Одномодальность

В математике, унимодальность означает обладание уникальным режимом. В более общем смысле, унимодальность означает, что существует только одно наивысшее значение, так или иначе определенное, некоторого математического объекта.

• 1 Унимодальное распределение вероятностей
  • 1.1 Другие определения
  • 1.2 Использование и результаты
  • 1.3 Неравенства
    • 1.3.1 Неравенство Гаусса
    • 1.3.2 Неравенство Высочанского – Петунина
    • 1.3.3 Мода, медиана и среднее значение
    • 1.3.4 Асимметрия и эксцесс
• 2 Унимодальная функция
• 3 Другие расширения
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Рисунок 1. функция плотности вероятности нормальных распределений, пример унимодального распределения. Рисунок 2. простое бимодальное распределение. Рисунок 3. Бимодальное распределение. Обратите внимание, что только самый большой пик будет соответствовать режиму в строгом смысле определения режима

. В statistics, унимодальное распределение вероятностей или унимодальное распределение - это распределение вероятностей, которое имеет единственный пик. Термин «режим» в этом контексте относится к любому пику распределения, а не только к строгому определению режима, которое обычно используется в статистике.

Если есть одиночный режим, функция распределения называется «унимодальной». Если у него больше режимов, это «бимодальный» (2), «тримодальный» (3) и т. Д. Или в целом «мультимодальный». На рисунке 1 показано нормальное распределение, которое является одномодальным. Другие примеры унимодальных распределений включают распределение Коши, t-распределение Стьюдента, распределение хи-квадрат и экспоненциальное распределение. Среди дискретных распределений биномиальное распределение и распределение Пуассона можно рассматривать как одномодальное, хотя для некоторых параметров они могут иметь два соседних значения с одинаковой вероятностью.

Рисунки 2 и 3 иллюстрируют бимодальные распределения.

Другие определения

Также существуют другие определения унимодальности в функциях распределения.

В непрерывных распределениях унимодальность может быть определена через поведение кумулятивной функции распределения (cdf). Если cdf выпуклый для x < m and вогнутый для x>m, то распределение является унимодальным, m - мода. Обратите внимание, что согласно этому определению равномерное распределение является унимодальным, как и любое другое распределение, в котором максимальное распределение достигается для диапазона значений, например трапециевидное распределение. Обычно это определение допускает прерывание режима; обычно в непрерывном распределении вероятность любого единственного значения равна нулю, в то время как это определение допускает ненулевую вероятность или «атом вероятности» в режиме.

Критерии унимодальности также можно определить с помощью характеристической функции распределения или с помощью ее преобразования Лапласа – Стилтьеса.

Другой способ определения унимодального дискретного распределения - это появление смены знака в последовательности разностей вероятностей. Дискретное распределение с функцией масс вероятности , $\{p\; n;\; n\; =\dots ,\; -\; 1,\; 0,\; 1,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{p\_\; \{n\};\; n\; =\; \backslash \; dots,\; -1,0,1,\; \backslash \; dots\; \backslash \}\}$, называется унимодальным если последовательность $\dots ,\; p\; -\; 2\; -\; p\; -\; 1,\; p\; -\; 1\; -\; p\; 0,\; p\; 0\; -\; p\; 1,\; p\; 1\; -\; p\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dots,\; p\; \_\; \{-\; 2\}\; -p\_\; \{\; -1\},\; p\; \_\; \{-\; 1\}\; -p\_\; \{0\},\; p\_\; \{0\}\; -p\_\; \{1\},\; p\_\; \{1\}\; -p\_\; \{2\},\; \backslash \; dots\}$имеет ровно одну смену знака ( когда нули не считаются).

Использование и результаты

Одна из причин важности унимодальности распределения заключается в том, что она позволяет получить несколько важных результатов. Ниже приведены несколько неравенств, которые справедливы только для унимодальных распределений. Таким образом, важно оценить, является ли данный набор данных результатом одномодального распределения. Несколько тестов на унимодальность даны в статье о многомодальном распределении.

Неравенства

неравенство Гаусса

Первым важным результатом является неравенство Гаусса. Неравенство Гаусса дает верхнюю границу вероятности того, что значение находится больше, чем любое заданное расстояние от его моды. Это неравенство зависит от унимодальности.

Неравенство Высочанского – Петунина

Секундой является неравенство Высочанского – Петунина, уточнение неравенства Чебышева. Неравенство Чебышева гарантирует, что в любом распределении вероятностей «почти все» значения «близки» к среднему значению. Неравенство Высочанского – Петунина уточняет это до еще более близких значений при условии, что функция распределения является непрерывной и унимодальной. Дальнейшие результаты показали Sellke Sellke.

