Асимптотическое распределение

редактировать

Распределение вероятностей, к которому «сходятся» случайные величины или распределения

В математике и статистика, асимптотическое распределение - это распределение вероятностей, которое в некотором смысле является «ограничивающим» распределением последовательности распределений. Одним из основных применений идеи асимптотического распределения является обеспечение приближений к кумулятивным функциям распределения статистических оценок.

Содержание

1 Определение
2 Центральная предельная теорема
- 2.1 Локальная асимптотическая нормальность
3 См. Также
4 Ссылки

Определение

Последовательность распределений соответствует последовательности из случайных величин Ziдля i = 1, 2,..., I. В простейшем случае асимптотическое распределение существует, если распределение вероятностей Z i сходится к распределению вероятностей (асимптотическому распределению) при увеличении i: см. сходимость в распределении. Частным случаем асимптотического распределения является случай, когда последовательность случайных величин всегда равна нулю или Z i = 0, когда i стремится к бесконечности. Здесь асимптотическое распределение - это вырожденное распределение, соответствующее нулевому значению.

Однако наиболее обычный смысл использования термина «асимптотическое распределение» возникает, когда случайные величины Z i модифицируются двумя последовательностями неслучайных значений. Таким образом, если

Y i = Z i - aibi {\ displaystyle Y_ {i} = {\ frac {Z_ {i} -a_ {i}} {b_ {i}}}},

Y_i = \ frac {Z_i-a_i} {b_i}

сходится по распределению к невырожденное распределение для двух последовательностей {a i } и {b i }, тогда говорят, что Z i имеет это распределение в качестве своего асимптотического распределения. Если функция распределения асимптотического распределения равна F, то для больших n выполняются следующие приближения

P (Z n - anbn ≤ x) ≈ F (x), {\ displaystyle P \ left ({\ frac {Z_ {n} -a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq x \ right) \ приблизительно F (x),}

P \ left (\ frac {Z_n-a_n} {b_n} \ le x \ right) \ приблизительно F (x),

P (Z n ≤ z) ≈ F (z - anbn). {\ displaystyle P (Z_ {n} \ leq z) \ приблизительно F \ left ({\ frac {z-a_ {n}} {b_ {n}}} \ right).}

P (Z_n \ le z) \ приблизительно F \ left (\ frac {z-a_n} {b_n} \ right).

Если существует асимптотическое распределение, не обязательно верно, что любой результат последовательности случайных величин является сходящейся последовательностью чисел. Сходится последовательность вероятностных распределений.

Центральная предельная теорема

Возможно, наиболее распространенным распределением, возникающим как асимптотическое распределение, является нормальное распределение. В частности, центральная предельная теорема представляет собой пример, где асимптотическое распределение является нормальным распределением.

Центральная предельная теорема: Предположим, {X 1, X 2,...} - последовательность случайных величин iid с E [X i ] = µ и Var [X i ] = σ < ∞. Let Sn быть средним для {X 1,..., X n }. Затем, когда n приближается к бесконечности, случайные величины √n (S n - µ) сходятся в распределении к нормальному N (0, σ):

Центральная предельная теорема дает только асимптотическое распределение. В качестве приближения для конечного числа наблюдений оно обеспечивает разумное приближение только тогда, когда оно близко к пику нормального распределения; требуется очень большое количество наблюдений, чтобы простираться до хвоста.

Локальная асимптотическая нормальность

Локальная асимптотическая нормальность является обобщением центральной предельной теоремы. Это свойство последовательности статистических моделей, которое позволяет асимптотически аппроксимировать эту последовательность моделью нормального местоположения после изменения масштаба параметра. Важным примером, когда выполняется локальная асимптотическая нормальность, является случай независимой и идентично распределенной выборки из регулярной параметрической модели ; это просто центральная предельная теорема.

Барндорф-Нильсон и Кокс дают прямое определение асимптотической нормальности.

См. Также

Ссылки