Полиномы Стирлинга

В математике, то Стирлинг полиномы представляют собой семейство многочленов, обобщающие важные последовательности чисел, появляющихся в комбинаторике и анализе, которые тесно связаны с числами Стирлинга, в числах Бернулли и обобщенные полиномы Бернулли. Есть несколько вариантов полинома Стирлинга последовательности рассматриваемой ниже в первую очередь в том числе последовательности Шеффера виде последовательности,, определенной характерный через специальную форму ее экспоненциальную производящую функцию, а Стирлинг (свертка) многочлены,, которые также удовлетворяют характерные обычные производящая функция и которые используются при обобщении чисел Стирлинга (обоих видов) на произвольные комплексные входные данные. Мы рассматриваем " полиномиальный сверток " вариант этой последовательности и его свойства вторым в последнем пункте статьи. Еще другие варианты полиномов Стирлинга изучаются в дополнительных ссылках на статьи, указанные в ссылках. ${\ Displaystyle S_ {к} (х)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {п} (х)}$

• 1 Определение и примеры
• 2 свойства
• 3 сверточные многочлены Стирлинга
  • 3.1 Определение и примеры
  • 3.2 Производящие функции
  • 3.3 Свойства и отношения
• 4 См. Также
• 5 ссылки
• 6 Внешние ссылки

Для неотрицательных целых чисел k полиномы Стирлинга S k ( x ) являются последовательностью Шеффера для, определенной экспоненциальной производящей функцией ${\ displaystyle (g (t), {\ bar {f}} (t)): = \ left (e ^ {- t}, \ log \ left ({\ frac {t} {1-e ^ {- t}}} \ right) \ right)}$

${\ displaystyle \ left ({t \ over {1-e ^ {- t}}} \ right) ^ {x + 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} S_ {k} (x) {t ^ {k} \ over k!}.}$

Многочлены Стирлинга являются частным случаем многочленов Нёрлунда (или обобщенных многочленов Бернулли ), каждый из которых имеет экспоненциальную производящую функцию

${\ displaystyle \ left ({t \ over {e ^ {t} -1}} \ right) ^ {a} e ^ {zt} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} B_ {k} ^ {(a)} (z) {t ^ {k} \ over k!},}$

задано отношением. ${\ Displaystyle S_ {к} (х) = В_ {к} ^ {(х + 1)} (х + 1)}$

Первые 10 полиномов Стирлинга приведены в следующей таблице:

k	S k ( x )
0	${\ displaystyle 1}$
1	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {2}}} (x + 1)}$
2	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {12}}} (3x ^ {2} + 5x + 2)}$
3	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {8}}} (x ^ {3} + 2x ^ {2} + x)}$
4	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {240}}} (15x ^ {4} + 30x ^ {3} + 5x ^ {2} -18x-8)}$
5	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {96}}} (3x ^ {5} + 5x ^ {4} -5x ^ {3} -13x ^ {2} -6x)}$
6	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {4032}}} (63x ^ {6} + 63x ^ {5} -315x ^ {4} -539x ^ {3} -84x ^ {2} + 236x + 96)}$
7	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {1152}}} (9x ^ {7} -84x ^ {5} -98x ^ {4} + 91x ^ {3} + 194x ^ {2} + 80x) }$
8	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {34560}}} (135x ^ {8} -180x ^ {7} -1890x ^ {6} -840x ^ {5} + 6055x ^ {4} + 8140x ^ {3} + 884x ^ {2} -3088x-1152)}$
9	${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ frac {1} {7680}}} (15x ^ {9} -45x ^ {8} -270x ^ {7} + 182x ^ {6} + 1687x ^ {5} + 1395x ^ {4} -1576x ^ {3} -2684x ^ {2} -1008x)}$

Еще один вариант многочленов Стирлинга рассматривается в (см. Также подраздел о сверточных полиномах Стирлинга ниже). В частности, статья И. Гесселя и Р. П. Стэнли определяет модифицированные полиномиальные последовательности Стирлинга и где - беззнаковые числа Стирлинга первого рода в терминах двух треугольников чисел Стирлинга для неотрицательных целых чисел. Для фиксированного значения оба и являются многочленами входных данных, каждый степени и со старшим коэффициентом, заданным двойным факториальным членом. ${\ displaystyle f_ {k} (n): = S (n + k, n)}$${\ displaystyle g_ {k} (n): = c (n, nk)}$${\ Displaystyle с (п, к): = (- 1) ^ {nk} s (п, к)}$ ${\ Displaystyle п \ geq 1, \ к \ geq 0}$${\ Displaystyle к \ geq 0}$${\ displaystyle f_ {k} (n)}$${\ displaystyle g_ {k} (n)}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {Z} ^ {+}}$${\ displaystyle 2k}$ ${\ Displaystyle (1 \ CDOT 3 \ CDOT 5 \ CDOTS (2k-1)) / (2k)!}$

