Азиатский опцион

Азиатский опцион (или опцион со средней стоимостью) - это особый тип опционного контракта. Для азиатских опционов выплата определяется средней базовой ценой за некоторый заранее установленный период времени. Это отличается от случая с обычным европейским опционом и американским опционом, где выплата по опциону зависит от цены базового инструмента при исполнении ; Таким образом, азиатские опционы являются одной из основных форм экзотических опционов. Существует два типа азиатских опционов: фиксированный страйк, где вместо базовой цены используется усредненная цена; и фиксированная цена, где вместо страйка используется средняя цена.

Одним из преимуществ азиатских опционов является то, что они снижают риск манипулирования рынком базового инструмента при наступлении срока погашения (Kemna 1990, стр. 1077) harv error: нет цель: CITEREFKemna1990 (справка ). Еще одно преимущество азиатских опционов заключается в относительной стоимости азиатских опционов по сравнению с европейскими или американскими опционами. Благодаря функции усреднения азиатские опционы снижают присущую опциону волатильность; поэтому азиатские варианты обычно дешевле европейских или американских. Это может быть преимуществом для корпораций, подпадающих под действие Совета по стандартам финансового учета (2004 и FASB). Ошибка harv: нет цели: CITEREF2004FASB (help ) пересмотрен Положение № 123, которое требовало, чтобы корпорации оплачивали опционы сотрудников на акции.

• 1 Этимология
• 2 Варианты азиатских опционов
• 3 Типы усреднения
• 4 Ценообразование азиатских опционов
  • 4.1 Европейские азиатские опционы колл и пут с геометрическим усреднением
• 5 вариантов азиатских опционов
• 6 Источники

В 1980-х Марк Стэндиш работал в лондонском Bankers Trust, работая с производными инструментами с фиксированным доходом и собственная арбитражная торговля. Дэвид Спотон работал системным аналитиком на финансовых рынках в Bankers Trust с 1984 года, когда Банк Англии впервые выдал банкам лицензии на продажу валютных опционов на лондонском рынке. В 1987 году Стэндиш и Спотон находились в Токио по делам, когда «они разработали первую коммерчески используемую формулу ценообразования для опционов, привязанных к средней цене на сырую нефть». Они назвали этот экзотический вариант азиатским вариантом, поскольку находились в Азии.

Существуют многочисленные варианты азиатского варианта; самые простые перечислены ниже:

• Фиксированный удар (также известный как средняя ставка) Азиатский вызов выплата

$C\; (T)\; =\; max\; (A\; (\; 0,\; T)\; -\; K,\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (T)\; =\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\; \backslash \; left\; (A\; (0,\; T)\; -K,\; 0\; \backslash \; right),\}$

где A обозначает средняя цена за период [0, T], а K - цена исполнения. Эквивалентный опцион пут определяется как

$P\; (T)\; =\; max\; (K\; -\; A\; (0,\; T),\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (T)\; =\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\; \backslash \; left\; (KA\; (0,\; T),\; 0\; \backslash \; right).\}$

• Азиатский колл плавающий страйк (или плавающий курс) вариант имеет выплату

$C\; (T)\; =\; max\; (S\; (T)\; -\; k\; A\; (0,\; T),\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (T)\; =\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\; \backslash \; left\; (S\; (\; T)\; -kA\; (0,\; T),\; 0\; \backslash \; right),\}$

где S (T) - цена на момент погашения, а k - весовой коэффициент, обычно 1, поэтому в описаниях часто опускается. Эквивалентная выплата по опциону пут определяется как

$P\; (T)\; =\; max\; (k\; A\; (0,\; T)\; -\; S\; (T),\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (T)\; =\; \{\backslash \; text\; \{max\}\}\; \backslash \; left\; (kA\; (0,\; T)\; -S\; (T),\; 0\; \backslash \; right).\}$

Среднее $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$можно получить разными способами. Обычно это означает среднее арифметическое. В непрерывном случае это получается как

$A\; (0,\; T)\; =\; 1\; T\; \int \; 0\; T\; S\; (t)\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (0,\; T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; S\; (t)\; dt.\}$

Для случая дискретного мониторинга (с мониторингом на время $0\; =\; t\; 0,\; t\; 1,\; t\; 2,\dots ,\; tn\; =\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; t\_\; \{n\}\; =\; T\; \}$и $ti\; =\; i\; \cdot \; T\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\; =\; i\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{n\}\}\}$) у нас есть среднее задается формулой

$A\; (0,\; T)\; =\; 1\; n\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; S\; (ti).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (0,\; T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; S\; (t\_\; \{i\}).\}$

Существуют также азиатские варианты с среднее геометрическое ; в непрерывном случае это определяется как

$A\; (0,\; T)\; =\; exp\; \; (1\; T\; \int \; 0\; T\; ln\; \; (S\; (t))\; d\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (0,\; T)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; ln\; (S\; (t))\; dt\; \backslash \; right).\}$

Обсуждение проблемы ценообразования азиатских опционов с помощью методов Монте-Карло дается в статье Кемна и Форст.

