Модель ускоренного времени отказа

редактировать

Параметрическая модель в анализе выживаемости

В статистической области анализ выживаемости, модель ускоренного времени отказа(модель AFT) - это параметрическая модель, которая предоставляет альтернативу обычно используемой пропорциональной модели. модели опасностей. В то время как модель пропорциональных опасностей предполагает, что эффект ковариаты заключается в умножении опасности на некоторую константу, модель AFT предполагает, что эффект ковариаты заключается в ускорении или замедлении срока службы. течение болезни каким-то постоянным. Это особенно привлекательно в техническом контексте, где «болезнь» является результатом некоторого механического процесса с известной последовательностью промежуточных стадий.

Содержание

1 Спецификация модели
2 Статистические вопросы
- 2.1 Распределения, используемые в моделях AFT
3 Ссылки
4 Дополнительная литература

Спецификация модели

В целом модель ускоренного времени отказа может быть определена как

λ (t | θ) = θ λ 0 (θ t) {\ displaystyle \ lambda (t | \ theta) = \ theta \ lambda _ {0} (\ theta t)}

\ lambda (t | \ theta) = \ theta \ lambda _ {0} (\ theta t)

где $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ обозначает совместный эффект ковариат, обычно $θ = exp ⁡ (- [β 1 X 1 + ⋯ + β p Икс p]) {\ displaystyle \ theta = \ exp (- [\ beta _ {1} X_ {1} + \ cdots + \ beta _ {p} X_ {p}])}$ $\ theta = \ exp (- [\ beta _ {1} X_ {1} + \ cdots + \ beta _ {p} X_ {p}])$ . (Указание коэффициентов регрессии с отрицательным знаком означает, что высокие значения ковариант увеличивают время выживания, но это всего лишь знаковое соглашение; без отрицательного знака они увеличивают риск.)

Это выполняется, если функция плотности вероятности события принимается равной $f (t | θ) = θ f 0 (θ t) {\ displaystyle f (t | \ theta) = \ theta f_ {0 } (\ theta t)}$ $f (t | \ theta) = \ theta f_ {0} (\ theta t)$ ; тогда для функции выживания следует, что $S (t | θ) = S 0 (θ t) {\ displaystyle S (t | \ theta) = S_ {0} (\ theta t) }$ $S (t | \ theta) = S_ {0} (\ theta t)$ . Отсюда легко увидеть, что умеренное время жизни $T {\ displaystyle T}$ $T$ распределяется так, что $T θ {\ displaystyle T \ theta}$ $T \ theta$ и немодерируемое время жизни $T 0 {\ displaystyle T_ {0}}$ $T_ {0}$ имеет такое же распределение. Следовательно, $журнал ⁡ (T) {\ displaystyle \ log (T)}$ ${\ displaystyle \ log (T)}$ может быть записан как

log ⁡ (T) = - log ⁡ (θ) + log ⁡ (T θ ): Знак равно - журнал ⁡ (θ) + ϵ {\ displaystyle \ log (T) = - \ log (\ theta) + \ log (T \ theta): = - \ log (\ theta) + \ epsilon}

{\ displaystyle \ log (T) = - \ log (\ theta) + \ log (T \ theta): = - \ log (\ theta) + \ epsilon}

, где последний член распределяется как $log ⁡ (T 0) {\ displaystyle \ log (T_ {0})}$ ${\ displaystyle \ log (T_ { 0})}$ , т.е. независимо от $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Это сокращает модель ускоренного времени отказа до регрессионного анализа (обычно линейной модели ), где $- журнал ⁡ (θ) {\ displaystyle - \ log (\ theta)}$ ${\ displaystyle - \ log (\ theta)}$ представляет фиксированные эффекты, а $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ представляет шум. Различные распределения $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ подразумевают разные распределения $T 0 {\ displaystyle T_ {0}}$ $T_ {0}$ , т. Е. Разные базовые распределения время выживания. Обычно в контексте анализа выживаемости многие наблюдения подвергаются цензуре: мы знаем только, что $T i>ti {\ displaystyle T_ {i}>t_ {i}}$ $T_{i}>t_ {i}$ , а не $T i = ti { \ displaystyle T_ {i} = t_ {i}}$ $T_ {i} = t_ {i}$ . На самом деле, первый случай представляет собой выживание, а второй случай представляет собой событие / смерть / цензуру во время последующего наблюдения. Эти наблюдения с цензурой справа могут создавать технические проблемы для оценки модели, если распределение $T 0 {\ displaystyle T_ {0}}$ $T_ {0}$ необычно.

