Равновесие Берже

Равновесие Берже - это теория игр концепция решения названа в честь математика Клода Берже. Оно похоже на стандартное равновесие по Нэшу, за исключением того, что оно направлено на улавливание типа альтруизма, а не чисто некооперативной игры. В то время как равновесие по Нэшу - это ситуация, в которой каждый игрок стратегической игры гарантирует, что он лично получит самый высокий выигрыш с учетом стратегий других игроков, в равновесии Берже каждый игрок гарантирует, что все остальные игроки получат максимально возможный выигрыш. Хотя Берге представил интуицию для этого понятия равновесия в 1957 году, формально оно было определено Владиславом Иосифовичем Жуковским только в 1985 году и не было широко распространено до тех пор, пока не прошло полвека после его первоначального развития.

• 1 История
• 2 Определение
  • 2.1 Формальное определение
  • 2.2 Неформальное определение
• 3 Пример
  • 3.1 Результат Берже
  • 3.2 Результат Берже и Нэш
• 4 Мотивация
• 5 Источники

Равновесие Берже впервые было введено в книге Клода Берже 1957 года «Теория женераль-де-жилая женщина». Мусса Ларбани и Владислав Иосифович Жуковский пишут, что идеи, изложенные в этой книге, не получили широкого распространения в России отчасти из-за резкой рецензии, полученной вскоре после ее перевода на русский язык в 1961 году, и что они не использовались в англоязычном мире, потому что книга получил только французские и русские тиражи. Этим объяснениям вторят и другие авторы, например Пьер Куртуа и др. добавив, что влияние книги, вероятно, было ослаблено отсутствием в ней экономических примеров, а также тем, что в ней использовались инструменты из теории графов, которые были бы менее знакомы экономистам того времени.

Берже ввел свое первоначальное понятие равновесия только в интуитивно понятных терминах, и первое формальное определение равновесия Берже было опубликовано Владиславом Иосифовичем Жуковским в 1985 году. Затем тема равновесия Берже была подробно изучена Константином Семеновичем Вайсманом в его докторской диссертации 1995 года., а Ларбани и Жуковский документально подтверждают, что этот инструмент стал более широко использоваться в середине 2000-х годов, когда экономисты стали интересоваться все более сложными системами, в которых игроки могли бы быть более склонны искать глобально благоприятное равновесие и придавать значение другим игрокам. выплаты. Colman et al. увязывают интерес к равновесию Берже с интересом к теории кооперативных игр, эволюции кооперации и таким темам, как альтруизм в эволюционной теории игр.

Формальное определение

Рассмотрим игру нормальной формы $G\; =\; ⟨N,\; S\; i,\; ui⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; langle\; N,\; S\_\; \{i\},\; u\_\; \{\; i\}\; \backslash \; rangle\}$, где $N\; =\; \{1,\; 2,\dots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \backslash \; \{1,2,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\}$- это набор $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$игроков, $S\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{i\}\}$- (непустой) набор стратегий игрока $я\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$где $i\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; N\}$и $ui\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{i\}\}$- функция полезности этого игрока. Обозначим профиль стратегии как $s\; =\; (s\; 1,\; s\; 2,\dots ,\; sn)\; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; (s\_\; \{1\},\; s\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{\; n\})\; \backslash \; in\; S\}$, и обозначает неполный профиль стратегии $s\; -\; i\; =\; (s\; 1,\; s\; 2,\dots ,\; si\; -\; 1,\; si\; +\; 1,\dots ,\; sn)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{-\; i\}\; =\; (s\_\; \{1\},\; s\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{i-1\},\; s\_\; \{i\; +\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{n\})\}$. Профиль стратегии $s\; \ast \; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; \backslash \; in\; S\}$называется равновесием Берже, если для любого игрока $i\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; в\; N\}$и любом $s\; -\; i\; \in \; S\; -\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \_\; \{-\; i\}\; \backslash \; в\; S\; \_\; \{-\; i\}\}$профиль стратегии удовлетворяет $ui\; (si\; \ast ,\; s\; -\; i)\; \le \; ui\; (s\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{i\}\; (s\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\},\; s\; \_\; \{-\; i\})\; \backslash \; leq\; u\_\; \{i\}\; (s\; ^\; \{\; \backslash \; ast\})\}$.

