Ценообразование Ванна – Волга

Метод Ванна – Волга - это математический инструмент, используемый в финансах. Это метод ценообразования первого поколения экзотических опционов на валютном рынке (FX) деривативы.

• 1 Описание
• 2 Вероятность выживания
• 3 Время первого выхода
• 4 Ссылки

Он состоит из корректировки теоретической стоимости Блэка – Шоулза (BSTV) на стоимость портфеля, который хеджирует три основные риски, связанные с волатильностью опциона: Vega $V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{V\}\}\}$, реки Ванна и Волга. Vanna - это чувствительность Vega к изменению курса спотовой валюты:

$Vanna\; =\; \partial \; V\; \partial \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{Vanna\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{V\; \}\}\}\; \{\backslash \; partial\; S\}\}\}$.

Аналогично, Волга - это чувствительность Vega к изменению подразумеваемой волатильности $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$:

$Волга\; =\; \partial \; В\; \partial \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{Volga\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{V\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; sigma\}\}\}$.

Если мы рассмотрим временная структура волатильности улыбки $\sigma \; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (K)\}$со страйком банкомата $K\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\}$, Волатильность банкоматов $\sigma \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\}$, волатильность 25-дельта колл / пут $\sigma \; (K\; c\; /\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{c\; /\; p\})\}$, и где $K\; c\; /\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{c\; /\; p\}\}$- страйки колл / пут 25-дельта (полученные путем решения уравнений $\Delta \; call\; (K\; c,\; \sigma \; (K\; c))\; =\; 1/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{call\}\; (K\_\; \{c\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{c\}))\; =\; 1\; /\; 4\}$и $\Delta \; положим\; (К\; п,\; \sigma \; (К\; п))\; =\; -\; 1/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{put\}\; (K\_\; \{p\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{p\}))\; =\; -\; 1/4\}$где $\Delta \; call\; /\; put\; (K,\; \sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{call\; /\; put\}\; (K,\; \backslash \; sigma)\}$обозначает чувствительность дельты Блэка – Шоулза ), то портфель хеджирования будет состоять из стратегий «при деньгах» (ATM), реверсирования риска (RR) и «бабочки» (BF):

$ATM\; (K\; 0)\; =\; 1\; 2\; (Call\; (K\; 0,\; \sigma \; 0)\; +\; Положим\; (K\; 0,\; \sigma \; 0))\; RR\; (K\; c,\; K\; p)\; =\; Call\; (K\; c,\; \sigma \; (K\; c))\; -\; Положим\; (K\; p,\; \sigma \; (K\; p))\; BF\; (K\; c,\; К\; п)\; знак\; равно\; 1\; 2\; (Вызов\; (К\; с,\; \sigma \; (К\; с))\; +\; Положить\; (К\; п,\; \sigma \; (К\; п)))\; -\; банкомат\; (К\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; textrm\; \{ATM\}\}\; (K\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; textrm\; \{Call\}\}\; (K\_\; \{0\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\})\; +\; \{\backslash \; textrm\; \{\; Положите\}\}\; (K\_\; \{0\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\})\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; textrm\; \{RR\}\}\; (K\_\; \{c\},\; K\_\; \{p\})\; =\; \{\backslash \; textrm\; \{Call\}\}\; (K\_\; \{c\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{c\}))\; -\; \{\backslash \; textrm\; \{Put\}\}\; (K\_\; \{p\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{p\}))\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; textrm\; \{BF\}\}\; (K\_\; \{c\},\; K\_\; \{p\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; textrm\; \{Call\}\}\; (K\_\; \{c\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{c\}))\; +\; \{\backslash \; textrm\; \{Put\}\; \}\; (K\_\; \{p\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{p\}))\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; textrm\; \{ATM\}\}\; (K\_\; \{0\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

с $Call\; (K,\; \sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{Call\}\}\; (K,\; \backslash \; sigma)\}$цена Блэка – Шоулза опциона колл (аналогично оферте).

Простейшая формулировка метода Ванна-Волга предполагает, что цена Ванна-Волги $XVV\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{VV\}\}$экзотического инструмента $X\; \{\; \backslash \; displaystyle\; X\}$определяется как

$XVV\; =\; XBS\; +\; X\; vanna\; RR\; vanna\; ⏟\; w\; RRRR\; cost\; +\; X\; volga\; BF\; volga\; ⏟\; w\; BFBF\; cost\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{VV\}\}\; =\; X\; ^\; \{BS\}\; +\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; textrm\; \{X\}\}\; \_\; \{vanna\}\}\; \{\{\backslash \; textrm\; \{RR\}\}\; \_\; \{vanna\}\}\}\; \_\; \{w\_\; \{RR\}\}\; \{RR\}\; \_\; \{\; cost\}\; +\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; textrm\; \{X\}\}\; \_\; \{volga\}\}\; \{\{\backslash \; textrm\; \{BF\}\}\; \_\; \{volga\}\}\}\; \_\; \{w\_\; \{BF\}\}\; \{BF\}\; \_\; \{cost\}\}$

