Оператор ковариации

редактировать

Оператор в теории вероятностей

В теории вероятностей для вероятностной меры Pв гильбертовом пространстве H с внутренним продуктом $⟨⋅, ⋅⟩ {\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ , ковариация P - это билинейная форма Cov: H × H → R, заданная как

C ov (x, y) = ∫ H ⟨x, z⟩ ⟨Y, Z⟩ d P (Z) {\ Displaystyle \ mathrm {Cov} (x, y) = \ int _ {H} \ langle x, z \ rangle \ langle y, z \ rangle \, \ mathrm {d } \ mathbf {P} (z)}

{\ mathrm {Cov}} (x, y) = \ int _ {{H}} \ langle x, z \ rangle \ langle y, z \ rangle \, {\ mathrm {d}} {\ mathbf {P }} (z)

для всех x и y в H. Затем оператор ковариации C определяется как

C ov (x, y) = ⟨C x, y⟩ {\ displaystyle \ mathrm {Cov} (x, y) = \ langle Cx, y \ rangle}

{\ mathrm {Cov}} (x, y) = \ langle Cx, y \ rangle

(из теоремы о представлении Рисса, такой оператор существует, если Cov ограничено ). Поскольку Cov симметричен по своим аргументам, оператор ковариации является самосопряженным (бесконечномерная аналогия транспозиционной симметрии в конечномерном случае). Когда P является центрированной гауссовской мерой, C также является ядерным оператором. В частности, это компактный оператор из класса трассировки, то есть он имеет конечную трассу.

. В более общем смысле, для вероятностной меры Pв банаховом пространстве B, ковариация P - это билинейная форма на алгебраическом двойственном B, определенном

С ов (Икс, Y) знак равно ∫ В ⟨Икс, Z⟩ ⟨Y, Z⟩ d P (Z) {\ Displaystyle \ mathrm {Cov} (x, y) = \ int _ {B} \ langle x, z \ rangle \ langle y, z \ rangle \, \ mathrm {d} \ mathbf {P} (z)}

{\ mathrm {Cov}} (x, y) = \ int _ {{B}} \ langle x, z \ rangle \ langle y, z \ rangle \, {\ mathrm {d}} {\ mathbf {P}} (z)

где $⟨x, z⟩ {\ displaystyle \ langle x, z \ rangle}$ $\ langle x, z \ rangle$ - теперь значение линейного функционала x на элементе z.

Аналогично, ковариационная функция функционально-значного случайного элемента (в особых случаях называется случайный процесс или случайный поле ) z есть

C ov (x, y) = ∫ z (x) z (y) d P (z) = E (z (x) z (y)) {\ displaystyle \ mathrm { Cov} (x, y) = \ int z (x) z (y) \, \ mathrm {d} \ mathbf {P} (z) = E (z (x) z (y))}

{\ mathrm {Cov}} (x, y) = \ int z (x) z (y) \, {\ mathrm {d}} {\ mathbf {P}} (z) = E (z (x) z (y))

где z (x) теперь является значением функции z в точке x, т. е. значением линейного функционала $u ↦ u (x) {\ displaystyle u \ mapsto u (x) }$ $u \ mapsto u (x)$ оценивается в z.