Аддитивный процесс

редактировать

Аддитивный процесс в теории вероятностей - это кадлаг, непрерывный по вероятности случайный процесс с независимыми приращениями. Аддитивный процесс - это обобщение процесса Леви (процесс Леви - это аддитивный процесс с одинаково распределенными приращениями). Примером аддитивного процесса является броуновское движение с зависящим от времени дрейфом. Аддитивный процесс был введен Полем Леви в 1937 году.

Существуют применения аддитивного процесса в количественных финансах (это семейство процессов может отражать важные особенности подразумеваемая изменчивость ) и в обработке цифровых изображений.

Содержание

1 Определение
2 Основные свойства
- 2.1 Независимые приращения
- 2.2 Непрерывность в вероятности
3 Леви –Хинчинское представление
4 Существование и единственность в законе аддитивного процесса
5 Подкласс аддитивного процесса
- 5.1 Аддитивный подчиненный
- 5.2 Процесс Sato
6 Приложения
- 6.1 Количественные финансы
- 6.2 Цифровая обработка изображений
7 Ссылки
8 Источники

Определение

Аддитивный процесс - это обобщение процесса Леви, полученного путем ослабления гипотезы об одинаково распределенных приращениях. Благодаря этой особенности аддитивный процесс может описывать более сложные явления, чем процесс Леви.

A случайный процесс ${X t} t ≥ 0 {\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ на $R d { \ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${ \ mathbb R} ^ {d}$ такой, что $X 0 = 0 {\ displaystyle X_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle X_ {0} = 0}$ почти наверняка является аддитивным процессом, если он удовлетворяет следующей гипотезе:

Он имеет независимые приращения.
Он непрерывен по вероятности.

Основные свойства

Независимые приращения

Стохастический процесс ${X t} t ≥ 0 {\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ имеет независимые приращения тогда и только тогда, когда для любого $0 ≤ p < r < s < t {\displaystyle 0\leq p$ ${\ displaystyle 0 \ leq p <r <s <t}$ случайная величина $X t - X s {\ displaystyle X_ {t} -X_ {s}}$ ${\ displaystyle X_ {t} -X_ {s}}$ не зависит от случайной величины $X r - X p {\ displaystyle X_ {r} -X_ {p}}$ ${\ displaystyle X_ {r} -X_ {p}}$ .

Непрерывность по вероятности

Случайный процесс ${X t} t ≥ 0 {\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ непрерывно по вероятности тогда и только тогда, когда для любого $0 ≤ s < t {\displaystyle 0\leq s$ ${\ displaystyle 0 \ leq s <t}$

lim s → t Pr (| X s - X t | ≥ ε) = 0. {\ displaystyle \ lim _ {s \ to t} \ Pr \ left ({\ big |} X_ {s} -X_ {t} {\ big |} \ geq \ varepsilon \ right) = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {s \ to t} \ Pr \ left ({\ big |} X_ {s} -X_ {t} {\ big |} \ geq \ varepsilon \ right) = 0.}

Представление Леви – Хинчина

Есть сильная связь между аддитивным процессом и безгранично делимыми распределениями. Аддитивный процесс во время $t {\ displaystyle t}$ $t$ имеет бесконечно делимое распределение, характеризуемое порождающим триплетом $(γ t, A t, ν t) {\ displaystyle (\ gamma _ {t}, A_ {t}, \ nu _ {t})}$ ${\ displaystyle (\ gamma _ {t}, A_ {t}, \ nu _ {t})}$ . $γ t {\ displaystyle \ gamma _ {t}}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {t}}$ - вектор в $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${ \ mathbb R} ^ {d}$ , $A t {\ displaystyle A_ {t}}$ ${\ displaystyle A_ {t}}$ - матрица в $R d × d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { d \ times d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d \ times d}}$ и $ν t {\ displaystyle \ nu _ {t}}$ $\ nu_t$ - это мера на $R d {\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {d}}$ ${ \ mathbb R} ^ {d}$ такое, что $ν t ({0}) = 0 {\ displaystyle \ nu _ {t} (\ {0 \}) = 0}$ ${\ displaystyle \ nu _ {t} (\ {0 \}) = 0}$ и $∫ R d (1 ∧ x 2) ν t (dx) < ∞ {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}(1\wedge x^{2})\nu _{t}(dx)<\infty }$ ${\ display стиль \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} (1 \ wedge x ^ {2}) \ nu _ {t} (dx) <\ infty}$ .