Ниже обозначены полиномы Бернулли, а числа Бернулли в соответствии с соглашением обозначают число Стирлинга первого рода ; и обозначает числа Стирлинга второго рода. ${\ displaystyle B_ {k} (x)}$ ${\ displaystyle B_ {k} = B_ {k} (0)}$ ${\ displaystyle B_ {1} = B_ {1} (0) = - {\ tfrac {1} {2}};}$ ${\ displaystyle s_ {m, n}}$ ${\ displaystyle S_ {m, n}}$

• Особые значения: $${\ displaystyle {\ begin {align} S_ {k} (- m) amp; = {\ frac {(-1) ^ {k}} {k + m-1 \ choose k}} S_ {k + m-1, m-1} amp;amp; 0 lt;m \ in \ mathbb {Z} \\ [6pt] S_ {k} (- 1) amp; = \ delta _ {k, 0} \\ [6pt] S_ {k} (0) amp; = (- 1) ^ {k} B_ {k} \\ [6pt] S_ {k} (1) amp; = (- 1) ^ {k + 1} ((k-1) B_ {k} + kB_ {k-1}) \\ [6pt] S_ {k} (2) amp; = {\ tfrac {(-1) ^ {k}} {2}} ((k-1) (k-2) B_ { k} + 3k (k-2) B_ {k-1} + 2k (k-1) B_ {k-2}) \\ [6pt] S_ {k} (k) amp; = k! \\ [6pt] \ конец {выровнено}}}$$
• Если и тогда: ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle м \ geq п}$ $${\ Displaystyle S_ {n} (m) = (- 1) ^ {n} B_ {n} ^ {(m + 1)} (0),}$$ а также: $${\ displaystyle S_ {n} (m) = {(- 1) ^ {n} \ over {m \ choose n}} s_ {m + 1, m + 1-n}.}$$
• Последовательность имеет биномиального типа, так как ${\ Displaystyle S_ {к} (х-1)}$ $${\ displaystyle S_ {k} (x + y-1) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} {k \ choose i} S_ {i} (x-1) S_ {ki} (y-1).}$$ Более того, эта основная рекурсия выполняется: $${\ Displaystyle S_ {k} (x) = (xk) {S_ {k} (x-1) \ over x} + kS_ {k-1} (x + 1).}$$
• Явные представления, включающие числа Стирлинга, можно вывести с помощью формулы интерполяции Лагранжа : $${\ displaystyle {\ begin {align} S_ {k} (x) amp; = \ sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kn} S_ {k + n, n} {{x + n \ выбрать n} {x + k + 1 \ выбрать kn} \ over {k + n \ выбрать n}} \\ [6pt] amp; = \ sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {n} s_ {k + n + 1, n + 1} {{xk \ choose n} {xkn-1 \ choose kn} \ over {k + n \ choose k}} \\ [6pt] amp; = k! \ sum _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} \ sum _ {m = j} ^ {k} {x + m \ choose m} {m \ choose j} L_ {k + m} ^ {(- kj)} (- j) \\ [6pt] \ end {выровнено}}}$$ Здесь, являются Многочлены Лагерра. ${\ Displaystyle L_ {п} ^ {(\ альфа)}}$
• Также имеют место следующие отношения: $${\ Displaystyle {к + м \ выбрать k} S_ {k} (xm) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {ki} {k + m \ choose i} S_ {k -i + m, m} \ cdot S_ {i} (x),}$$ $${\ displaystyle {km \ choose k} S_ {k} (x + m) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} {km \ choose i} s_ {m, m-k + i} \ cdot S_ {i} (x).}$$
• Из дифференцирования производящей функции легко следует, что $${\ Displaystyle S_ {k} ^ {\ prime} (x) = - \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} {k \ choose j} S_ {j} (x) {\ frac {B_ { kj}} {kj}}.}$$

Определение и примеры

Другой вариант полиномиальной последовательности Стирлинга соответствует частному случаю сверточных полиномов, изученных в статье Кнута и в справочнике по конкретной математике. Сначала определим эти многочлены через числа Стирлинга первого рода как

${\ displaystyle \ sigma _ {n} (x) = \ left [{\ begin {matrix} x \\ xn \ end {matrix}} \ right] \ cdot {\ frac {1} {x (x-1) \ cdots (xn)}}.}$

Отсюда следует, что эти многочлены удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, заданному формулой

${\ displaystyle (x + 1) \ sigma _ {n} (x + 1) = (xn) \ sigma _ {n} (x) + x \ sigma _ {n-1} (x), \ n \ geq 1.}$

