Эллиптические цилиндрические координаты

Координатные поверхности эллиптических цилиндрических координат. Желтый лист - это призма полугиперболы, соответствующей ν = -45 °, а красная трубка - это эллиптическая призма, соответствующая μ = 1. Синий лист соответствует z = 1. Три поверхности пересекаются в точке P (показанной черной сферой) с декартовыми координатами примерно (2,182, -1,661, 1,0). Фокусы эллипса и гиперболы лежат в точке x = ± 2,0.

Эллиптические цилиндрические координаты представляют собой трехмерную ортогональную систему координат, которая является результатом проецирования двухмерной размерная эллиптическая система координат в перпендикулярном $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$-направлении. Следовательно, координатные поверхности являются призмами конфокальных эллипсов и гипербол. Два foci $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$и $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$обычно принято фиксировать на $-\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; -a\}$и $+\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; a\}$, соответственно, на $x\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\}$- ось декартовой системы координат.

• 1 Базовое определение
• 2 Масштабные коэффициенты
• 3 Альтернативное определение
• 4 Альтернативные масштабные коэффициенты
• 5 Приложения
• 6 Библиография
• 7 Внешние ссылки

Наиболее распространенное определение эллиптических цилиндрических координат $(\mu ,\; \nu ,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu,\; z)\}$равно

$x\; =\; a\; cosh\; \; \mu \; cos\; \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\; \backslash \; \backslash \; cosh\; \backslash \; mu\; \backslash \; \backslash \; cos\; \backslash \; nu\}$

$y\; =\; a\; sinh\; \; \mu \; грех\; \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; a\; \backslash \; \backslash \; sinh\; \backslash \; mu\; \backslash \; \backslash \; sin\; \backslash \; nu\}$

$z\; =\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; z\}$

где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- неотрицательное действительное число и $\nu \; \in \; [0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \backslash \; in\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$.

Эти определения соответствуют d в эллипсы и гиперболы. Тригонометрическое тождество

$x\; 2\; a\; 2\; cosh\; 2\; \; \mu \; +\; y\; 2\; a\; 2\; sinh\; 2\; \; \mu \; =\; cos\; 2\; \; \nu \; +\; sin\; 2\; \; \nu \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cosh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\}\}\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\; =\; 1\}$

показывает, что кривые постоянной $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$образуют эллипсы, тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество

$x\; 2\; a\; 2\; cos\; 2\; \; \nu \; -\; y\; 2\; a\; 2\; sin\; 2\; \; \nu \; =\; cosh\; 2\; \; \mu \; -\; sinh\; 2\; \; \mu \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\}\}\; =\; \backslash \; cosh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; =\; 1\}$

показывает, что кривые постоянной $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$образуют гиперболы.

масштабные коэффициенты для эллиптических цилиндрических координат $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$равны

$h\; \mu \; =\; h\; \nu \; знак\; равно\; зп\; 2\; \; \mu \; +\; грех\; 2\; \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; h\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; =\; a\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\}\}\; \}$

тогда как оставшийся масштабный коэффициент $hz\; =\; 1\; \{\backslash \; disp\; Laystyle\; h\_\; \{z\}\; =\; 1\}$. Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

$d\; V\; =\; a\; 2\; (sinh\; 2\; \; \mu \; +\; sin\; 2\; \; \nu )\; d\; \mu \; d\; \nu \; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; =\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\; \backslash \; right)\; d\; \backslash \; mu\; d\; \backslash \; nu\; dz\}$

и лапласиан равен

$\nabla \; 2\; \Phi \; =\; 1\; a\; 2\; (sinh\; 2\; \; \mu \; +\; sin\; 2\; \; \nu )\; (\partial \; 2\; \Phi \; \partial \; \mu \; 2\; +\; \partial \; 2\; \Phi \; \partial \; \nu \; 2)\; +\; \partial \; 2\; \Phi \; \partial \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; nu\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \}$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \; \cdot \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$и $\nabla \; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$можно выразить в координатах $(\mu ,\; \nu ,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; nu,\; z)\}$путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах.

Альтернативный и геометрически интуитивно понятный набор эллиптические координаты $(\sigma ,\; \tau ,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; sigma,\; \backslash \; tau,\; z)\}$иногда используются, где $\sigma \; =\; cosh\; \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \backslash \; cosh\; \backslash \; mu\}$и $\tau \; =\; cos\; \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; nu\}$. Следовательно, кривые постоянной $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$являются эллипсами, а кривые постоянной $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$- гиперболами. Координата $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$должна принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как координата $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$должна быть больше или равно единице.

