Вращающиеся сферы

редактировать

Аргумент вращающихся сфер Исаака Ньютона пытается продемонстрировать истинное вращательное движение можно определить, наблюдая за натяжением струны, соединяющей две одинаковые сферы. Основа аргумента заключается в том, что все наблюдатели делают два наблюдения: натяжение струны, соединяющей тела (которая одинакова для всех наблюдателей), и скорость вращения сфер (которая отличается для наблюдателей с разными скоростями вращения).. Только для действительно невращающегося наблюдателя натяжение струны может быть объяснено с использованием только наблюдаемой скорости вращения. Для всех остальных наблюдателей требуется «поправка» (центробежная сила), учитывающая, что рассчитанное натяжение отличается от ожидаемого с использованием наблюдаемой скорости вращения. Это один из пяти аргументов из «свойств, причин и следствий» истинного движения и покоя, которые подтверждают его утверждение о том, что, в общем, истинное движение и покой не могут быть определены как особые случаи движения или покоя. относительно других тел, но вместо этого может быть определено только ссылкой на абсолютное пространство. В качестве альтернативы, эти эксперименты предоставляют рабочее определение того, что подразумевается под «абсолютным вращением », и не претендуют на решение вопроса «вращения относительно чего?» Общие теория относительности не требует абсолютного пространства и физики, причина которой является внешней по отношению к системе, с концепцией геодезических пространства-времени.

Содержание

1 Предпосылки
2 Формулировка аргумент
- 2.1 Инерциальная рамка
  - 2.1.1 Вращающаяся рамка
  - 2.1.2 Сила Кориолиса
  - 2.1.3 Общий случай
    - 2.1.3.1 Является ли фиктивная сила произвольной?
3 Вращение и космическое фоновое излучение
4 См. также
5 Ссылки и примечания

Предпосылки

Ньютон был озабочен проблемой того, как мы можем экспериментально определять истинные движения тел в свете о том, что абсолютное пространство не может быть воспринято. Такое определение, по его словам, может быть достигнуто путем наблюдения за причинами движения (то есть силами), а не просто за кажущимся движением тел относительно друг друга (как в аргументе ведро ). В качестве примера, где можно увидеть причины, если два глобуса, плавающие в пространстве, соединены шнуром, измеряющим величину натяжения в шнуре, без каких-либо других ключей для оценки ситуации, одного достаточно, чтобы указать, насколько быстро два объекта вращаются вокруг общего центра масс. (Этот эксперимент включает наблюдение силы, напряжения). Кроме того, направление вращения - будь то по часовой стрелке или против часовой стрелки - можно обнаружить, приложив силы к противоположным сторонам шаров и выяснив, приводит ли это к увеличению или уменьшению натяжения шнура. (снова с участием силы). В качестве альтернативы, направление вращения может быть определено путем измерения кажущегося движения глобусов относительно фоновой системы тел, которые, согласно предыдущим методам, уже были установлены как не находящиеся в состоянии вращения, как пример из Время Ньютона, неподвижные звезды.

В переводе Эндрю Моттом 1846 года слов Ньютона:

У нас есть некоторые аргументы, которые могут направить нас, частично из очевидных движений, которые являются отличиями от истинных движений; частично из сил, которые являются причинами и следствиями истинных движений. Например, если два шара, удерживаемые на определенном расстоянии друг от друга, с помощью соединяющего их шнура, вращались вокруг их общего центра тяжести; по натяжению шнура мы могли бы обнаружить стремление шаров отклониться от оси своего движения.... И таким образом мы могли бы найти как количество, так и определение этого кругового движения даже в огромном вакууме, где не было ничего внешнего или ощутимого, с чем можно было бы сравнить шары.

— Исаак Ньютон, Начала, Книга 1, Scholium

Чтобы резюмировать это предложение, вот цитата Борна:

Если бы Земля была в покое, и если бы, вместо этого, вся звездная система повернулась бы в противоположном смысле один раз вокруг Земли за двадцать лет. четыре часа, затем, согласно Ньютону, центробежные силы [в настоящее время приписываемые вращению Земли] не возникнут.

