Сумма цифр

редактировать

суммы цифр числа

В математике сумма цифр натурального числа в заданном числовом основании - это сумма всех его цифр. Например, сумма цифр десятичного числа $9045 {\ displaystyle 9045}$ ${\ displaystyle 9045}$ будет $9 + 0 + 4 + 5 = 18 {\ displaystyle 9+ 0 + 4 + 5 = 18}$ ${\ displaystyle 9 + 0 + 4 + 5 = 18}$ .

Содержание

1 Определение
2 Расширение до отрицательных целых чисел
3 Приложения
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

Пусть $n {\ displaystyle n}$ $n$ будет натуральным числом. Мы определяем цифру суммы для базы $b>1 {\ displaystyle b>1}$ $b>1$ $F b: N → N {\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ должно быть следующим:

F b (n) = ∑ i = 0 k - 1 di {\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}}

{\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}}

где $k = ⌊ log b ⁡ n ⌋ + 1 {\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1 }$ ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ - количество цифр в числе в базе $b {\ displaystyle b}$ $b$ , а

di = n mod bi + 1 - n mod bibi {\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

{\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod { b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

- значение каждой цифры числа.

Например, в базе 10 сумма цифр 84001 равна $F 10 (84001) = 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13 { \ displaystyle F_ {10} (84001) = 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13}$ ${\ displaystyle F_ {10} (84001) = 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13}$ .

Для любых двух оснований $2 ≤ b 1 < b 2 {\displaystyle 2\leq b_{1}$ ${\ displaystyle 2 \ leq b_ {1} <b_ {2}}$ и для достаточно больших натуральных чисел $п {\ displa ystyle n}$ $n$ ,

∑ k = 0 n F b 1 (k) < ∑ k = 0 n F b 2 ( k) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{b_{1}}(k)<\sum _{k=0}^{n}F_{b_{2}}(k)}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} F_ {b_ {1}} (k) <\ sum _ {k = 0} ^ {n} F_ {b_ {2}} ( k)}

Сумма цифр с основанием 10 целых чисел 0, 1, 2,... равна OEIS : A007953 в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей. Borwein Borwein (1992) используют производящую функцию этой целочисленной последовательности (и аналогичной последовательности для двоичных сумм), чтобы получить несколько быстро сходящихся рядов с рациональное и трансцендентное суммы.

Расширение до отрицательных целых чисел

Цифровая сумма может быть расширена до отрицательных целых чисел с помощью представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Приложения

Концепция суммы десятичных цифр тесно связана с цифровым корнем, но не таким же, как цифровой корень, который является результатом многократного применения цифры операция суммирования, пока оставшееся значение не станет только одной цифрой. Цифровой корень любого ненулевого целого числа будет числом в диапазоне от 1 до 9, тогда как сумма цифр может принимать любое значение. Для быстрой проверки делимости можно использовать цифровые суммы и цифровые корни: натуральное число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда его цифровая сумма (или цифровой корень) делится на 3 или 9 соответственно. Для делимости на 9 этот тест называется правилом девяток и является основой метода исключения девяток для проверки вычислений.

Цифровые суммы также являются частым ингредиентом в алгоритмах контрольной суммы для проверки арифметических операций ранних компьютеров. Ранее, в эпоху ручных вычислений, Эджворт (1888) предлагал использовать суммы из 50 цифр, взятых из математических таблиц логарифмов, как форму генерации случайных чисел ; если предположить, что каждая цифра случайна, то по центральной предельной теореме эти цифровые суммы будут иметь случайное распределение, близко приближающееся к распределению Гаусса.

. Сумма цифр двоичного файла представление числа известно как его вес Хэмминга или количество населения; алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена в качестве встроенной операции в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования. Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию, теорию кодирования и компьютерные шахматы.

числа Харшада определяются с точки зрения делимости на их цифровые суммы, и числа Смита определяются равенством их цифровых сумм с цифровыми суммами их разложений на простые множители.

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. "Digit Sum". MathWorld.
[1] Простые приложения суммы цифр