В пути В рамках интегрального подхода к ценообразованию опционов проблема среднего геометрического может быть решена с помощью эффективного классического потенциала Фейнмана и Клейнерта.

Роджерс и Ши решают проблему ценообразования с помощью подхода PDE.

Модель дисперсионной гаммы может быть эффективно реализована при ценообразовании на варианты в азиатском стиле. Затем, используя представление ряда Бондессона для создания гамма-процесса дисперсии, можно повысить вычислительную производительность азиатских опционов.

В моделях Леви проблема ценообразования для геометрических азиатских опционов все еще может быть решено. Для арифметического азиатского опциона в моделях Леви можно полагаться на численные методы или аналитические границы.

Европейские азиатские опционы колл и пут с геометрическим усреднением

Мы можем вывести замкнутую форму решение для геометрического азиатского варианта; при использовании вместе с управляющими переменными в моделировании Монте-Карло формула полезна для получения справедливой стоимости для арифметической азиатской опции.

Определите среднее геометрическое за непрерывное время $GT\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{T\}\}$как:

$GT\; =\; exp\; \; [1\; T\; \int \; 0\; T\; log\; \; S\; (\; t)\; dt]\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{T\}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\{1\; \backslash \; over\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; log\; S\; (t)\; dt\; \backslash \; right]\}$где лежащий в основе $S\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (t)\}$следует стандартному геометрическому броуновскому движению. Отсюда легко вычислить, что: $GT\; =\; S\; 0\; e\; 1\; 2\; (r\; -\; 1\; 2\; \sigma \; 2)\; T\; e\; \sigma \; T\; \int \; 0\; T\; (T\; -\; t)\; d\; W\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{T\}\; =\; S\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{\{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (r-\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; T\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; sigma\; \backslash \; over\; \{T\}\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; (Tt)\; dW\_\; \{t\}\}\}$Вывести стохастический интеграл, который изначально был $\sigma \; T\; \int \; 0\; TW\; tdt\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; over\; \{\; T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; W\_\; \{t\}\; dt\}$, обратите внимание, что: $d\; [(T\; -\; t)\; W\; t]\; =\; (T\; -\; t)\; d\; W\; t\; -\; W\; tdt\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; [(Tt)\; W\_\; \{t\}]\; =\; (Tt)\; dW\_\; \{t\}\; -W\_\; \{t\}\; dt\}$Это может быть подтверждено леммой Ито. Интегрируя это выражение и используя тот факт, что $W\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{0\}\; =\; 0\}$, мы обнаруживаем, что интегралы эквивалентны - это будет полезно позже при выводе. При использовании ценообразования по мартингейлу стоимость европейско-азиатского звонка с геометрическим усреднением $CG\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{G\}\}$определяется по формуле $CG\; =\; e\; -\; r\; TE\; [(GT\; -\; K)\; +]\; =\; е\; -\; р\; T\; 2\; \pi \; \int \; \ell \; \infty \; (GT\; -\; K)\; e\; -\; x\; 2/2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{G\}\; =\; e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; [(G\_\; \{T\}\; -K)\; \_\; \{+\}\; \backslash \; right]\; =\; \{e\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (G\_\; \{T\}\; -K\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\; dx\}$Чтобы найти $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$, мы должны найти $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$такое, что: $GT\; \ge \; K\; ⟹\; S\; 0\; e\; 1\; 2\; (r\; -\; 1\; 2\; \sigma \; 2)\; T\; e\; \sigma \; T\; \int \; 0\; T\; (T\; -\; t)\; d\; W\; t\; \ge \; К\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{T\}\; \backslash \; geq\; K\; \backslash \; подразумевает\; S\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{\{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (r-\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; T\}\; e\; ^\; \{\{\backslash \; sigma\; \backslash \; over\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; (Tt)\; dW\_\; \{t\}\}\; \backslash \; geq\; K\}$После некоторой алгебры мы находим, что: $\sigma \; T\; \int \; 0\; T\; (T\; -\; t)\; d\; W\; t\; \ge \; журнал\; \; KS\; 0\; -\; 1\; 2\; (r\; -\; 1\; 2\; \sigma \; 2)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; over\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; (Tt)\; dW\_\; \{t\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; log\; \{K\; \backslash \; over\; \{S\_\; \{0\}\}\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (r-\; \{1\; \backslash \; over\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; T\}$В этой точке Но стохастический интеграл является камнем преткновения для решения этой проблемы. Однако легко проверить, что интеграл нормально распределен как: $\sigma \; T\; \int \; 0\; T\; (T\; -\; t)\; d\; W\; t\; \sim \; N\; (0,\; \sigma \; 2\; T\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; over\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; (Tt)\; dW\_\; \{t\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; \backslash \; left\; (0,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \{T\; \backslash \; over\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\}$Это эквивалентно тому, что $\sigma \; T\; \int \; 0\; T\; (T\; -\; t)\; d\; W\; t\; =\; \sigma \; T\; 3\; x\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; over\; \{T\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; (Tt)\; dW\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\; \backslash \; over\; \{3\}\}\}\; x\}$с $x\; \sim \; N\; (0,\; 1)\; \{\backslash \; textstyle\; x\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; (0,1)\}$. Следовательно, мы имеем: $x\; \ge \; журнал\; \; KS\; 0-1\; 2\; (r\; -\; 1\; 2\; \sigma \; 2)\; T\; \sigma \; T\; /\; 3\; \equiv \; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; log\; \{K\; \backslash \; over\; \{S\_\; \{0\; \}\}\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (r-\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; T\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\; /\; 3\}\}\}\; \}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; ell\}$Теперь можно рассчитать стоимость европейского азиатского колла с геометрическим усреднением! На данном этапе полезно определить: $b\; =\; 1\; 2\; (r\; -\; 1\; 2\; \sigma \; G\; 2),\; \sigma \; G\; =\; \sigma \; 3,\; d\; 1\; =\; log\; \; S\; 0\; K\; +\; (b\; +\; 1\; 2\; \sigma \; G\; 2)\; T\; \sigma \; GT,\; d\; 2\; знак\; равно\; d\; 1\; -\; \sigma \; GT\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (r-\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{G\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; справа),\; \backslash ;\; \backslash \; sigma\; \_\; \{G\}\; =\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\},\; \backslash ;\; d\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; log\; \{S\_\; \{0\}\; \backslash \; over\; \{K\}\}\; +\; \backslash \; left\; (b\; +\; \{1\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{G\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; T\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{G\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\}\},\; \backslash ;\; d\_\; \{2\}\; =\; d\_\; \{1\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{G\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\}$Пройдя тот же процесс, что и в модели Блэка-Шоулза, мы можем обнаружить, что: $CG\; =\; S\; 0\; e\; (b\; -\; r)\; T\; \Phi \; (d\; 1)\; -\; K\; e\; -\; r\; T\; \Phi \; (d\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{G\}\; =\; S\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{(br)\; T\}\; \backslash \; Phi\; (d\_\; \{1\})\; -\; Ke\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; Phi\; (d\_\; \{2\})\}$Фактически, те же аргументы, что и для европейского азиатского пут с геометрическим усреднением $PG\; \{\backslash \; textstyle\; P\_\; \{G\}\}$, находим, что: $PG\; =\; K\; e\; -\; r\; T\; \Phi \; (-\; d\; 2)\; -\; S\; 0\; e\; (b\; -\; r)\; T\; \Phi \; (-\; d\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{G\}\; =\; Ke\; ^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; Phi\; (-d\_\; \{2\})\; -\; S\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{(br)\; T\}\; \backslash \; Phi\; (-d\_\; \{1\})\}$Это означает, что существует версия put-c все паритеты для европейско-азиатских опционов с геометрическим усреднением: $CG\; -\; PG\; =\; S\; 0\; e\; (b\; -\; r)\; T\; -\; K\; e\; -\; r\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{G\}\; -P\_\; \{G\}\; =\; S\_\; \{\; 0\}\; e\; ^\; \{(br)\; T\}\; -Ke\; ^\; \{-\; rT\}\}$

Есть некоторые варианты, которые продаются на внебиржевом рынке. Например, BNP Paribas представил вариант, называемый условным азиатским опционом, где средняя базовая цена основана на наблюдениях за ценами, превышающими заранее установленный порог. Условная азиатская пут-опцион имеет выплату