— Макс Борн: Теория относительности Эйнштейна, стр. 81-82

Мах не согласился с этим аргументом, указывая на то, что эксперимент с вращающейся сферой никогда не может быть проведен в пустой Вселенной, где, возможно, не действуют законы Ньютона, поэтому эксперимент действительно показывает только то, что происходит, когда сферы вращаются в нашей Вселенной, и поэтому, например, может указывать только вращение относительно всей массы универсума д.

Для меня существуют только относительные движения... Когда тело вращается относительно неподвижных звезд, возникают центробежные силы; когда он вращается относительно другого тела, а не относительно неподвижных звезд, центробежные силы не возникают.

— Эрнст Мах; цитируется Чуфолини и Уилером : Gravitation and Inertia, p. 387

Интерпретация, позволяющая избежать этого конфликта, заключается в том, что эксперимент с вращающимися сферами на самом деле не определяет вращение относительно чего-либо конкретного (например, абсолютного пространства или неподвижных звезд); скорее, эксперимент - это рабочее определение того, что подразумевается под движением, называемым абсолютным вращением.

Рисунок 1: Две сферы, связанные веревкой и вращающиеся с угловой скоростью ω. Из-за вращения струна, связывающая сферы вместе, находится под натяжением.

Рис. 2: Покомпонентное изображение вращающихся сфер в инерциальной системе отсчета, показывающее центростремительные силы на сферы, создаваемые натяжением связывающей струны.

Формулировка аргумента

Этот пример сферы был использован самим Ньютоном для обсуждения обнаружения вращения относительно абсолютного пространства. Проверка фиктивной силы, необходимой для учета натяжения струны, - это один из способов для наблюдателя решить, вращаются они или нет - если фиктивная сила равна нулю, они не вращаются. (Конечно, в крайнем случае, таком как аттракцион гравитрон, вам не нужно сильно убеждать, что вы вращаетесь, но, стоя на поверхности Земли, дело обстоит более тонко.) Ниже приведены математические детали. позади этого наблюдения представлены.

На рисунке 1 показаны две идентичные сферы, вращающиеся вокруг центра соединяющей их струны. Ось вращения отображается как вектор Ω с направлением, заданным правилом правой руки , и величиной, равной скорости вращения: | Ω | = ω. Угловая скорость ω вращения предполагается независимой от времени (равномерное круговое движение ). Из-за вращения струна натянута. (См. реактивная центробежная сила.) Далее описание этой системы представлено с точки зрения инерциальной системы отсчета и вращающейся системы отсчета.

Инерционный кадр

Принять инерционный кадр с центром в средней точке строки. Шары движутся по кругу вокруг начала нашей системы координат. Сначала посмотрите на один из двух шаров. Чтобы двигаться по круговой траектории, которая не является равномерным движением с постоянной скоростью, а является круговым движением с постоянной скоростью, требуется сила, действующая на шар, чтобы непрерывно изменять направление его скорости. Эта сила направлена внутрь по направлению струны и называется центростремительной силой. Другой шар имеет те же требования, но для того, чтобы быть на противоположном конце струны, требуется центростремительная сила того же размера, но противоположная по направлению. См. Рис. 2. Эти две силы создаются струной, заставляя струну натягиваться, что также показано на рис. 2.

Вращающаяся рамка

Установите вращающуюся рамку в средней точке струны. Предположим, что рамка вращается с той же угловой скоростью, что и шары, поэтому шары кажутся неподвижными в этой вращающейся рамке. Поскольку шары не двигаются, наблюдатели говорят, что они неподвижны. Если бы они теперь применили закон инерции Ньютона, они бы сказали, что на шары не действует сила, поэтому струну следует расслабить. Однако они ясно видят, что струна натянута. (Например, они могут разделить струну и поместить в ее центр пружину, которая растянется.) Чтобы учесть это натяжение, они предполагают, что в их раме центробежная сила действует на два шара, разрывая их. Эта сила возникает из ниоткуда - это просто «факт жизни» в этом вращающемся мире, и она действует на все, что они наблюдают, а не только на эти сферы. Сопротивляясь этой повсеместной центробежной силе, струна подвергается натяжению, учитывая их наблюдение, несмотря на то, что сферы находятся в покое.

