Теорема о шести экспонентах

редактировать

Условия, гарантирующие превосходство хотя бы одной из набора экспонент

В математике, в частности, трансцендентной теории чисел, теорема о шести экспонентах является результатом, который при правильных условиях на показатели степени гарантирует трансцендентность по крайней мере одной из набора экспонент.

Содержание

1 Утверждение
2 История
3 Теорема о пяти экспонентах
4 Точная теорема о шести экспонентах
5 Сильная теорема о шести экспонентах
6 Обобщение на коммутативные многообразия групп
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Заявление

Если x 1, x 2,..., x d - это d комплексные числа, которые линейно независимы над рациональными числами, и y 1, y 2,..., y l - l комплексных чисел, которые также линейно независимы от рациональных чисел, и если dl>d + l, то по крайней мере одно из следующих dl чисел равно трансцендентный :

exp ⁡ (xiyj), (1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ l). {\ displaystyle \ exp (x_ {i} y_ {j}), \ quad (1 \ leq i \ leq d, 1 \ leq j \ leq l).}

\ exp (x_ {i} y_ {j}), \ quad (1 \ leq i \ leq d, 1 \ leq j \ leq l).

Самый интересный случай - когда d = 3 и l = 2, и в этом случае есть шесть экспонент, отсюда и название результата. Эта теорема слабее связанной, но пока не доказанной гипотезы о четырех экспонентах, в которой строгое неравенство dl>d + l заменяется на dl ≥ d + l, что позволяет d = l = 2.

Теорема может быть сформулирована в терминах логарифмов, если ввести набор L логарифмов алгебраических чисел :

L = {λ ∈ C: e λ ∈ Q ¯}. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {\ lambda \ in \ mathbb {C} \,: \, e ^ {\ lambda} \ in {\ overline {\ mathbb {Q}}} \}.}

{\ mathcal {L}} = \ {\ lambda \ in {\ mathbb {C}} \,: \, e ^ {\ lambda} \ in \ overline {{\ mathbb {Q}}} \}.

Теорема говорит, что если λ ij - элементы L для i = 1, 2 и j = 1, 2, 3, такие, что λ 11, λ 12 и λ 13 линейно независимы по рациональным числам, а λ 11 и λ 21 также линейно независимы по рациональным числам, тогда матрица

M = (λ 11 λ 12 λ 13 λ 21 λ 22 λ 23) {\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {11} \ lambda _ {12} \ lambda _ {13} \\\ lambda _ {21} \ lambda _ {22} \ lambda _ {23} \ end {pmatrix}}}

M = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {{11}} \ lambda _ {{12}} \ lambda _ {{13}} \\\ lambda _ {{21}} \ lambda _ { {22}} \ lambda _ {{23}} \ end {pmatrix}}

имеет ранг 2.

История

Частный случай результата, когда x 1, x 2 и x 3 являются логарифмами положительные целые числа, y 1 = 1, а y 2 является действительным, впервые было упомянуто в статье Леонидаса Алаоглу и Пола Эрдёша из 1944 года, в котором они пытаются доказать, что соотношение последовательных колоссально обильных чисел всегда простое. Они утверждали, что Карл Людвиг Сигель знал о доказательствах этого особого случая, но они не зарегистрированы. Используя частный случай, им удается доказать, что отношение последовательных колоссально обильных чисел всегда является либо простым, либо полупервичным.

Теорема была впервые явно сформулирована и доказана в полной форме независимо Сержем Лангом и Канаканахалли Рамачандра в 1960-е годы.