где $XBS\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{BS\}\}$обозначает цену Блэка – Шоулза на экзотику, а греки рассчитываются с учетом волатильности банкомата и

$RR-стоимость\; =\; [Call\; (K\; c,\; \sigma \; (K\; c))\; -\; Положить\; (K\; p,\; \sigma \; (K\; p))]\; -\; [Вызов\; (K\; c,\; \sigma \; 0)\; -\; Положить\; (K\; p,\; \sigma \; 0)]\; BF\; стоимость\; =\; 1\; 2\; [Вызов\; (К\; с,\; \sigma \; (К\; с))\; +\; положить\; (К\; п,\; \sigma \; (К\; п))]\; -\; 1\; 2\; [Вызов\; (К\; с,\; \sigma \; 0)\; +\; положить\; (К\; п,\; \sigma \; 0)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; RR\_\; \{cost\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; textrm\; \{Call\}\}\; (K\_\; \{c\; \},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{c\}))\; -\; \{\backslash \; textrm\; \{Put\}\}\; (K\_\; \{p\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{p\}))\; \backslash \; right]\; -\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; textrm\; \{Call\}\}\; (K\_\; \{c\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\})\; -\; \{\backslash \; textrm\; \{Put\}\}\; (K\_\; \{p\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\})\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; BF\_\; \{cost\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; textrm\; \{Call\}\}\; (K\_\; \{c\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{c\}))\; +\; \{\backslash \; textrm\; \{Put\}\}\; (K\_\; \{p\},\; \backslash \; sigma\; (K\_\; \{p\}))\; \backslash \; right]\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; textrm\; \{Call\}\}\; (K\_\; \{c\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\})\; +\; \{\backslash \; textrm\; \{Put\}\}\; (K\_\; \{p\; \},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\})\; \backslash \; right]\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эти величины представляют собой стоимость улыбки, а именно разницу между ценой, вычисленной с / без учета эффекта улыбки.

Обоснование приведенной выше формулировки цены Vanna-Volga заключается в том, что можно извлечь стоимость улыбки экзотического варианта, измерив стоимость улыбки портфеля, предназначенного для хеджирования рисков Vanna и Volga. Причина, по которой для этого выбираются стратегии BF и RR, заключается в том, что они являются ликвидными валютными инструментами и несут в себе в основном риски Волги и, соответственно, Ванны. Весовые коэффициенты $w\; RR\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{RR\}\}$и $w\; BF\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{BF\}\}$представляют, соответственно, количество RR, необходимое для реплицировать Ванну опциона и количество БФ, необходимое для репликации Волги опциона. Вышеупомянутый подход игнорирует небольшую (но не нулевую) часть Волги, перевозимой RR, и небольшую часть Vanna, переносимую BF. Кроме того, он не учитывает стоимость хеджирования риска Vega. Это привело к более общей формулировке метода Ванна-Волга, в котором считается, что в рамках предположений Блэка-Шоулза экзотические варианты Вега, Ванна и Волга могут быть воспроизведены с помощью взвешенной суммы трех инструментов:

$X\; i\; =\; w\; ATMATM\; i\; +\; w\; RRRR\; i\; +\; w\; BFBF\; ii\; =\; vega,\; vanna,\; volga\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\; =\; w\_\; \{ATM\}\; \backslash ,\; \{ATM\_\; \{i\}\}\; +\; w\_\; \{RR\}\; \backslash ,\; \{RR\_\; \{i\}\}\; +\; w\_\; \{BF\}\; \backslash ,\; \{BF\_\; \{i\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; i\; \{\backslash \; text\; \{=\; vega,\; vanna,\; volga\}\}\}$

где веса получены путем решения системы: $x\; \to \; =\; A\; w\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; \{\backslash \; vec\; \{w\}\}\}$

с

$A\; =\; (ATM\; vega\; RR\; vega\; BF\; vega\; ATM\; vanna\; RR\; vanna\; BF\; vanna\; ATM\; volga\; RR\; volga\; BF\; volga)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{A\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; ATM\_\; \{vega\}\; RR\_\; \{vega\}\; BF\_\; \{vega\}\; \backslash \backslash \; ATM\_\; \{vanna\}\; RR\_\; \{vanna\}\; BF\_\; \{vanna\}\; \backslash \backslash \; ATM\_\; \{volga\}\; RR\_\; \{volga\}\; BF\_\; \{volga\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$, $w\; \to \; =\; (w\; ATM\; w\; RR\; w\; BF)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{w\}\}\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; w\_\; \{ATM\}\; \backslash \backslash \; w\_\; \{RR\}\; \backslash \backslash \; w\_\; \{BF\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$, $x\; \to \; =\; (X\; veg\; a\; X\; vanna\; X\; volga)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; X\_\; \{vega\}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{vanna\}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{volga\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Учитывая В этой репликации метод Ванны – Волги корректирует цену BS экзотического опциона на стоимость улыбки, равную указанной выше взвешенной сумме (обратите внимание, что стоимость улыбки банкомата равна нулю по построению):