Координаты $(\sigma ,\; \tau ,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; sigma,\; \backslash \; tau,\; z)\}$имеют простое отношение к расстояниям до фокусов $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$и $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$. Для любой точки на плоскости (x, y) сумма $d\; 1\; +\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; +\; d\_\; \{2\}\}$расстояний до фокусов равна $2\; a\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; 2a\; \backslash \; sigma\}$, тогда как их разница $d\; 1\; -\; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; -d\_\; \{2\}\}$равна $2\; а\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; 2a\; \backslash \; tau\}$. Таким образом, расстояние до $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$равно $a\; (\sigma \; +\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (\backslash \; sigma\; +\; \backslash \; tau)\}$, тогда как расстояние до $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$равно $a\; (\sigma \; -\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (\backslash \; sigma\; -\; \backslash \; tau)\}$. (Напомним, что $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$и $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$расположены в $x\; =\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; -a\}$и $x\; =\; +\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; +\; a\}$соответственно.)

Недостаток этих координат состоит в том, что они не имеют преобразования 1 к 1 в декартовы координаты

$x\; =\; a\; \sigma \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\; \backslash \; sigma\; \backslash \; tau\}$

$y\; 2\; =\; a\; 2\; (\sigma \; 2-1)\; (1\; -\; \tau \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; влево\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -1\; \backslash \; вправо)\; \backslash \; влево\; (1-\; \backslash \; тау\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; right)\}$

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат $(\sigma ,\; \tau ,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; sigma,\; \backslash \; tau,\; z)\}$являются

$час\; \sigma \; =\; a\; \sigma \; 2\; -\; \tau \; 2\; \sigma \; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; =\; a\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\; \}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\}\}$

$час\; \tau \; =\; a\; \sigma \; 2\; -\; \tau \; 2\; 1\; -\; \tau \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; a\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\; \{1-\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

и, конечно же, $hz\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{z\}\; =\; 1\}$. Следовательно, бесконечно малый элемент объема становится

$d\; V\; =\; a\; 2\; \sigma \; 2\; -\; \tau \; 2\; (\sigma \; 2\; -\; 1)\; (1\; -\; \tau \; 2)\; d\; \sigma \; d\; \tau \; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; =\; a\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -1\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\}\; d\; \backslash \; sigma\; d\; \backslash \; tau\; dz\}$

и лапласиан равен

$\nabla \; 2\; \Phi \; =\; 1\; a\; 2\; (\sigma \; 2\; -\; \tau \; 2)\; [\sigma \; 2\; -\; 1\; \partial \; \partial \; \sigma \; (\sigma \; 2\; -\; 1\; \partial \; \Phi \; \partial \; \sigma )\; +\; 1\; -\; \tau \; 2\; \partial \; \partial \; \tau \; (1\; -\; \tau \; 2\; \partial \; \Phi \; \partial \; \tau )]\; +\; \partial \; 2\; \Phi \; \partial \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; sigma\; \}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; -1\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\; \}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \; \cdot \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$и $\nabla \; \times \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$можно выразить в координаты $(\sigma ,\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; sigma,\; \backslash \; tau)\}$путем замены масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах.

Классические применения эллиптических цилиндрических координат - решение уравнений в частных производных, например, уравнения Лапласа или уравнения Гельмгольца, для которых эллиптические цилиндрические координаты позволяют разделение переменных. Типичным примером может служить электрическое поле, окружающее плоскую проводящую пластину шириной $2a\; \{\backslash \; displaystyle\; 2a\}$.

Трехмерное волновое уравнение, выраженное в эллиптические цилиндрические координаты могут быть решены путем разделения переменных, что приводит к дифференциальным уравнениям Матье.

Геометрические свойства эллиптических координат также могут быть полезны. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}$эту сумму до фиксированного вектора $r\; =\; p\; +\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}$, где подынтегральное выражение было функцией длины векторов $|\; p\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; \backslash \; right\; |\}$и $|\; q\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; right\; |\}$. (В таком случае можно разместить $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$между двумя фокусами и выровнять по $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$-ось, т.е. $r\; =\; 2\; ax\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; 2a\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\}$.) Для конкретности $r\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$, $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\}$может представлять импульсы частицы и продуктов ее разложения, соответственно, и подынтегральное выражение может включать кинетические энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов).

• Morse PM, Feshbach H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
• Margenau H, Murphy GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. Стр. 182 –183. LCCN 55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 179. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 97. LCCN 67025285.
• Zwillinger D (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN 0-86720-293-9.То же, что и Morse Feshbach (1953), замена u k вместо ξ k.
• Moon P, Spencer DE (1988). «Координаты эллиптического цилиндра (η, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 17–20 (таблица 1.03). ISBN 978-0-387-18430-2.

• MathWorld описание эллиптических цилиндрических координат