Теорема о пяти экспонентах

Более сильный связанный результат - теорема о пяти экспонентах, которая заключается в следующем. Пусть x 1, x 2 и y 1, y 2 - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима рациональные числа, и пусть γ - ненулевое алгебраическое число. Тогда по крайней мере одно из следующих пяти чисел является трансцендентным:

e x 1 y 1, e x 1 y 2, e x 2 y 1, e x 2 y 2, e γ x 2 / x 1. {\ displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1}}, e ^ {x_ {1} y_ {2}}, e ^ {x_ {2} y_ {1}}, e ^ {x_ {2} y_ {2}}, e ^ {\ gamma x_ {2} / x_ {1}}.}

e ^ {{x_ {1} y_ {1}}}, e ^ {{x_ {1} y_ { 2}}}, e ^ {{x_ {2} y_ {1}}}, e ^ {{x_ {2} y_ {2}}}, e ^ {{\ gamma x_ {2} / x_ {1} }}.

Из этой теоремы следует теорема о шести экспонентах и, в свою очередь, вытекает из еще не доказанной гипотезы о четырех экспонентах, которая гласит, что в Фактически, одно из первых четырех чисел в этом списке должно быть трансцендентным.

Точная теорема о шести экспонентах

Другой связанный результат, который подразумевает как теорему о шести экспонентах, так и теорему о пяти экспонентах, - это теорема о точных шести экспонентах . Эта теорема состоит в следующем. Пусть x 1, x 2 и x 3 - комплексные числа, которые линейно независимы от рациональных чисел, и пусть y 1 и y 2 - пара комплексных чисел, которые линейно независимы от рациональных чисел, и предположим, что β ij - шесть алгебраических чисел для 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2 такие, что следующие шесть чисел являются алгебраическими:

ex 1 y 1 - β 11, ex 1 y 2 - β 12, ex 2 y 1 - β 21, ex 2 y 2 - β 22, ex 3 y 1 - β 31, пр. 3 y 2 - β 32. {\ displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1} - \ beta _ {11}}, e ^ {x_ {1} y_ {2} - \ beta _ {12}}, e ^ {x_ {2} y_ {1} - \ beta _ {21}}, e ^ {x_ {2} y_ {2} - \ beta _ {22}}, e ^ {x_ {3} y_ {1} - \ beta _ {31 }}, e ^ {x_ {3} y_ {2} - \ beta _ {32}}.}

e ^ {{x_ {1} y_ {1} - \ beta _ {{11}}}}, e ^ {{x_ {1} y_ {2} - \ beta _ {{12}}}}, e ^ {{x_ {2} y_ {1} - \ beta _ {{21}}}}, e ^ {{x_ {2} y_ {2} - \ beta _ {{22} }}}, e ^ {{x_ {3} y_ {1} - \ beta _ {{31}}}}, e ^ {{x_ {3} y_ {2} - \ beta _ {{32}}} }.

Тогда x iyj= β ij для 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2. Далее следует теорема о шести экспонентах, полагая β ij = 0 для любых i и j, тогда как теорема о пяти экспонентах следует, полагая x 3 = γ / x 1 и используя теорему Бейкера, чтобы гарантировать, что x i линейно независимы.

Также существует точная версия теоремы о пяти экспонентах, хотя она еще не доказана, поэтому известна как гипотеза точных пяти экспонент . Эта гипотеза влечет как точную теорему о шести экспонентах, так и теорему о пяти экспонентах, и формулируется следующим образом. Пусть x 1, x 2 и y 1, y 2 - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима рациональные числа, и пусть α, β 11, β 12, β 21, β 22 и γ - шесть алгебраических чисел с γ ≠ 0 таким, что следующие пять чисел являются алгебраическими:

ex 1 y 1 - β 11, ex 1 y 2 - β 12, ex 2 y 1 - β 21, ex 2 y 2 - β 22, e ( γ x 2 / x 1) - α. {\ displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1} - \ beta _ {11}}, e ^ {x_ {1} y_ {2} - \ beta _ {12}}, e ^ {x_ {2} y_ {1} - \ beta _ {21}}, e ^ {x_ {2} y_ {2} - \ beta _ {22}}, e ^ {(\ gamma x_ {2} / x_ {1}) - \ alpha}.}

e ^ { {x_ {1} y_ {1} - \ beta _ {{11}}}}, e ^ {{x_ {1} y_ {2} - \ beta _ {{12}}}}, e ^ {{x_ {2} y_ {1} - \ beta _ {{21}}}}, e ^ {{x_ {2} y_ {2} - \ beta _ {{22}}}}, e ^ {{(\ gamma x_ {2} / x_ {1}) - \ alpha}}.

