Раскраска доменов

редактировать

Техника визуализации сложных функций

График раскраски доменов функции f (x) = (x - 1) (x - 2 - i) / x + 2 + 2i, используя структурированную функцию цвета, описанную ниже.

В комплексном анализе, раскраска области или график цветового круга - это метод визуализации сложных функций путем присвоения цвета каждой точке комплексной плоскости. Присваивая точкам на комплексной плоскости разные цвета и яркость, раскраска доменов позволяет легко представить и понять четырехмерную сложную функцию. Это дает представление о текучести сложных функций и показывает естественные геометрические расширения реальных функций.

Используется много различных цветовых функций. Обычной практикой является представление сложного аргумента (также известного как «фаза» или «угол») с оттенком, следующим за цветовым кругом, и величина другими способами, такими как яркость или насыщенность.

Содержание

1 Мотивация
2 Метод
- 2.1 Простая функция цвета
- 2.2 Прерывистая изменение цвета
  - 2.2.1 Рост величины
  - 2.2.2 Выделение свойств
3 История
4 Ограничения
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Мотивация

A график реальной функции можно нарисовать в двух измерениях, потому что есть две представленные переменные: $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ . Однако комплексные числа представлены двумя переменными и, следовательно, двумя измерениями; это означает, что представление сложной функции (точнее, комплексной функции одной комплексной переменной $f: C → C {\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ) требует визуализации четырех измерений. Один из способов добиться этого - использовать риманову поверхность, но другой способ - раскрасить область.

Метод

HL-график z в соответствии с примером простой цветовой функции, описанный в тексте (слева), и график сложной функции z - 1 (справа) с использованием той же цветовой функции, показывающий три нуля, а также отрицательные действительные числа в виде голубых лучей, начинающихся с нулей.

Представление четырехмерного комплексного отображения только с двумя переменными нежелательно, поскольку такие методы, как проекции, могут привести к потере информации. Однако можно добавлять переменные, которые сохраняют четырехмерный процесс, не требуя визуализации четырех измерений. В этом случае две добавленные переменные являются визуальными входными данными, такими как цвет и яркость, потому что они, естественно, являются двумя переменными, которые легко обрабатываются и различимы человеческим глазом. Это назначение называется «цветовой функцией». Используется множество различных цветовых функций. Обычной практикой является представление сложного аргумента (также известного как «фаза» или «угол») с оттенком, следующим за цветовым кругом, и величина другими способами, такими как яркость или насыщенность.

Простая функция цвета

В следующем примере исходная точка окрашивается в черный цвет., 1 в красном, −1 в голубом и бесконечно удаленная точка в белом:

{H = arg ⁡ z, L = ℓ (| z |) S = 100%. {\ displaystyle {\ begin {cases} H = \ arg z, \\ L = \ ell (| z |) \\ S = 100 \%. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin { case} H = \ arg z, \\ L = \ ell (| z |) \\ S = 100 \%. \ end {cases}}}

Есть несколько вариантов для функции $ℓ: [0, ∞) → [0, 1) {\ displaystyle \ ell: [0, \ infty) \ to [0,1)}$ ${\ displaystyle \ ell: [0, \ infty) \ to [0,1)}$ . Желательным свойством является $ℓ (1 / r) = 1 - ℓ (r) {\ displaystyle \ ell (1 / r) = 1- \ ell (r)}$ ${\ displaystyle \ ell (1 / г) = 1- \ ell (r)}$ такое, что обратное функция точно такая же светлая, как и исходная функция темная (и наоборот). Возможные варианты:

$ℓ 1 (r) = 2 π arctan ⁡ (r) {\ displaystyle \ ell _ {1} (r) = {\ frac {2} {\ pi}} \ arctan (r)}$ ${\ displaystyle \ ell _ {1} (r) = {\ frac {2} {\ pi}} \ arctan (r)}$ и
$ℓ 2 (r) = rara + 1 {\ displaystyle \ ell _ {2} (r) = {\ frac {r ^ {a}} {r ^ {a} +1} }}$ ${\ displaystyle \ ell _ {2} (r) = {\ frac {r ^ {a}} {r ^ {a} +1}}}$ (с некоторым параметром $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ ).

Распространенным выбором, не имеющим этого свойства, является функция $ℓ 3 (r) = 1 - a | r | {\ displaystyle \ ell _ {3} (r) = 1-a ^ {| r |}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {3} (r) = 1-a ^ {| r |}}$ (с некоторым параметром $0 < a < 1 {\displaystyle 0$ $0 <a <1$ ), который для $a = 1 / 2 {\ displaystyle a = 1/2}$ $a = 1/2$ и $0 ≤ r ≤ 1 {\ displaystyle 0 \ leq r \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq 1}$ очень близко к $ℓ 1 {\ displaystyle \ ell _ {1}}$ $\ ell _ {1}$ .

В этом подходе используется цветовая модель HSL (оттенок, насыщенность, яркость). Насыщенность всегда устанавливается на максимум 100%. Яркие цвета радуги непрерывно вращаются по сложному единичному кругу, поэтому шестой корень единицы (начиная с 1): красный, желтый, зеленый, голубой, синий и пурпурный. Величина кодируется интенсивностью с помощью строго монотонной непрерывной функции.