Режим, медиана и среднее

Гаусс также показал в 1823 г., что для одномодального распределения

$\sigma \; \le \; \omega \; \le \; 2\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; leq\; \backslash \; omega\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; sigma\}$

и

$|\; \nu \; -\; \mu \; |\; \le \; 3\; 4\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; nu\; -\; \backslash \; mu\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\}\; \backslash \; omega,\}$

где медиана ν, среднее µ и ω - среднеквадратичное отклонение от режима.

Для унимодального распределения можно показать, что медиана ν и среднее μ лежат в пределах (3/5) ≈ 0,7746 стандартных отклонений друг от друга. В символах

$|\; \nu \; -\; \mu \; |\; \sigma \; \le \; 3\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; nu\; -\; \backslash \; mu\; |\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\}\}\}$

где |. | - абсолютное значение.

Аналогичное соотношение существует между медианой и модой θ: они лежат в пределах 3 ≈ 1,732 стандартных отклонений друг от друга:

$|\; \nu \; -\; \theta \; |\; \sigma \; \le \; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; nu\; -\; \backslash \; theta\; |\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}.\}$

Также можно показать, что среднее значение и режим лежат в пределах трех значений каждого Другие.

$|\; \mu \; -\; \theta \; |\; \sigma \; \le \; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; theta\; |\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}.\}$

Асимметрия и эксцесс

Рохатги и Секели показали, что асимметрия и эксцесс унимодального распределения связаны неравенством:

$\gamma \; 2\; -\; \kappa \; \le \; 6\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; leq\; \{\; \backslash \; frac\; \{6\}\; \{5\}\}\}$

где κ - эксцесс, а γ - асимметрия.

Клаассен, Моквельд и ван Эс вывели неравенство (показано ниже), немного отличное от неравенства, полученного Рохатги и Секели (показано выше), которое имеет тенденцию быть более всеобъемлющим (т. Е. Давать больше положительных результатов) в тестах. унимодальности:

$\gamma \; 2\; -\; \kappa \; \le \; 186\; 125\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{186\}\; \{125\}\}\}$

As термин «модальный» применяется к наборам данных и распределению вероятностей, а не к функциям в целом, определения выше не применяются. Определение «одномодальный» было распространено также на функции действительных чисел.

Общее определение выглядит следующим образом: функция f (x) является унимодальной функцией, если для некоторого значения m она монотонно возрастает при x ≤ m и монотонно убывает при x ≥ m. В этом случае максимальное значение f (x) равно f (m), и других локальных максимумов нет.

Доказать одномодальность зачастую сложно. Один из способов состоит в использовании определения этого свойства, но оказывается, что он подходит только для простых функций. Существует общий метод, основанный на производных, но, несмотря на его простоту, он не дает успеха для каждой функции.

Примеры унимодальных функций включают в себя квадратичные полиномиальные функции с отрицательным квадратичным коэффициентом, функции отображения палатки и другие.

Вышеизложенное иногда называют сильной унимодальностью из-за того факта, что подразумеваемая монотонность является сильной монотонностью. Функция f (x) является слабо унимодальной функцией, если существует значение m, для которого она слабо монотонно возрастает при x ≤ m и слабо монотонно убывает при x ≥ m. В этом случае максимальное значение f (m) может быть достигнуто для непрерывного диапазона значений x. Примером слабо унимодальной функции, которая не является строго унимодальной, является каждая вторая строка в треугольнике Паскаля.

. В зависимости от контекста унимодальная функция может также относиться к функции, которая имеет только один локальный минимум, а не максимум. Например, локальная одномодальная выборка, метод выполнения численной оптимизации, часто демонстрируется с такой функцией. Можно сказать, что унимодальная функция в рамках этого расширения является функцией с одним локальным экстремумом.

. Одним из важных свойств унимодальных функций является то, что экстремум может быть найден с помощью алгоритмов поиска, таких как поиск золотого сечения, троичный поиск или последовательная параболическая интерполяция.

Функция f (x) является «S-унимодальной» (часто упоминаемой как "S-унимодальное отображение"), если его производная Шварца отрицательна для всех $x\; \ne \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; x\; \backslash \; neq\; c\}$, где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- критическая точка.

В вычислительной геометрии, если функция является унимодальной, это позволяет разработать эффективные алгоритмы для поиска экстремумов функции..

Более общее определение, применимое к функции f (X) векторной переменной X, состоит в том, что f является унимодальным, если существует взаимно однозначное дифференцируемое отображение X = G (Z) такое, что f (G (Z)) выпуклая. Обычно требуется, чтобы G (Z) была непрерывно дифференцируемой с невырожденной матрицей Якоби.

Квазивыпуклые функции и квазивогнутые функции расширяют понятие унимодальности до функций, аргументы которых принадлежат многомерным евклидовым пространствам.

• Бимодальное распределение