$XVV\; =\; XBS\; +\; w\; RR\; (RR\; mkt\; -\; RRBS)\; +\; w\; BF\; (BF\; mkt\; -\; BFBS)\; =\; XBS\; +\; x\; \to \; T\; (AT)\; -\; 1\; I\; \to \; =\; XBS\; +\; X\; vega\; \Omega \; vega\; +\; X\; vanna\; \Omega \; vanna\; +\; X\; volga\; \Omega \; volga\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\; \}\; X\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{VV\}\}\; =\; X\; ^\; \{BS\}\; +\; w\_\; \{RR\}\; (\{RR\}\; ^\; \{mkt\}\; -\; \{RR\}\; ^\; \{BS\})\; +\; w\_\; \{BF\}\; (\{BF\}\; ^\; \{\; mkt\}\; -\; \{BF\}\; ^\; \{BS\})\; \backslash \backslash \; =\; X\; ^\; \{BS\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; ^\; \{T\}\; (\backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{T\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; vec\; \{I\}\}\; \backslash \backslash \; =\; X\; ^\; \{BS\}\; +\; X\_\; \{vega\}\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\; \_\; \{vega\}\; +\; X\_\; \{vanna\}\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\; \_\; \{vanna\}\; +\; X\_\; \{volga\}\; \backslash ,\; \backslash \; Omega\; \_\; \{volga\}\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

где

$I\; \to \; =\; (0\; RR\; mkt\; -\; RRBSBF\; mkt\; -\; BFBS)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{I\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; \{RR\}\; ^\; \{mkt\}\; -\; \{RR\}\; ^\; \{BS\}\; \backslash \backslash \; \{BF\}\; ^\; \{mkt\}\; -\; \{BF\}\; ^\; \{BS\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

и

$(\Omega \; vega\; \Omega \; vanna\; \Omega \; волг\; а)\; =\; (AT)\; -\; 1\; я\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{vega\}\; \backslash \backslash \backslash \; Omega\; \_\; \{vanna\}\; \backslash \backslash \backslash \; Omega\; \_\; \{volga\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; (\backslash \; mathbb\; \{A\}\; ^\; \{T\})\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; vec\; \{I\}\}\}$

Величины $\Omega \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{i\}\}$могут быть интерпретируются как рыночные цены, привязанные к количеству единиц Vega, Vanna и Volga, соответственно. Однако результирующая поправка обычно оказывается слишком большой. Таким образом, рыночные практики изменяют $XVV\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{VV\}\}$на

$XVV\; =\; XBS\; +\; pvanna\; X\; vanna\; \Omega \; vanna\; +\; pvolga\; X\; volga\; \Omega \; volga\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\; \}\; X\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{VV\}\}\; =\; X\; ^\; \{BS\}\; +\; p\_\; \{vanna\}\; X\_\; \{vanna\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{vanna\}\; +\; p\_\; \{volga\}\; X\_\; \{volga\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{volga\}\; \backslash \; end\; \{\; Выровнено\}\}\}$

Вклад Vega оказывается на несколько порядков меньше, чем члены Vanna и Volga во всех практических ситуациях, поэтому им можно пренебречь.

Термины $pvanna\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{vanna\}\}$и $pvolga\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{volga\}\}$вставлены в: стороны и представляют факторы, обеспечивающие правильное поведение цены экзотического опциона вблизи барьера: по мере того, как нокаутирующий барьерный уровень $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$опциона постепенно перемещается в сторону спотовый уровень $S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\}$, цена BSTV нокаута должна быть монотонно убывающей функцией, сходящейся к нулю точно при $B\; =\; S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; S\_\; \{0\}\}$. Поскольку метод Ванны-Волги представляет собой простое практическое правило, а не строгую модель, нет никаких гарантий, что это будет априори так. Коэффициенты затухания отличаются от Ванны или Волги инструмента. Это связано с тем, что для значений барьеров, близких к пятну, они ведут себя по-разному: Ванна становится большой, а Волга, наоборот, маленькой. Следовательно, коэффициенты затухания принимают вид:

$pvanna\; =\; a\; \gamma \; pvolga\; =\; b\; +\; c\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{vanna\}\}\; =\; a\; \backslash ,\; \backslash \; gamma\; \backslash \backslash \; p\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{volga\}\}\; =\; b\; +\; c\; \backslash \; gamma\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $\gamma \; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \backslash \; in\; [0,1]\}$представляет некоторую меру близости барьера (ей) к пятну с характеристиками