Сила Кориолиса

Что делать, если сферы не вращаются в инерциальной системе отсчета (натяжение струны нулевое)? Тогда натяжение струны во вращающейся раме также равно нулю. но как это может быть? Сферы во вращающейся рамке теперь кажутся вращающимися, и для этого требуется внутренняя сила. Согласно анализу равномерного кругового движения :

F центростремительный = - m Ω × (Ω × x B) {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {centripetal}} = - m \ mathbf {\ Омега \ \ times} \ влево (\ mathbf {\ Omega \ times x_ {B}} \ right) \}

{\ mathbf {F}} _ {{{\ mathrm {центростремительный} }}} = - m {\ mathbf {\ Omega \ \ times}} \ left ({\ mathbf {\ Omega \ times x_ {B}}} \ right) \

= - m ω 2 R u R, {\ displaystyle = -m \ omega ^ {2} R \ \ mathbf {u} _ {R} \,}

= -m \ omega ^ {2} R \ {\ mathbf {u}} _ {R} \,

где uR- единичный вектор, указывающий от оси вращения на одну из сфер, а Ω - вектор, представляющий угловой вращения, с величиной ω и направлением, нормальным к плоскости вращения, заданным правилом правой руки , m - масса мяча, а R - расстояние от оси вращение к сферам (величина вектора смещения, | xB| = R, определяющая положение одной или другой сфер). По мнению вращающегося наблюдателя, не должно ли натяжение струны быть вдвое больше, чем раньше (натяжение от центробежной силы плюс дополнительное натяжение, необходимое для обеспечения центростремительной силы вращения)? Причина, по которой вращающийся наблюдатель видит нулевое напряжение, связана с еще одной фиктивной силой во вращающемся мире, силой Кориолиса, которая зависит от скорости движущегося объекта. В этом случае нулевого натяжения, согласно вращающемуся наблюдателю, сферы теперь движутся, и активируется сила Кориолиса (которая зависит от скорости). Согласно статье фиктивная сила, сила Кориолиса составляет:

F fict = - 2 м Ом × v B {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = - 2 м {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {B} \}

{\ mathbf {F}} _ {{{\ mathrm {fict}}}} = - 2 м { \ boldsymbol \ Omega} \ times {\ mathbf {v}} _ {{B}} \

= - 2 м ω (ω R) u R, {\ displaystyle = -2m \ omega \ left (\ omega R \ right) \ \ mathbf {u} _ {R},}

= -2m \ omega \ left (\ omega R \ right) \ {\ mathbf {u}} _ {R},

где R - расстояние до объекта от центра вращения, а vB- скорость объекта, подверженного действию силы Кориолиса, | vB| = ωR.

В геометрии этого примера эта сила Кориолиса имеет удвоенную величину повсеместной центробежной силы и строго противоположна по направлению. Следовательно, он компенсирует вездесущую центробежную силу, обнаруженную в первом примере, и идет еще дальше, чтобы обеспечить точно центростремительную силу, требуемую для равномерного кругового движения, поэтому вращающийся наблюдатель вычисляет, что натяжение струны не требуется - сила Кориолиса заботится обо всем.

Общий случай

Что произойдет, если сферы вращаются с одной угловой скоростью, скажем, ω I (I = инерциальный), а рамка вращается с другой скоростью ω R (R = вращательное)? Инерционные наблюдатели видят круговое движение, и натяжение струны оказывает центростремительную направленную внутрь силу на сферы:

T = - m ω I 2 R u R. {\ displaystyle \ mathbf {T} = -m \ omega _ {I} ^ {2} R \ mathbf {u} _ {R} \.}

{\ mathbf {T}} = - m \ omega _ {I} ^ {2} R {\ mathbf {u}} _ {R} \.

