Матрица датчиков

A Матрица датчиков - это группа датчиков, обычно развертываемых по определенной геометрической схеме, используемых для сбора и обработки электромагнитных или акустических сигналов. сигналы. Преимущество использования массива датчиков перед использованием одного датчика заключается в том, что массив добавляет новые измерения к наблюдению, помогая оценить больше параметров и повысить эффективность оценки. Например, массив элементов радиоантенны, используемых для формирования диаграммы направленности, может увеличивать усиление антенны в направлении сигнала, одновременно уменьшая усиление в других направлениях, т. Е. Увеличивая отношение сигнал / шум (SNR ) путем когерентного усиления сигнала. Другой пример применения матрицы датчиков - оценить направление прихода падающих электромагнитных волн. Соответствующий метод обработки называется обработка сигнала массива . Примеры применения обработки сигналов массива включают радар / гидролокатор, беспроводную связь, сейсмологию, мониторинг состояния машин, астрономические наблюдения диагностику неисправностей и т. Д..

Используя обработку сигналов массива, можно оценить и выявить временные и пространственные свойства (или параметры) падающих сигналов, которым мешает шум и которые скрыты в данных, собранных массивом датчиков. Это известно как оценка параметров.

Рисунок 1: Линейная решетка и угол падения

• 1 Плоская волна, формирование диаграммы направленности во временной области
• 2 Конструкция решетки
• 3 Типы матриц датчиков
  • 3.1 Антенная решетка
  • 3.2 Акустические решетки
  • 3.3 Другие решетки
• 4 Формирование луча с задержкой и суммой
• 5 Формирование луча на основе спектра
  • 5.1 Обычный формирователь луча (Бартлетта)
  • 5.2 MVDR (Capon) формирователь луча
  • 5.3 формирователь луча MUSIC
  • 5.4 формирователь луча SAMV
• 6 Параметрические формирователи луча
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная информация

Рисунок 1 иллюстрирует шестиэлементный однородный линейный массив (ULA). В этом примере предполагается, что матрица датчиков находится в дальнем поле источника сигнала, так что его можно рассматривать как плоскую волну.

Оценка параметров использует тот факт, что расстояние от источника до каждой антенны в решетке разное, что означает, что входные данные на каждой антенне будут сдвинутыми по фазе копиями друг друга. Уравнение (1) показывает расчет дополнительного времени, необходимого для достижения каждой антенны в решетке относительно первой, где c - скорость волны.

$\Delta \; ti\; =\; (i\; -\; 1)\; d\; cos\; \; \theta \; c,\; i\; =\; 1,\; 2,...,\; M\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; t\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(i-1)\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{c\}\},\; i\; =\; 1,2,...,\; M\; \backslash \; \backslash \; (1)\}$

Каждый датчик связан с разной задержкой. Задержки небольшие, но не тривиальные. В частотной области они отображаются как фазовый сдвиг сигналов, принимаемых датчиками. Задержки тесно связаны с углом падения и геометрией матрицы датчиков. Учитывая геометрию решетки, задержки или разности фаз можно использовать для оценки угла падения. Уравнение (1) является математической основой обработки сигналов массива. Простое суммирование сигналов, полученных датчиками, и вычисление среднего значения дает результат

$y\; =\; 1\; M\; \sum \; i\; =\; 1\; M\; xi\; (t\; -\; \Delta \; ti)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{M\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{M\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; (t-\; \backslash \; Delta\; t\_\; \{i\})\}$.

Поскольку принятые сигналы не совпадают по фазе, это среднее значение не дают усиленного сигнала по сравнению с исходным источником. Эвристически, если мы можем найти задержки каждого из полученных сигналов и удалить их до суммирования, среднее значение

$y\; =\; 1\; M\; \sum \; i\; =\; 1\; M\; xi\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{M\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{M\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; (t)\}$

приведет к усилению сигнала. Процесс сдвига во времени сигналов с использованием хорошо подобранного набора задержек для каждого канала матрицы датчиков, так что сигнал добавляется конструктивно, называется формированием луча. В дополнение к подходу с задержкой и суммой, описанному выше, существует ряд спектральных (непараметрических) подходов и параметрических подходов, которые улучшают различные показатели производительности. Эти алгоритмы формирования луча кратко описаны ниже.