Поскольку цветовое пространство HSL не является перцептивно однородным, можно увидеть полосы воспринимаемой яркости в желтом, голубом и пурпурном цветах (даже если их абсолютные значения такие же, как у красного, зеленого и синего) и ореол около L = 1/2. Использование цветового пространства Lab исправляет это, делая изображения более точными, но также делая их более тусклыми / пастельными.

Прерывистое изменение цвета

Многие цветовые графики имеют разрывы, где вместо равномерного изменения яркости и цвета они внезапно меняются, даже когда сама функция все еще гладкая. Это делается по разным причинам, например, чтобы показать больше деталей или выделить определенные аспекты функции.

Увеличение величины

Прерывистая цветовая функция. На графике каждый разрыв возникает, когда

| z | = 2 n {\ displaystyle | z | = 2 ^ {n}}

{\ displaystyle | z | = 2 ^ {n}}

для целых чисел n.

В отличие от конечного диапазона аргумента, величина комплексного числа может варьироваться от 0 до ∞. Следовательно, в функциях, имеющих большие диапазоны значений, иногда бывает трудно различить изменения величины, когда на графике также отображается очень большое изменение. Это можно исправить с помощью функции прерывистого цвета, которая показывает повторяющийся образец яркости для величины, основанной на заданном уравнении. Это позволяет легко увидеть меньшие изменения, а также более крупные изменения, которые «скачкообразно скачут» к более высокой величине. На графике справа эти разрывы появляются в кругах вокруг центра и показывают затемнение графика, которое затем может снова стать ярче. Аналогичная цветовая функция была использована для графика в верхней части статьи.

Уравнения, определяющие неоднородности, могут быть линейными, например, для каждой целой величины, экспоненциальные уравнения, такие как каждая величина n, где $2 n {\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ - целое число или любое другое уравнение.

Выделение свойств

Разрывы могут быть размещены там, где выходные данные имеют определенное свойство, чтобы выделить, какие части графа имеют это свойство. Например, график может вместо отображения голубого цвета перескакивать с зеленого на синий. Это вызывает разрыв, который легко обнаружить, и может выделить строки, например, где аргумент равен нулю. Разрывы также могут влиять на большие части графика, такие как график, где цветовое колесо делит график на квадранты. Таким образом, легко показать, где каждый сектор заканчивается отношениями с другими.

История

Этот метод, вероятно, впервые был использован в публикации в конце 1980-х годов.

Термин «раскраска домена» был придуман Фрэнком Фаррисом, возможно, примерно в 1998 году. Было много более ранних применений цвета для визуализации сложных функций, обычно отображение аргумента (фаза ) в оттенок. Техника использования непрерывного цвета для отображения точек из домена в домен или плоскость изображения была использована в 1999 году Джорджем Абдо и Полом Годфри, а цветные сетки использовались в графике Дугом Арнольдом, датированным им 1997 годом.

Ограничения

Люди, страдающие дальтонизмом, могут иметь проблемы с интерпретацией таких графиков.

Источники

^Май 2004 г. http://users.mai.liu.se/hanlu09/complex/domain_coloring.html Получено 13 декабря 2018 г.
^Poelke, Konstantin and Польтье, Конрад. https://pdfs.semanticscholar.org/1b31/16583a2638f896d8e1dd5813cd97b3c7e2bd.pdf Дата обращения 13 декабря 2018 г.
^Элиас Вегерт (2012). Визуальные сложные функции: введение с фазовыми портретами. Springer Basel. п. 29. ISBN 9783034801799. Проверено 6 января 2016 года.
^Фрэнк А. Фаррис, Визуализация комплекснозначных функций на плоскости
^Ханс Лундмарк (2004). «Визуализация сложных аналитических функций с использованием раскраски домена». Архивировано с оригинального 02.05.2006. Проверено 25 мая 2006 г. Ладмарк ссылается на то, что Фаррис ввел термин "раскраска домена" в этой статье 2004 года.
^Дэвид А. Рабенхорст (1990). «Цветная галерея сложных функций». Пиксель: Журнал научной визуализации. Пиксельные коммуникации. 1 (4): 42 и след.
^Джордж Абдо и Пол Годфри (1999). «Построение функций комплексной переменной: таблица конформных отображений с использованием непрерывной раскраски». Проверено 17 мая 2008 г.
^Дуглас Н. Арнольд (2008). «Графика для комплексного анализа». Проверено 17 мая 2008 г.

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Сложными цветными графиками.

Цветными графиками сложных функций
Визуализация комплексных функций на плоскости.
Галерея сложных функций
Complex Mapper от Алессандро Роса
Программное обеспечение Джона Дэвиса - S-Lang скрипт для раскраски доменов
Открытый исходный код C и домен Python программное обеспечение для раскрашивания
Улучшенная раскраска 3D-домена
Метод раскраски домена на GPU
Программа раскраски Java-домена (в разработке)
MATLAB процедуры [1]
Скрипт Python для GIMP от Майкл Дж. Грубер
Matplotlib и MayaVi реализация раскраски доменов, выполненная Э. Петрисором [2pting
Подпрограммы MATLAB с пользовательским интерфейсом и различными цветами схемы
MATLAB процедуры для 3D-визуализации сложных функций
Метод цветового круга
Математический механизм масштабирования в реальном времени
Fractal Zoomer: Программное обеспечение, которое использует раскраску домена