$\gamma \; =\; 0\; для\; S\; 0\; \to \; B\; \gamma \; =\; 1\; для\; |\; S\; 0\; -\; B\; |\; \gg \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; gamma\; =\; 0\; \backslash \; \backslash \; \{for\}\; \backslash \; \backslash \; S\_\; \{0\}\; \backslash \; to\; B\; \backslash \backslash \backslash \; gamma\; =\; 1\; \backslash \; \backslash \; \{for\}\; \backslash \; \backslash \; |\; S\_\; \{0\}\; -\; B\; |\; \backslash \; gg\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Коэффициенты $a,\; b,\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c\}$находятся путем калибровки модели, чтобы гарантировать, что он воспроизводит ванильную улыбку. Хорошими кандидатами для $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$, которые обеспечивают соответствующее поведение вблизи барьеров, являются вероятность выживания и ожидаемое время первого выхода. Обе эти величины обладают желаемым свойством - они исчезают вблизи барьера.

Вероятность выживания $psurv\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{Surv\}\; \backslash \; in\; [0,1]\}$относится к вероятность того, что пятно не коснется одного или нескольких барьерных уровней $\{B\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{B\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$. Например, для варианта с одним барьером у нас есть

, где $NT\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{NT\}\; (B)\}$- значение параметра без касания и $DF\; (t\; tod,\; t\; mat)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{DF\}\; (t\; \_\; \{\backslash \; textrm\; \{tod\}\},\; t\; \_\; \{\backslash \; textrm\; \{mat\}\})\}$коэффициент дисконтирования между сегодняшним днем ​​и сроком погашения. Точно так же для опционов с двумя препятствиями вероятность выживания дается через недисконтированную стоимость опциона с двойным отказом от касания.

Время первого выхода (FET) - это минимум между: (i) временем в будущем, когда ожидается, что спот выйдет из барьерной зоны до наступления срока погашения, и (ii) срок погашения, если спот не достиг ни одного из барьерных уровней до погашения. То есть, если мы обозначим полевой транзистор как $u\; (S\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (S\_\; \{t\},\; t)\}$, то $u\; (S\; t,\; t)\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (S\_\; \{t\},\; t)\; =\}$min $\{\varphi ,\; T\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; phi,\; T\; \backslash \}\}$где $\varphi \; =\; inf\; \{\ell \; \in \; [0,\; T)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \{\backslash \; textrm\; \{inf\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; ell\; \backslash \; in\; [0,\; T)\; \backslash \}\}$такой, что $S\; t\; +\; \ell >H\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{t\; +\; \backslash \; ell\}>H\}$или где $L,\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; L,\; H\}$- «низкий» и «высокий» барьерные уровни и $S\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{t\}\}$сегодняшнее положение.

Время первого выхода - это решение следующее PDE

$\partial \; u\; (S,\; t)\; \partial \; t\; +\; 1\; 2\; \sigma \; 2\; S\; 2\; \partial \; 2\; u\; (S,\; t)\; \partial \; S\; 2\; +\; \mu \; S\; \partial \; u\; (S,\; t)\; \partial \; S\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\; (S,\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; S\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\; \}\; u\; (S,\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; S\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; mu\; S\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\; (S,\; t)\}\; \{\backslash \; partia\; l\; S\}\}\; =\; 0\}$

Это уравнение решается в обратном направлении во времени, начиная с конечного условия $u\; (S,\; T)\; =\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (S,\; T)\; =\; T\}$где $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- время до погашения и граничные условия $u\; (L,\; t\; \prime )\; =\; u\; (H,\; t\; \prime )\; =\; t\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (L,\; t\; \text{'})\; =\; u\; (H,\; t\text{'})\; =\; t\; \text{'}\}$. В случае единственного барьера мы используем один и тот же PDE с $H\; \gg \; S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; gg\; S\_\; \{0\}\}$или $L\; \ll \; S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; ll\; S\_\; \{0\}\}$. Параметр $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$представляет нейтральный по отношению к риску дрейф лежащего в основе стохастического процесса.

• Фредерик Боссенс; Грегори Рэй; Никос С. Сканцос; Гризельда Деелстра (2009). «Применение методов Ванна-Волги к валютным деривативам: от теории к рыночной практике». arXiv : 0904.1074 [q-fin.PR ].
• Кастанья, Антонио; Меркурио, Фабио (1 марта 2007 г.). «Ванна-волжские методы применительно к валютным деривативам: от теории к рыночной практике». Журнал рисков. PDF.

• Школьников, Юрий (2009). «Обобщенный метод Ванны-Волги и его приложения». SSRN 1186383. Cite journal требует | journal =()

• Wystup, Uwe (2006), FX Options и структурированные продукты, Уайли