Матрицы датчиков имеют различную геометрическую конструкцию, включая линейные, круговые, плоские, цилиндрические и сферические матрицы. Существуют матрицы датчиков с произвольной конфигурацией массивов, которые требуют более сложных методов обработки сигналов для оценки параметров. В однородной линейной решетке (ULA) фаза входящего сигнала $\omega \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; tau\}$должна быть ограничена $\pm \; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; \backslash \; pi\}$, чтобы избежать решетчатых волн. Это означает, что для угла прихода $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$в интервале $[-\; \pi \; 2,\; \pi \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\; 2\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}]\}$расстояние между датчиками должно быть меньше половины длины волны $d\; \le \; \lambda \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; leq\; \backslash \; lambda\; /\; 2\; \}$. Однако ширина главного луча, то есть разрешение или направленность массива, определяется длиной массива по сравнению с длиной волны. Для получения приличного разрешения по направлению длина массива должна быть в несколько раз больше, чем длина радиоволн.

Антенная решетка

• Антенная решетка (электромагнитная), геометрическое расположение антенных элементов с намеренным соотношением между их токами, образующее единую антенну, обычно достичь желаемой диаграммы направленности
• Направленная решетка, антенная решетка, оптимизированная для направленности
• Фазированная решетка, антенная решетка, в которой фазовые сдвиги (и амплитуды), применяемые к элементам, изменяются электронным способом, обычно в для управления диаграммой направленности антенной системы без использования движущихся частей
• интеллектуальная антенна, фазированная решетка, в которой процессор сигналов вычисляет фазовые сдвиги для оптимизации приема и / или передачи на приемник на лету, например как это делают вышки сотовой связи
• Цифровая антенная решетка, это интеллектуальная антенна с многоканальным цифровым формированием диаграммы направленности, обычно с использованием БПФ.
• Интерферометрическая решетка радиотелескопов или оптические телескопы, используемые для достижения высоких разрешение за счет интерферометрической корреляции
• антенная решетка Уотсона-Ватта / Адкока, с использованием метода Уотсона-Ватта, при котором две пары антенн Адкока используются для сравнения амплитуд входящего сигнала

Акустические решетки

• микрофонная решетка используется в акустических измерениях и формировании луча
• массив громкоговорителей используется в акустических измерениях и формировании луча

Другие массивы

• массив геофонов используются в сейсмологии с отражением
• массив сонаров - это набор гидрофонов, используемых при подводной съемке.

Если к записанному сигналу каждого микрофона добавляется временная задержка, равная задержке, вызванной Из-за дополнительного времени прохождения сигналы будут идеально синхронизированы друг с другом. Суммирование этих синфазных сигналов приведет к конструктивной интерференции, которая усилит отношение сигнал / шум на количество антенн в решетке. Это известно как формирование диаграммы направленности с задержкой и суммированием. Для оценки направления прибытия (DOA) можно итеративно тестировать временные задержки для всех возможных направлений. Если предположение неверно, сигнал будет подвергаться деструктивным помехам, что приведет к уменьшению выходного сигнала, но правильное предположение приведет к усилению сигнала, описанному выше.

Проблема заключается в том, как до оценки угла падения можно узнать временную задержку, которая «равна» и противоположна задержке, вызванной дополнительным временем прохождения? Это невозможно. Решение состоит в том, чтобы попробовать серию углов $\theta \; ^\; \in \; [0,\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; in\; [0,\; \backslash \; pi]\}$с достаточно высоким разрешением, и вычислить результирующий средний выходной сигнал массива, используя уравнение. (3). Пробный угол, который максимизирует средний выходной сигнал, является оценкой DOA, заданной формирователем луча с задержкой и суммой. Добавление противоположной задержки к входным сигналам эквивалентно физическому вращению матрицы датчиков. Следовательно, это также известно как управление лучом .