$γ t {\ displaystyle \ gamma _ {t}}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {t}}$ называется смещением, $A t {\ displaystyle A_ {t}}$ ${\ displaystyle A_ {t}}$ ковариационная матрица и $ν t {\ displaystyle \ nu _ {t}}$ $\ nu_t$ мера Леви. Можно явно записать характеристическую функцию аддитивного процесса, используя формулу Леви – Хинчина:

φ X (u) (t): = E ⁡ [eiu ′ X t] = exp ⁡ (u ′ γ ti - 1 2 u ′ A tu + ∫ R d (eiu ′ x - 1 - iu ′ x I | x | < 1) ν t ( d x)), {\displaystyle \varphi _{X}(u)(t):=\operatorname {E} \left[e^{iu'X_{t}}\right]=\exp \left(u'\gamma _{t}i-{\frac {1}{2}}u'A_{t}u+\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(e^{iu'x}-1-iu'x\mathbf {I} _{|x|<1}\right)\,\nu _{t}(dx)\right),}

\varphi _{X}(u)(t):=\operatorname {E} \left[e^{iu'X_{t}}\right]=\exp \left(u'\gamma _{t}i-{\frac {1}{2}}u'A_{t}u+\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(e^{iu'x}-1-iu'x\mathbf {I} _{|x|<1}\right)\,\nu _{t}(dx)\right),

где $u {\ displaystyle u}$ $u$ - вектор в $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${ \ mathbb R} ^ {d}$ и $IC {\ displaystyle \ mathbf {I_ {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf { I_ {C}}}$ - индикаторная функция множества $C {\ displaystyle C}$ $C$ .

Характеристическая функция процесса Леви имеет ту же структуру, но с $γ t = t γ, ν t = t ν {\ displaystyle \ gamma _ {t} = t \ gamma, \ nu _ {t} = t \ nu}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {t} = t \ gamma, \ nu _ {t} = t \ nu}$ и $A t = A t {\ displaystyle A_ {t} = At}$ ${\ displaystyle A_ {t} = At}$ с $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ гамма$ вектор в $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${ \ mathbb R} ^ {d}$ , $A {\ displaystyle A}$ $A$ положительно определенной матрицы в $R d × d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d \ times d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d \ times d}}$ и $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ - показатель $р d {\ displaystyle \ math bb {R} ^ {d}}$ ${ \ mathbb R} ^ {d}$ .

Существование и единственность в законе аддитивного процесса

Следующий результат вместе с формулой Леви – Хинчина характеризует аддитивный процесс.

Пусть ${X t} t ≥ 0 {\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ будет аддитивным процессом на $Р d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${ \ mathbb R} ^ {d}$ . Тогда его безгранично делимое распределение таково, что:

для всех $t {\ displaystyle t}$ $t$ , $A t {\ displaystyle A_ {t}}$ $A_ {t}$ является положительно определенной матрицей.
$γ 0 = 0, A 0 = 0, ν 0 = 0 {\ Displaystyle \ gamma _ {0} = 0, A_ {0} = 0, \ nu _ {0} = 0}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {0} = 0, A_ {0} = 0, \ nu _ {0} = 0}$ и для всех $s, t {\ displaystyle s, t}$ ${\ displaystyle s, t}$ таково, что $s < t {\displaystyle s$ $s <t$ , $A t - A s {\ displaystyle A_ {t} -A_ {s}}$ ${\ displaystyle A_ {t} -A_ {s}}$ является положительно определенной матрицей и $ν t (B) ≥ ν s (B) {\ displaystyle \ nu _ {t} (B) \ geq \ nu _ {s} (B)}$ ${\ displaystyle \ nu _ {t} (B) \ geq \ nu _ {s} (B)}$ для каждого $B {\ displaystyle B}$ $B$ в $B (R d) {\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ( \ mathbb {R} ^ {d})}$ .
Если $s → t {\ displaystyle s \ to t}$ ${\ displaystyle s \ to t}$ $γ s → γ t, A s → A t {\ displaystyle \ gamma _ {s} \ to \ gamma _ {t}, A_ { s} \ к A_ {t}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {s} \ to \ gamma _ {t}, A_ {s} \ to A_ {t}}$ и $ν s (B) → ν t (B) {\ displaystyle \ nu _ {s} (B) \ to \ nu _ {t} (B)}$ ${\ displaystyle \ nu _ {s} (B) \ to \ nu _ {t} (B)}$ каждые $B {\ displaystyle B}$ $B$ в $B (R d) {\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbb {R} ^ {d})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} ( \ mathbb {R} ^ {d})}$ , $0 ∉ B {\ displaystyle 0 \ not \ in B}$ ${\ displaystyle 0 \ not \ in B}$ .