Интерпретация $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ в моделях ускоренного времени отказа прост: $θ = 2 {\ displaystyle \ theta = 2}$ $\ theta = 2$ означает, что все в соответствующей истории жизни человека происходит вдвое быстрее. Например, если модель касается развития опухоли, это означает, что все пре-с Диагностика прогрессирует в два раза быстрее, чем у человека, не подвергавшегося воздействию, что означает, что ожидаемое время до клинического заболевания составляет 0,5 от исходного времени. Однако это не означает, что функция риска $λ (t | θ) {\ displaystyle \ lambda (t | \ theta)}$ $\ lambda (t | \ theta)$ всегда в два раза выше - это будет Модель пропорциональных опасностей.

Статистические вопросы

В отличие от моделей пропорциональных опасностей, в которых полупараметрическая модель пропорциональных опасностей Кокса используется более широко, чем параметрические модели, модели AFT преимущественно полностью параметрические т.е. распределение вероятности указано для $log ⁡ (T 0) {\ displaystyle \ log (T_ {0})}$ ${\ displaystyle \ log (T_ { 0})}$ . (Бакли и Джеймс предложили полупараметрический AFT, но его использование относительно редко в прикладных исследованиях; в статье 1992 года Вэй указал, что модель Бакли-Джеймса не имеет теоретического обоснования и недостаточной надежности, и рассмотрел альтернативы.) проблема, если требуется степень реалистичной детализации для моделирования распределения базового срока службы. Следовательно, технические разработки в этом направлении были бы весьма желательны.

В отличие от моделей пропорциональных рисков, оценки параметров регрессии из моделей AFT устойчивы к пропущенным ковариатам. На них также меньше влияет выбор распределения вероятностей.

Результаты моделей AFT легко интерпретируются. Например, результаты клинического испытания со смертностью в качестве конечной точки можно интерпретировать как определенный процент увеличения будущей ожидаемой продолжительности жизни при новом лечении по сравнению с контролем. Таким образом, пациент может быть проинформирован о том, что, скажем, он проживет на 15% дольше, если он примет новое лечение. Коэффициенты опасности труднее объяснить обычным языком.

Распределения, используемые в моделях AFT

Логистическое распределение обеспечивает наиболее часто используемую модель AFT. В отличие от распределения Вейбулла, оно может демонстрировать немонотонную функцию риска, которая увеличивается на ранних этапах и уменьшается на более поздних этапах. Оно несколько похоже по форме на логнормальное распределение, но имеет более тяжелые хвосты. Лог-логистическая кумулятивная функция распределения имеет простую замкнутую форму, которая становится важной в вычислительном отношении при подгонке данных с помощью цензурирования. Для цензурированных наблюдений нужна функция выживания, которая является дополнением кумулятивной функции распределения, то есть нужно иметь возможность оценивать $S (t | θ) = 1 - F (t | θ) {\ displaystyle S (t | \ theta) = 1-F (t | \ theta)}$ $S (t | \ theta ) = 1-F (t | \ theta)$ .

Распределение Вейбулла (включая экспоненциальное распределение в качестве особого случая) может быть параметризовано как модель пропорциональных рисков или модель AFT, и является единственным семейством распределений, обладающим этим свойством. Таким образом, результаты подбора модели Вейбулла можно интерпретировать в любой структуре. Однако биологическая применимость этой модели может быть ограничена тем фактом, что функция риска является монотонной, т.е. либо уменьшается, либо увеличивается.

Другие распределения, подходящие для моделей AFT, включают логнормальное, гамма и обратное гауссовское распределение, хотя они менее популярны, чем логарифм. -логистические, отчасти потому, что их совокупные функции распределения не имеют замкнутой формы. Наконец, обобщенное гамма-распределение представляет собой трехпараметрическое распределение, которое включает в себя распределения Вейбулла, логнормальное и гамма как особые случаи..

Ссылки

Дополнительная литература

Bradburn, MJ; Кларк, Т. Г.; Любовь, SB; Альтман, Д.Г. (2003), «Анализ выживаемости, часть II: многомерный анализ данных - введение в концепции и методы», British Journal of Cancer, 89(3): 431–436, doi : 10.1038 / sj.bjc.6601119, PMC 2394368, PMID 12888808
Хугард, Филип ( 1999), «Основы данных о выживании», Биометрия, 55(1): 13–22, doi : 10.1111 / j.0006-341X.1999.00013.x, PMID 11318147
Коллетт, Д. (2003), Моделирование данных о выживаемости в медицинских исследованиях (2-е изд.), CRC press, ISBN 978-1-58488-325-8
Кокс, Дэвид Роксби ; Оукс, Д. (1984), Анализ данных по выживаемости, CRC Press, ISBN 978-0-412-24490-2
Марубини, Этторе; Valsecchi, Мария Грация (1995), Анализ данных о выживаемости из клинических испытаний и обсервационных исследований, Wiley, ISBN 978-0-470-09341-2
Martinussen, Torben; Шайке, Томас (2006), Модели динамической регрессии для данных о выживании, Springer, ISBN 0-387-20274-9
Багдонавичюс, Вилихандас; Никулин, Михаил (2002), Модели ускоренной жизни. Моделирование и статистический анализ, Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-186-0