Задержка и суммарное формирование луча - это подход во временной области. Его просто реализовать, но он может плохо оценить направление прибытия (DOA). Решением этого является подход в частотной области. Преобразование Фурье преобразует сигнал из временной области в частотную. Это преобразует временную задержку между соседними датчиками в фазовый сдвиг. Таким образом, выходной вектор массива в любой момент времени t может быть обозначен как $x\; (t)\; =\; x\; 1\; (t)\; [1\; e\; -\; j\; \omega \; \Delta \; t\; \cdots \; e\; -\; j\; \omega \; (M\; -\; 1)\; \Delta \; t]\; T\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; (t)\; =\; x\_\; \{1\}\; (t)\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; \backslash \; Delta\; t\}\; \backslash \; cdots\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; (M-\; 1)\; \backslash \; Delta\; t\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\}\}$, где $x\; 1\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; (t)\}$обозначает сигнал, полученный первым датчиком. Алгоритмы формирования диаграммы направленности в частотной области используют матрицу пространственной ковариации, представленную как $R\; =\; E\; \{x\; (t)\; x\; T\; (t)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\; =\; E\; \backslash \; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; (t)\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; ^\; \{T\}\; (t)\; \backslash \}\}$. Эта матрица M на M несет пространственную и спектральную информацию о входящих сигналах. Предполагая гауссовский белый шум с нулевым средним, базовая модель пространственной ковариационной матрицы определяется как

$R\; =\; VSVH\; +\; \sigma \; 2\; I\; (4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\; =\; \{\; \backslash \; boldsymbol\; \{V\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{V\}\}\; ^\; \{H\}\; +\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\; \backslash \; \backslash \; (4)\}$

где $\sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$- дисперсия белого шума, $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\}\}$- это единичная матрица и $V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{V\}\}\}$вектор многообразия массивов $V\; =\; [v\; 1\; \cdots \; vk]\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{V\}\; \}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\}\}$с $vi\; =\; [1\; e\; -\; j\; \omega \; \Delta \; ti\; \cdots \; e\; -\; j\; \omega \; (M\; -\; 1)\; \Delta \; ti]\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; \backslash \; Delta\; t\_\; \{i\}\}\; \backslash \; cdots\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; (M-1)\; \backslash \; Delta\; t\_\; \{i\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{T\}\}$. Эта модель имеет центральное значение в алгоритмах формирования диаграммы направленности в частотной области.

Некоторые подходы к формированию диаграммы направленности на основе спектра перечислены ниже.

Традиционный формирователь луча (Бартлетта)

Формирователь луча Бартлетта является естественным продолжением обычного спектрального анализа (спектрограмма ) для матрицы датчиков. Его спектральная мощность представлена ​​как

$P\; ^\; B\; artlett\; (\theta )\; =\; v\; HR\; v\; (5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \_\; \{Bartlett\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; ^\; \{H\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; \backslash \; \backslash \; (5)\}$.

Угол, который максимизирует эту мощность, является оценкой угла прихода.

формирователь луча MVDR (Capon)

формирователь луча с минимальной дисперсией без искажений, также известный как алгоритм формирования луча Кейпона, имеет мощность, задаваемую

$P\; ^\; C\; apon\; (\theta )\; =\; 1\; v\; HR\; -\; 1\; v\; (6)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \_\; \{Capon\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\; ^\; \{H\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\; \}\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; (6)\}$.

Хотя формирователь луча MVDR / Capon может обеспечить лучшее разрешение, чем традиционный подход (Бартлетт), но этот алгоритм имеет более высокую сложность из-за обращение матрицы полного ранга. Технические достижения в вычислениях на графических процессорах начали сокращать этот пробел и сделать возможным формирование луча по Кейпону в реальном времени.

