Войти
В математике алгебраический матроид - это матроид, комбинаторная структура, которая выражает абстракцию отношения алгебраической независимости.
Учитывая расширение поля L / K, лемма Цорна может использоваться для отображения что всегда существует максимальное алгебраически независимое подмножество L над K. Кроме того, все максимальные алгебраически независимые подмножества имеют одинаковую мощность, известную как степень трансцендентности расширения.
Для каждого конечного множества S элементов из L алгебраически независимые подмножества S удовлетворяют аксиомам, которые определяют независимые множества матроида. В этом матроиде ранг набора элементов - это степень его трансцендентности, а плоскость, порожденная набором элементов T, является пересечением L с полем K [T]. Матроид, который может быть создан таким образом, называется алгебраическим или алгебраически представимым. Хорошая характеристика алгебраических матроидов не известна, но известно, что некоторые матроиды не являются алгебраическими; наименьшим из них является матроид Вамоса.
Многие конечные матроиды могут быть представлены матрицей над полем K, в котором элементы матроида соответствуют столбцам матрицы, и набор элементов является независимым, если соответствующий набор столбцов является линейно независимым. Каждый матроид с линейным представлением этого типа над полем F также может быть представлен как алгебраический матроид над F, если выбрать неопределенный для каждой строки матрицы и использовать коэффициенты матрицы в каждом столбце присвоить каждому матроидному элементу линейную комбинацию этих трансцендентальных чисел. Для полей с нулевой характеристикой (таких как действительные числа) линейный и алгебраический матроиды совпадают, но для других полей могут существовать алгебраические матроиды, которые не являются линейными; действительно, непапповый матроид является алгебраическим над любым конечным полем, но не линейным и не алгебраическим над любым полем нулевой характеристики. Однако, если матроид является алгебраическим над полем F характеристики нуль, то он линейен над F (T) для некоторого конечного множества трансцендентальных чисел T над F и над алгебраическим замыканием поля F.
Если матроид алгебраичен над простым расширением F (t), то он алгебраичен над F. Отсюда следует, что класс алгебраических матроидов замкнут относительно сжатие, и что алгебраический матроид над F является алгебраическим над простым полем поля F.
Класс алгебраических матроидов замкнут относительно усечения и объединения матроидов. Неизвестно, всегда ли алгебраический матроид является алгебраическим, и нет исключенной второстепенной характеристики класса.
Набор (алгебраических) характеристик K (M) матроида M - это множество возможных характеристик полей, над которыми M алгебраически представимо.