Тогда x iyj= β ij для 1 ≤ i, j ≤ 2 и γx 2 = αx 1.

Следствие этой гипотезы, что в настоящее время неизвестно, будет трансцендентность e, если установить x 1 = y 1 = β 11 = 1, x 2 = y 2 = iπ, а все остальные значения в операторе равны нулю.

Сильная теорема о шести экспонентах

Логические следствия между различными задачами с n-экспонентами

Логические следствия между различными проблемами в этом круге. Те, что отмечены красным, еще не доказаны, а те, что отмечены синим, - известные результаты. Самый верхний результат относится к тому, что обсуждалось в теореме Бейкера, в то время как гипотезы о четырех экспонентах подробно описаны в статье гипотеза четырех экспонент.

Дальнейшее усиление теорем и гипотез в эта область - сильные версии. Сильная теорема о шести экспонентах - это результат, доказанный Дэмиеном Роем, из которого следует точная теорема о шести экспонентах. Этот результат касается векторного пространства над алгебраическими числами, порожденными единицей и всеми логарифмами алгебраических чисел, обозначенных здесь как L. Таким образом, L - это множество всех комплексных чисел вида

β 0 + ∑ я знак равно 1 N β я журнал ⁡ α я, {\ Displaystyle \ бета _ {0} + \ сумма _ {я = 1} ^ {n} \ бета _ {я} \ журнал \ альфа _ {я},}

\ beta _ {0} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ beta _ {i} \ log \ alpha _ {i},

для некоторого n ≥ 0, где все β i и α i являются алгебраическими и каждая ветвь логарифма рассматривается. Тогда сильная теорема шести экспонент гласит, что если x 1, x 2 и x 3 - комплексные числа, которые линейно независимы от алгебраических чисел, и если y 1 и y 2 - это пара комплексных чисел, которые также линейно независимы от алгебраических чисел, тогда хотя бы одно из шести чисел x iyjдля 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2 не входит в L. Это сильнее стандартной теоремы о шести экспонентах, которая утверждает, что одно из этих шести чисел не является просто логарифмом алгебраического числа.

Существует также сильная гипотеза пяти экспонент, сформулированная Мишелем Вальдшмидтом. Она подразумевает как сильную теорему о шести экспонентах, так и гипотезу о точных пяти экспонентах. Эта гипотеза утверждает, что если x 1, x 2 и y 1, y 2 - две пары комплексных чисел, каждая пара будучи линейно независимым над алгебраическими числами, то по крайней мере одно из следующих пяти чисел не входит в L:

x 1 y 1, x 1 y 2, x 2 y 1, x 2 y 2, x 1 / x 2. {\ Displaystyle x_ {1} y_ {1}, \, x_ {1} y_ {2}, \, x_ {2} y_ {1}, \, x_ {2} y_ {2}, \, x_ {1 } / x_ {2}.}

x_ {1} y_ {1}, \, x_ {1} y_ {2}, \, x_ {2} y_ {1}, \, x_ {2} y_ {2}, \, x_ {1} / x_ {2}.

Все приведенные выше гипотезы и теоремы являются следствием недоказанного расширения теоремы Бейкера о том, что логарифмы алгебраических чисел, которые линейно независимы относительно рациональных чисел, автоматически алгебраически независимы слишком. На диаграмме справа показаны логические следствия всех этих результатов.