MUSIC beamformer

MUSIC (MUltiple SIgnal Classification ) Алгоритм формирования диаграммы направленности начинается с разложения ковариационной матрицы в соответствии с формулой. (4) как для сигнальной, так и для шумовой части. Собственное разложение представлено следующим образом:

$R\; =\; U\; s\; \Lambda \; s\; U\; s\; H\; +\; U\; n\; \Lambda \; n\; U\; n\; H\; (7)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{U\}\}\; \_\; \{s\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Lambda\}\}\; \_\; \{s\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{U\}\}\; \_\; \{s\}\; ^\; \{H\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{U\}\}\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Lambda\}\}\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{U\}\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{H\}\; \backslash \; \backslash \; (7)\}$.

МУЗЫКА использует подпространство шума пространственной ковариационной матрицы в знаменателе алгоритма Кейпона

$P\; ^\; МУЗЫКА\; (\theta )\; =\; 1\; v\; HU\; n\; U\; N\; ЧАС\; v\; (8)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \_\; \{MUSIC\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\; \}\; ^\; \{H\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{U\}\}\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{U\}\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{H\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; (8)\}$.

Следовательно Формирователь луча MUSIC также известен как формирователь луча подпространства. По сравнению с формирователем луча Capon, он дает гораздо лучшую оценку DOA.

Формирователь луча SAMV

Алгоритм формирования луча SAMV - это алгоритм, основанный на восстановлении разреженного сигнала, который явно использует инвариантную во времени статистическую характеристику ковариационной матрицы. Он обеспечивает сверхразрешение и устойчив к сильно коррелированным сигналам.

Одним из основных преимуществ формирователей луча на основе спектра является меньшая вычислительная сложность, но они могут не давать точной оценки DOA, если сигналы коррелированы или когерентны. Альтернативный подход - параметрические формирователи луча, также известные как формирователи луча с максимальным правдоподобием (ML). Одним из примеров метода максимального правдоподобия, обычно используемого в инженерии, является метод наименьших квадратов. В подходе наименьших квадратов используется квадратичная функция штрафа. Чтобы получить минимальное значение (или наименьшую квадратичную ошибку) квадратичной штрафной функции (или целевой функции ), возьмите ее производную (которая является линейной), положите ее равной нулю и решите систему линейных уравнений.

В формирователях луча ML функция квадратичного штрафа используется для пространственной ковариационной матрицы и модели сигнала. Одним из примеров штрафной функции формирователя луча ML является

$LML\; (\theta )\; =\; \Vert \; R\; ^\; -\; R\; \Vert \; F\; 2\; =\; \Vert \; R\; ^\; -\; (VSVH\; +\; \sigma \; 2\; I)\; \Vert \; F\; 2\; (9)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{ML\}\; (\; \backslash \; theta)\; =\; \backslash \; |\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\; \backslash \; |\; \_\; \{F\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; |\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\}\; -\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{V\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{V\}\}\; ^\; \{H\}\; +\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{I\}\})\; \backslash \; |\; \_\; \{F\}\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; \backslash \; (9)\}$,

где $\Vert \; \cdot \; \Vert \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; \_\; \{F\}\}$- норма Фробениуса. Это можно увидеть в формуле. (4) что штрафная функция уравнения. (9) минимизируется путем максимально точного приближения модели сигнала к выборочной ковариационной матрице. Другими словами, формирователь диаграммы направленности с максимальной вероятностью должен найти DOA $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, независимую переменную матрицы $V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{V\}\}\}$, так что функция штрафа в уравнении. (9) минимизируется. На практике штрафная функция может выглядеть по-разному в зависимости от модели сигнала и шума. По этой причине существует две основные категории формирователей луча максимального правдоподобия: детерминированные формирователи луча ML и стохастические формирователи луча ML, соответствующие детерминированной и стохастической модели соответственно.

Другая идея изменить предыдущее уравнение штрафа - это рассмотрение упрощения минимизации путем дифференцирования функции штрафа. Чтобы упростить алгоритм оптимизации, в некоторых формирователях луча ML могут использоваться логарифмические операции и функция плотности вероятности (PDF) наблюдений.

