерному векторному пространству V = {0} иметь базис, а именно пустой задавать.

См. Также

Ссылки