Обобщение на коммутативные групповые многообразия

Экспоненциальная функция e унифицирует экспоненциальное отображение мультипликативной группы Gm. Следовательно, мы можем переформулировать теорему о шести экспонентах более абстрактно следующим образом:

Пусть G = Gm× Gmи u: C → G (C ) не- нулевой комплексно-аналитический групповой гомоморфизм. Определим L как набор комплексных чисел l, для которых u (l) является алгебраической точкой G. Если минимальный порождающий набор L над Q имеет более двух элементов, то изображение u (C ) является алгебраической подгруппой группы G (C).

(Чтобы вывести классическое утверждение, положите u (z) = (e; e) и обратите внимание, что Qx1+ Qx2+ Qx3является подмножеством L).

Таким образом, утверждение теоремы о шести экспонентах может быть обобщено на произвольное коммутативное групповое многообразие G над полем алгебраических чисел. Эта обобщенная гипотеза шести экспонент, однако, кажется несостоятельной. область применения на современном уровне теории трансцендентных чисел.

Для особых, но интересных случаев G = Gm× E и G = E × E ′, где E, E ′ - эллиптические кривые над полем алгебраических чисел, результаты к обобщенной шести экспоненциальной гипотезе были доказаны Александром Момотом.Эти результаты включают экспоненциальную функцию e и функцию Вейерштрасса $℘ {\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ соответственно два Weierstrass f объединения $℘, ℘ ′ {\ displaystyle \ wp, \ wp '}$ $\wp, \wp'$ с алгебраическими инвариантами $g 2, g 3, g 2 ′, g 3 ′ {\ displaystyle g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} ', g_ {3}'}$ $g_2, g_3, g_2', g_3'$ , вместо двух экспоненциальных функций $ey 1 z, ey 2 z {\ displaystyle e ^ {y_ {1 } z}, e ^ {y_ {2} z}}$ $e ^ {y_1z}, e ^ {y_2z}$ в классической инструкции.

Пусть G = Gm× E и предположим, что E не изогенна кривой над вещественным полем и что u (C ) не является алгебраической подгруппой в G (С ). Тогда L генерируется над Q либо двумя элементами x 1, x 2, либо тремя элементами x 1, x 2, x 3, которые не все содержатся в вещественной строке R c, где c - ненулевое комплексное число. Аналогичный результат показан для G = E × E '.

Примечания

Ссылки

Алаоглу, Леонидас ; Эрдеш, Пол (1944). «О сильно составных и подобных цифрах». Пер. Амер. Математика. Soc. 56(3): 448–469. DOI : 10.2307 / 1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087.
Лэнг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Co. MR 0214547.
Momot, Aleksander (2011). «Плотность рациональных точек на коммутативных групповых многообразиях и малая степень трансцендентности». arXiv : 1011.3368 [math.NT ].
Рамачандра, Канаканахалли (1967–1968). «Вклад в теорию трансцендентных чисел. I, II». Acta Arith. 14: 65–72, 73–88. doi : 10.4064 / aa-14-1-65-72. MR 0224566.
Рой, Дэмиен (1992). «Матрицы, коэффициенты которых являются линейными логарифмами». Дж. Теория чисел. 41(1): 22–47. doi : 10.1016 / 0022-314x (92) 90081-y. MR 1161143.
Waldschmidt, Michel (1988). «О методах трансцендентности Гельфонда и Шнайдера многих переменных». В Бейкер, Алан (ред.). Новые достижения в теории трансцендентности. Издательство Кембриджского университета. С. 375–398. MR 0972013.
Вальдшмидт, Мишель (2005). «Алгебры Хопфа и трансцендентные числа». В Аоки, Такаши; Канемицу, Сигеру; Накахара, Микио; и другие. (ред.). Дзета-функции, топология и квантовая физика: доклады симпозиума, проведенного в Университете Кинки, Осака, 3–6 марта 2003 г. Развитие математики. 14 . Springer. С. 197–219. MR 2179279.

Внешние ссылки