Парадокс пьющего

редактировать

парадокс пьющего (также известный как теорема пьющего, принцип пьющего, или принцип питья ) является теоремой из классической логика предиката, которую можно сформулировать как «В пабе есть кто-то такой, что, если он пьет, то пьют все в пабе». Его популяризировал математик-логик Раймон Смуллян, который назвал его «принципом питья» в своей книге 1978 года «Как называется эта книга»?

Очевидно парадоксальный характер утверждения проистекает из того, как оно обычно излагается на естественном языке. Кажется нелогичным как то, что может быть человек, который заставляет других пить, так и то, что может быть человек, который всю ночь пьёт один человек последним. Первое возражение возникает из-за смешения формальных утверждений «если, то» с причинно-следственной связью (см. Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь или логику релевантности для логик, которые требуют соответствующих отношений между предпосылками и, следовательно, в отличие от предполагаемой здесь классической логики). Формальное утверждение теоремы вневременное, устраняя второе возражение, потому что человек, для которого утверждение верно в один момент, не обязательно является тем же человеком, для которого оно верно в любой другой момент.

Формальное утверждение По теореме

∃ x ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)]. {\ displaystyle \ существует x \ in P. \ [D (x) \ rightarrow \ forall y \ in P. \ D (y)]. \,}

\ существует x \ в P. \ [D (x) \ rightarrow \ forall y \ in P. \ D (y)]. \,

где D - произвольный предикат а P - произвольное непустое множество.

Содержание

1 Доказательства
2 Объяснение парадоксальности
3 История и варианты
- 3.1 Непустой домен
4 См. Также
5 Ссылки

Доказательства

Доказательство начинается с признания того, что либо все в пабе пьют, либо хотя бы один человек в пабе не пьет. Следовательно, необходимо рассмотреть два случая:

Предположим, все пьют. Для любого конкретного человека не может быть неправильным сказать, что если этот конкретный человек пьет, значит, пьют все в пабе - потому что все пьют. Поскольку все пьют, тогда этот один человек должен пить, потому что, когда этот человек пьет, все пьют, все включают этого человека.
В противном случае, по крайней мере, один человек не пьет. Для любого непьющего человека утверждение, что если этот конкретный человек пьет, то все в пабе пьют, формально верно: его антецедент («этот конкретный человек пьет») ложно, следовательно, утверждение верно. из-за природы материальной импликации в формальной логике, которая утверждает, что «Если P, то Q» всегда истинно, если P ложно. (Утверждения такого рода считаются беспочвенно истинными.)

Несколько более формальный способ выразить вышесказанное - сказать, что, если все пьют, то любой может быть свидетелем действительности. теоремы. А если кто-то не пьет, то этот конкретный непьющий человек может быть свидетелем справедливости теоремы.

Объяснение парадоксальности

Парадокс, в конечном счете, основан на принципе формальной логики, что утверждение $A → B {\ displaystyle A \ rightarrow B}$ $A \ rightarrow B$ истинно, когда A ложно, т. е. любое утверждение следует из ложного утверждения (ex falso quodlibet ).

Что важно для парадокса, так это то, что условное выражение в классической (и интуиционистской) логике является материальным условным условием. Оно обладает тем свойством, что $A → B { \ displaystyle A \ rightarrow B}$ $A \ rightarrow B$ истинно, если B истинно или если A ложно (в классической логике, но не в интуиционистской логике, это также необходимое условие).

Так что ж в данном случае утверждение «если он пьет, то все пьют» было сочтено правильным в одном случае, если все пили, а в другом случае, если он не пил - даже если его пьянство могло и не иметь все, что связано с чьей-либо выпивкой.

С другой стороны, на естественном языке, как правило, «если... то...» используется как ориентировочное условное.

История и варианты

Смуллян в его Книга 1978 года приписывает название "Принцип питья" его аспирантам. Он также обсуждает варианты (полученные заменой D другими, более драматичными предикатами):

«есть женщина на земле, такая, что, если она станет бесплодной, весь человеческий род вымрет». Смуллян пишет, что эта формулировка возникла из разговора, который он имел с философом Джоном Бэконом.
«двойственная» версия Принципа: «есть по крайней мере один человек, такой, что если кто-то пьет, то он пьет» <. 109>Как "принцип Смулляна" или просто "принцип пьющих" появляется в HP Барендрегт "В поисках правильности" (1996), сопровождаемый некоторыми машинными доказательствами. С тех пор он регулярно появляется в качестве примера в публикациях о автоматическом мышлении ; иногда его используют для контраста с выразительностью помощников доказательства
Непустой домен
В настройке с разрешенными пустыми доменами парадокс пьющего должен быть сформулирован следующим образом:

Множество P удовлетворяет
$∃ x ∈ P. [D (x) → ∀ y ∈ P. D (y)] {\ displaystyle \ существует x \ in P. \ [D (x) \ rightarrow \ forall y \ in P. \ D (y)] \,}$ $\ существует x \ в P. \ [D (x) \ rightarrow \ forall y \ in P. \ D (y)] \,$
тогда и только тогда, когда это не- пусто.

Или словами:
Если и только если есть кто-то в пабе, в пабе есть кто-то такой, что если он пьет, то пьют все в пабе.
Видите? также
Ссылки

Парадокс пьющего

Непустой домен