И наоборот, для семейства infin безраздельно делимые распределения, характеризующиеся порождающей тройкой $(γ t, A t, ν t) {\ displaystyle (\ gamma _ {t}, A_ {t}, \ nu _ {t})}$ ${\ displaystyle (\ gamma _ {t}, A_ {t}, \ nu _ {t})}$ , который удовлетворяет 1, 2 и 3, существует аддитивный процесс ${X t} t ≥ 0 {\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ с это распределение.

Подкласс аддитивного процесса

Аддитивный подчиненный

Положительный невозрастающий аддитивный процесс ${S t} t ≥ 0 {\ displaystyle \ {S_ { t} \} _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {S_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ со значениями в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ является дополнительным подчиненным. Аддитивный субординатор - это семимартингал (благодаря тому, что он не убывает), и всегда можно переписать его преобразование Лапласа как

E ⁡ [e - u S t] = ехр ⁡ (ubt + R d (eiux - 1) ν t (dx)). {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {- uS_ {t}} \ right] = \ exp \ left (ub_ {t} + \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} (е ^ {iux} -1) \ nu _ {t} (dx) \ right).}

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {- uS_ {t}} \ right] = \ exp \ left (ub_ {t} + \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} (e ^ {iux} -1) \ nu _ {t} (dx) \ right).}

Можно использовать аддитивный субординатор для изменения времени процесса Леви с получением нового класса аддитивных процессов.

процесс Сато

аддитивный самоподобный процесс ${Z t} t ≥ 0 {\ displaystyle \ {Z_ {t} \} _ {t \ geq 0} }$ ${\ displaystyle \ {Z_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ называется процессом Сато. Можно построить процесс Сато из процесса Леви ${X t} t ≥ 0 {\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ такой, что $Z t {\ displaystyle Z_ {t}}$ $Z_ {t}$ имеет тот же закон $th X 1 {\ displaystyle t ^ {h} X_ {1}}$ ${\ displaystyle t ^ {h} X_ {1 }}$ .

Примером является дисперсия gamma SSD, процесс Sato, полученный из процесса гамма-дисперсии.

Характеристическая функция дисперсии гаммы в момент $t = 1 {\ displaystyle t = 1}$ $t = 1$ составляет

E ⁡ [eiu X 1] = (1 1 - iu θ ν + 0,5 σ 2 ν u 2) 1 / ν, {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {iuX_ {1}} \ right] = \ left ({\ frac {1} {1-iu \ theta \ nu +0.5 \ sigma ^ {2} \ nu u ^ {2}}} \ right) ^ {1 / \ nu},}

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {iuX_ {1}} \ right] = \ left ({\ frac {1} {1-iu \ theta \ nu +0.5 \ sigma ^ {2} \ nu u ^ {2}}} \ right) ^ {1 / \ nu},}

где $θ, ν {\ displaystyle \ theta, \ nu}$ ${\ displaystyle \ theta, \ nu}$ и $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ сигма$ являются положительными константами.