$макс\; (K\; -\; \int \; 0\; TS\; (t)\; I\; \{S\; (t)>b\}\; dt\; \int \; 0\; TI\; \{S\; (t)>b\}\; dt,\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; max\; \backslash \; left\; (K\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; S\; (t)\; I\; \_\; \{\backslash \; \{S\; (t)>b\; \backslash \}\}\; dt\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\; \}\; I\; \_\; \{\backslash \; \{S\; (t)>b\; \backslash \}\}\; dt\}\},\; 0\; \backslash \; right),\}$

где $b>0\; \{\backslash \; displaystyle\; b>0\}$- порог, а $IA\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{A\}\}$- индикаторная функция, которая равна $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$, если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$истинно, и равна нулю в противном случае. Такой опцион предлагает более дешевую альтернативу, чем классический азиатский опцион пут, поскольку ограничение диапазона наблюдений снижает волатильность средней цены. Обычно он продается за деньги и рассчитан на срок до пяти лет. Цена условного азиатского опциона обсуждается Феном и Фолькмером.

1. ^Kemna et al. 1990, стр. 1077
2. ^FASB (2004). Выплата на основе акций (Отчет). Совет по стандартам финансового учета.
3. ^Уильям Фаллун; Дэвид Тернер, ред. (1999). «Эволюция рынка». Управление ценовым риском на энергию. Лондон: Книги о рисках.
4. ^Уилмотт, Пол (2006). "25". Пол Уилмотт о количественных финансах. Джон Вили и сыновья. п. 427. ISBN 9780470060773.
5. ^Палмер, Брайан (14 июля 2010 г.), Почему мы называем финансовые инструменты «экзотическими»? Потому что некоторые из них из Японии., Slate
6. ^Глин А. Холтон (2013). «Азиатский вариант (средний вариант)». Энциклопедия рисков. Архивировано с оригинала 06.12.2013. Проверено 10 августа 2013. Азиатский опцион (также называемый средним опционом) - это опцион, выплата которого связана со средней стоимостью базового актива в определенный набор дат в течение срока действия опциона. "" [В] ситуациях, когда базовый опцион торгуется вяло или существует возможность манипулирования его ценой, азиатский опцион предлагает некоторую защиту. Управлять средней стоимостью базового актива в течение длительного периода времени труднее, чем манипулировать им только по истечении срока опциона.
7. ^Kemna, A.G.Z.; Vorst, A.C.F.; Роттердам, ЕС; Instituut, Econometrisch (1990), Метод ценообразования для опционов на основе средней стоимости активов
8. ^Кляйнерт, Х. (2009), Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансах Markets, заархивировано из оригинала 24.04.2009, извлечено 10.01.2010
9. ^Фейнман Р.П., Клейнерт Х. (1986), «Эффективные классические функции секционирования» (PDF), Physical Review A, 34(6): 5080–5084, Bibcode : 1986PhRvA..34.5080F, doi : 10.1103 / PhysRevA.34.5080, PMID 9897894
10. ^Девриз JPA; Lemmens D.; Tempere J. (2010), «Интегральный подход к азиатским вариантам в модели Блэка-Шоулза», Physica A, 389 (4): 780–788, arXiv : 0906.4456, Bibcode : 2010PhyA..389..780D, doi : 10.1016 / j.physa.2009.10.020, S2CID 122748812
11. ^Роджерс, LCG; Ши, З. (1995), «Стоимость азиатского опциона» (PDF), Journal of Applied Probability, 32 (4): 1077–1088, doi : 10.2307 / 3215221, JSTOR 3215221, заархивировано из оригинала (PDF) 20.03.2009, извлечено 2008-11-28
12. ^Маттиас Сандер. Представление Бондессоном вариационной гамма-модели и ценообразования опционов Монте-Карло. Люндс Текниска Хёгскола 2008
13. ^ Фусаи, Джанлука.; Меуччи, Аттилио (2008), «Ценообразование азиатских опционов с дискретным мониторингом в рамках процессов Леви» (PDF), J. Bank. Finan., 32 (10): 2076–2088, doi : 10.1016 / j.jbankfin.2007.12.027
14. ^Lemmens, Damiaan; Лян, Лин Чжи; Темпере, Жак; Де Схеппер, Энн (2010), «Ценовые границы для дискретных арифметических азиатских опций в рамках моделей Леви», Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 389 (22): 5193–5207, Bibcode : 2010PhyA..389.5193L, doi : 10.1016 / j.physa.2010.07.026
15. ^Feng, R.; Фолькмер, Х.В. (2015), «Условные азиатские опционы», Международный журнал теоретических и прикладных финансов, 18(6): 1550040, arXiv : 1505.06946, doi : 10.1142 / S0219024915500405, S2CID 3245552