Задача оптимизации решается путем нахождения корней производной функции штрафа после приравнивания ее к нулю. Поскольку уравнение является нелинейным, обычно используется метод численного поиска, такой как метод Ньютона – Рафсона. Метод Ньютона – Рафсона - это метод итеративного корневого поиска с итерацией

$xn\; +\; 1\; =\; xn\; -\; f\; (xn)\; f\; \prime \; (xn)\; (10)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; x\_\; \{n\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\_\; \{n\})\}\; \{f\; \text{'}(x\_\; \{n\})\}\}\; \backslash \; \backslash \; (10)\}$.

Поиск начинается с первоначального предположения $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\; \}\}$. Если метод поиска Ньютона-Рафсона используется для минимизации штрафной функции формирования луча, результирующий формирователь луча называется формирователем луча Newton ML. Несколько хорошо известных формирователей луча ML описаны ниже без предоставления дополнительных деталей из-за сложности выражений.

Детерминированный формирователь луча максимального правдоподобия

В детерминированном формирователе луча максимального правдоподобия (DML ) шум моделируется как стационарный гауссовский белый случайный процесс, в то время как форма сигнала сигнала как детерминированная (но произвольная) и неизвестно.

Стохастический формирователь луча максимального правдоподобия

В стохастическом формирователе луча максимального правдоподобия (SML ) шум моделируется как стационарные гауссовские белые случайные процессы (такие же, как в DML), тогда как сигнал

Метод оценки направления

Метод оценки направления (MODE ) - это подпространственный формирователь луча максимального правдоподобия, так же как MUSIC - это формирователь луча на основе подпространственного спектра. Формирование диаграммы направленности подпространства ML получается посредством собственного разложения выборочной ковариационной матрицы.

• H. Л. Ван Трез, «Оптимальная обработка массива - Часть IV теории обнаружения, оценки и модуляции», Джон Вили, 2002
• H. Крим и М. Виберг, «Два десятилетия исследований в области обработки сигналов массива», IEEE Transactions on Signal Processing Magazine, июль 1996 г.
• S. Хайкин, Эд., «Обработка сигналов массива», Иглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1985
• S. У. Пиллаи, «Обработка сигналов массива», Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1989
• P. Стойка и Р. Мозес, «Введение в спектральный анализ», Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, США, 1997. доступен для загрузки.
• Дж. Ли и П. Стойка, «Робастное адаптивное формирование луча», Джон Уайли, 2006.
• J. Кадзов, «Расположение нескольких источников - подход подпространства сигнала», IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. 38, No. 7, июль 1990 г.
• G. Бьенвену и Л. Копп, «Оптимальность обработки массива с высоким разрешением с использованием подхода собственной системы», IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process, Vol. ASSP-31, стр. 1234–1248, октябрь 1983 г.
• I. Зискинд и М. Вакс, «Максимальное правдоподобие локализации нескольких источников с помощью попеременной проекции», IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process, Vol. ASSP-36, стр. 1553–1560, октябрь 1988 г.
• Б. Оттерстен, М. Верберг, П. Стойка и А. Нехораи, «Методы максимального правдоподобия с использованием точных и больших выборок для оценки и обнаружения параметров при обработке массива», Radar Array Processing, Springer-Verlag, Berlin, pp. 99–151, 1993
• М. Виберг, Б. Оттерстен и Т. Кайлат, «Обнаружение и оценка в массивах датчиков с использованием взвешенной аппроксимации подпространства», IEEE Transactions on Signal Processing, vol. СП-39, стр. 2346–2449, ноябрь 1991 г.
• М. Федер и Э. Вайнштейн, «Оценка параметров наложенных сигналов с использованием алгоритма EM», IEEE Transactions on Acoustic, Speech and Signal Proceeding, том ASSP-36, стр. 447–489, апрель 1988 г.
• Y. Бреслер и Маковски, «Точная оценка параметра максимального правдоподобия наложенных экспоненциальных сигналов в шуме», IEEE Transactions on Acoustic, Speech and Signal Proceeding, том ASSP-34, стр. 1081–1089, октябрь 1986 г.
• R. О. Шмидт, «Новые математические инструменты в пеленгации и спектральном анализе», Труды 27-го ежегодного симпозиума SPIE, Сан-Диего, Калифорния, август 1983 г.