Эти полиномы " свертки " Стирлинга могут использоваться для определения чисел Стирлинга, а для целых чисел и произвольных комплексных значений. В следующей таблице приведены несколько частных случаев этих многочленов Стирлинга для первых нескольких. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ left [{\ begin {matrix} x \\ xn \ end {matrix}} \ right]}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ left \ {{\ begin {matrix} x \\ xn \ end {matrix}} \ right \}}}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$

п	σ n ( х )
0	${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$
1	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$
2	${\ displaystyle {\ frac {3x-1} {24}}}$
3	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} -x} {48}}}$
4	${\ displaystyle {\ frac {15x ^ {3} -30x ^ {2} + 5x + 2} {5760}}}$

Производящие функции

Этот вариант полиномиальной последовательности Стирлинга имеет особенно хорошие обычные производящие функции следующих форм:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {ze ^ {z}} {e ^ {z} -1}} \ right) ^ {x} amp; = \ sum _ {n \ geq 0} x \ sigma _ {n} (x) z ^ {n} \\\ left ({\ frac {1} {z}} \ ln {\ frac {1} {1-z}} \ right) ^ {x } amp; = \ sum _ {n \ geq 0} x \ sigma _ {n} (x + n) z ^ {n}. \ end {выравнивается}}}$

В более общем смысле, если удовлетворяет степенной ряд, мы имеем ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {т} (г)}$${\ displaystyle \ ln \ left (1-z {\ mathcal {S}} _ {t} (z) ^ {t-1} \ right) = - z {\ mathcal {S}} _ {t} (z) ^ {t}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {t} (z) ^ {x} = \ sum _ {n \ geq 0} x \ sigma _ {n} (x + tn) z ^ {n}.}$

У нас также есть идентификатор связанной серии

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} (- 1) ^ {n-1} \ sigma _ {n} (n-1) z ^ {n} = {\ frac {z} {\ ln (1 + z)}} = 1 + {\ frac {z} {2}} - {\ frac {z ^ {2}} {12}} + \ cdots,}$

и производящие функции, связанные с полиномом Стирлинга (Шеффера), заданные формулой

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} (- 1) ^ {n + 1} m \ cdot \ sigma _ {n} (nm) z ^ {n} = \ left ({\ frac {z} { \ ln (1 + z)}} \ right) ^ {m}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} (- 1) ^ {n + 1} m \ cdot \ sigma _ {n} (m) z ^ {n} = \ left ({\ frac {z} { 1-e ^ {- z}}} \ right) ^ {m}.}$

Свойства и отношения

Для целых чисел и эти многочлены удовлетворяют двум формулам свертки Стирлинга, заданным формулой ${\ Displaystyle 0 \ Leq К \ Leq N}$${\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle (г + s) \ сигма _ {п} (г + s + tn) = рс \ сумма _ {к = 0} ^ {п} \ сигма _ {к} (г + тк) \ сигма _ { nk} (s + t (nk))}$

а также

${\ displaystyle n \ sigma _ {n} (r + s + tn) = s \ sum _ {k = 0} ^ {n} k \ sigma _ {k} (r + tk) \ sigma _ {nk} ( s + t (nk)).}$

Когда, у нас также есть, что многочлены,, определены через их отношения к числам Стирлинга ${\ displaystyle n, m \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {п} (м)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ left \ {{\ begin {matrix} n \\ m \ end {matrix}} \ right \} amp; = (- 1) ^ {n-m + 1} {\ frac {n!} {(m-1)!}} \ sigma _ {nm} (- m) \ ({\ text {when}} m lt;0) \\\ left [{\ begin {matrix} n \\ m \ end {matrix}} \ right] amp; = {\ frac {n!} {(m-1)!}} \ sigma _ {nm} (n) \ ({\ text {when}} mgt; n), \ end {выровнено}}}$

и их отношения к числам Бернулли, заданным формулой

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {n} (m) amp; = {\ frac {(-1) ^ {m + n-1}} {m! (nm)!}} \ sum _ { 0 \ leq k lt;m} \ left [{\ begin {matrix} m \\ mk \ end {matrix}} \ right] {\ frac {B_ {nk}} {nk}}, \ n \ geq mgt; 0 \\\ sigma _ {n} (m) amp; = - {\ frac {B_ {n}} {n \ cdot n!}}, \ m = 0. \ end {выровнено}}}$

• Полиномы Бернулли
• Многочлены Бернулли второго рода
• Последовательности Шеффера и Аппелла
• Многочлены разности
• Специальные полиномиальные производящие функции
• Коэффициенты Грегори

• Erdeli, A.; Magnus, W.; Оберхеттингер Ф. и Трикоми Ф. Г. Высшие трансцендентные функции. Том III. Нью-Йорк.
• Грэм; Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика: фундамент компьютерных наук.
• С. Роман (1984). Мрачное исчисление.

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Стирлинга». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Нёрлунда». MathWorld.
• Эта статья включает материал из полинома Стирлинга на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.