Неформальное определение

Игроки в игре играют по равновесию Берже, если они выбрали такой профиль стратегии, что, если любой данный игрок $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$придерживается выбранной стратегии, в то время как некоторые другие игроки меняют свои стратегии, тогда выигрыш игрока $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$не увеличивается. Итак, каждый игрок в равновесии Берже гарантирует наилучший возможный выигрыш для каждого другого игрока, который разыгрывает свою стратегию равновесия Берже; это контрастирует с равновесием Нэша, в котором каждый игрок $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$озабочен только максимизацией своих собственных выигрышей от своей стратегии, и ни один другой игрок не заботится о выигрыше, полученном игроком $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$.

Рассмотрим следующую игру дилемма заключенного из Ларбани и Жуковского (2017):

Результат Берже

Равновесие Берже в этой игре - это ситуация, в которой оба игрока выбирают «сотрудничать», обозначить это $(C,\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (C,\; C)\}$. Это равновесие Берже, потому что каждый игрок может снизить выигрыш другого игрока, только изменив свою стратегию; если любой из игроков переключится с «сотрудничества» на «дефект», то он снизит выигрыш другого игрока с 20 до 5, поэтому они должны быть в равновесии Берже.

Результат Берге против Нэша

Сначала обратите внимание, что равновесие Берже $(C,\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (C,\; C)\}$не является равновесием Нэша, потому что игрок строки или игрок столбца может увеличить свой выигрыш с 20 до 25, переключившись на «дефект» вместо «сотрудничать».

Равновесие Нэша в этой игре-дилемме заключенного - это ситуация, в которой оба игрока выбирают «дефект», обозначают его $(D,\; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; D)\}$. Эта пара стратегий дает выигрыш 10 игроку строки и 10 игроку столбца, и ни у одного игрока нет одностороннего стимула переключить свою стратегию, чтобы максимизировать свой собственный выигрыш. Однако $(D,\; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; (D,\; D)\}$не является равновесием Берже, потому что игрок строки может обеспечить более высокий выигрыш для игрока столбца, переключая стратегии и давая игрок столбца выплату 25 вместо 10, и игрок столбца может сделать то же самое для игрока строки.

Кооперативная природа равновесия Берже, таким образом, позволяет избежать проблемы взаимного отступничества, которая сделала дилемму заключенного печально известным примером потенциальной возможности рассуждений о равновесии Нэша для получения взаимно неоптимального результата.

Равновесие по Берже было мотивировано как полная противоположность равновесию по Нэшу, поскольку в то время как равновесие по Нэшу моделирует эгоистичное поведение, равновесие по Берже моделирует альтруистическое поведение. Мусса Ларбани и Владислав Иосифович Жуковский отмечают, что равновесие Берже можно интерпретировать как метод формализации Золотого правила в стратегических взаимодействиях.

Одним из преимуществ равновесия Берже перед равновесием Нэша является то, что Результаты Берге могут более точно совпадать с результатами, полученными из экспериментальной психологии и экспериментальной экономики. Некоторые авторы отметили, что игроки, которых просили поиграть в такие игры, как «Дилемма заключенного» или ультиматум в лабораторных сценариях, редко достигают результата равновесия Нэша, отчасти потому, что люди в реальных ситуациях часто придают большое значение благополучию. других, и поэтому равновесия по Берже иногда могут лучше соответствовать реальному поведению в определенных ситуациях.

Проблема использования равновесий Берже заключается в том, что они не обладают такими сильными свойствами существования, как равновесия по Нэшу, хотя их существование может быть гарантировано добавлением дополнительных условий. Концепция решения равновесия Берже может также использоваться для игр, которые не удовлетворяют условиям теоремы существования Нэша и не имеют равновесий Нэша, таких как определенные игры с бесконечными наборами стратегий, или в ситуациях, когда желательны равновесия в чистых стратегиях, но все же есть среди профилей чистой стратегии нет равновесия по Нэшу.