Характеристическая функция дисперсии гамма SSD:

E ⁡ [eiu Z t] = (1 1 - iuth θ ν + 0,5 σ 2 ν u 2 t 2 h) 1 / ν {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {iuZ_ {t}} \ right] = \ left ({\ frac {1} {1-iut ^ {h} \ theta \ nu +0.5 \ sigma ^ {2} \ nu u ^ {2} t ^ {2} h}} \ right) ^ {1 / \ nu}}

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {iuZ_ {t}} \ right] = \ left ({\ frac {1} {1-iut ^ {h} \ theta \ nu +0,5 \ sigma ^ {2} \ nu u ^ {2} t ^ {2} h}} \ right) ^ {1 / \ nu}}

Приложения

Количественные финансы

Процесс Леви используется для моделирования логарифм рыночных цен. К сожалению, стационарность приращений не позволяет правильно воспроизводить рыночные данные. Процесс Леви хорошо подходит для опционов колл и пут-опционов (подразумеваемая волатильность smile) для одной даты истечения срока, но не может соответствовать ценам опционов с разными сроками погашения ( поверхность волатильности ). Аддитивный процесс вводит детерминированную нестационарность, которая позволяет ему соответствовать всем срокам годности.

Четырехпараметрический процесс Сато (самоподобный аддитивный процесс) может правильно воспроизвести поверхность летучести (ошибка 3% на SP 500 фондовый рынок). Этот порядок величины ошибки обычно достигается с использованием моделей с 6–10 параметрами для соответствия рыночным данным. Самоподобный процесс правильно описывает рыночные данные из-за его плоской асимметрии и чрезмерного эксцесса ; эмпирические исследования наблюдали такое поведение при асимметрии рынка и чрезмерном эксцессе. Некоторые из процессов, которые соответствуют ценам опционов с ошибкой 3%, - это VGSSD, NIGSSD, MXNRSSD, полученные из процесса гамма-дисперсии, нормальный обратный гауссовский процесс и процесс Мейкснера.

Подчинение Леви используется для построения новых процессов Леви (для пример дисперсионного гамма-процесса и нормального обратного гауссовского процесса). Существует большое количество финансовых приложений процессов, построенных по подчинению Леви. Аддитивный процесс, построенный на основе аддитивного подчинения, поддерживает аналитическую управляемость процесса, построенного на подчинении Леви, но он лучше отражает неоднородную во времени структуру рыночных данных. Аддитивное подчинение применяется к товарному рынку и к опциям VIX.

Цифровая обработка изображений

Оценка, основанная на минимуме аддитивного процесса, может применяться к обработке изображений. Целью такого средства оценки является различение реального сигнала и шума в пикселях изображения.

Ссылки

Источники

Танков, Петр; Конт, Рама (2003). Финансовое моделирование со скачкообразными процессами. Чепмен и Холл. ISBN 1584884134.
Сато, Кен-Ито (1999). Процессы Леви и безгранично делимые распределения. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521553025.
Ли, Цзин; Ли, Линфэй; Мендоса-Арриага, Рафаэль (2016). «Аддитивное подчинение и его применение в финансах». Финансы и стохастика. 20 (3): 2–6. doi : 10.1007 / s00780-016-0300-8.
Эберлейн, Эрнст; Мадан, Дилип Б. (2009). «Процессы Sato и оценка структурированных продуктов». Количественные финансы. 9 (1). doi : 10.1080 / 14697680701861419.
Карр, Питер; Geman, Hélyette; Мадан, Дилип Б.; Йор, Марк (2007). «САМОРАЗМЕРЖИВАЕМСЯ И ОПЦИОНАЛЬНАЯ ЦЕНА». Математические финансы. 17 (1). дои : 10.1111 / j.1467-9965.2007.00293.x.
Ли, Цзин; Ли, Линфэй; Чжан, Гунцю (2017). «Модели чистого скачка для ценообразования и хеджирования деривативов VIX». Журнал экономической динамики и управления. 74. doi : 10.1016 / j.jedc.2016.11.001.
Bhattacharya, P.K.; Броквелл, П. Дж. (1976). «Минимум аддитивного процесса с приложениями для оценки сигналов и теории хранения». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 37 (1). doi :10.1007/BF00536298.