Эта сила также является силой, возникающей из-за напряжения, наблюдаемого вращающимся наблюдатели. Вращающиеся наблюдатели видят сферы в круговом движении с угловой скоростью ω S = ω I - ω R (S = сферы). То есть, если рамка вращается медленнее, чем сферы, ω S>0 и сферы движутся против часовой стрелки по окружности, тогда как для более быстро движущейся системы координат ω S< 0, and the spheres appear to retreat clockwise around a circle. In either case, the rotating observers see circular motion and require a net inward centripetal force:

FC энтрипетал = - m ω S 2 R u R. {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Centripetal}} = - m \ omega _ {S} ^ {2} R \ mathbf {u} _ {R} \.}

{\ mathbf {F} } _ {{{\ mathrm {Centripetal}}}} = - m \ omega _ {S} ^ {2} R {\ mathbf {u}} _ {R} \.

Однако эта сила не натяжение струны. Таким образом, наблюдатели вращения заключают, что существует сила (которую инерционные наблюдатели называют фиктивной силой), так что:

FC entripetal = T + FF ict, {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Centripetal}} = \ mathbf {T} + \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Fict}} \,}

{\ mathbf {F}} _ {{{\ mathrm {Centripetal}}}} = { \ mathbf {T}} + {\ mathbf {F}} _ {{{\ mathrm {Fict}}}} \,

или,

FF ict = - m (ω S 2 R - ω I 2 R) u R. {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Fict}} = - m \ left (\ omega _ {S} ^ {2} R- \ omega _ {I} ^ {2} R \ right) \ mathbf {u} _ {R} \.}

{\ mathbf {F}} _ {{{\ mathrm {Fic t}}}} = - m \ left (\ omega _ {S} ^ {2} R- \ omega _ {I} ^ {2} R \ right) {\ mathbf {u}} _ {R} \.

Фиктивная сила меняет знак в зависимости от того, какое из ω I и ω S больше. Причина смены знака в том, что когда ω I>ωS, сферы действительно движутся быстрее, чем измеряют вращающиеся наблюдатели, поэтому они измеряют натяжение струны, которое на самом деле больше, чем они ожидают; следовательно, фиктивная сила должна увеличивать натяжение (указывать наружу). Когда ω I< ωS, все меняется на противоположное, поэтому фиктивная сила должна уменьшать натяжение и, следовательно, имеет противоположный знак (указывает внутрь).

Является ли фиктивная сила специальной?

Введение FFict позволяет наблюдателям вращения и инерциальным наблюдателям согласовывать натяжение струны. Однако мы можем спросить: «Соответствует ли это решение общему опыту работы с другими ситуациями, или это просто« выдуманное »специальное решение?» Ответ на этот вопрос можно получить, наблюдая, как это значение для FFict соотносится с общим результатом (полученным из Фиктивная сила ):

FF ict = - 2 м Ом × v B - м Ом × (Ом × x B) {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Fict}} = - 2m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {B} -m {\ boldsymbol {\ Omega} } \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B})}

{\ mathbf {F}} _ {{{\ mathrm {Fict}}}} = - 2m {\ boldsymbol \ Omega} \ times {\ mathbf {v}} _ {{B}} - m {\ boldsymbol \ Omega} \ times ({\ boldsymbol \ Omega} \ times {\ mathbf {x}} _ {B})

- md Ω dt × x B. {\ displaystyle \ -m {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \.}

\ -m {\ frac {d {\ boldsymbol \ Omega}} {dt}} \ times {\ mathbf {x}} _ {B} \.

Нижний индекс B относится к количествам, относящимся к неинерциальной системе координат. Полные обозначения приведены в Фиктивная сила. Для постоянной угловой скорости вращения последний член равен нулю. Чтобы оценить другие члены, нам нужно положение одной из сфер:

x B = R u R, {\ displaystyle \ mathbf {x } _ {B} = R \ mathbf {u} _ {R} \,}

{\ mathbf {x}} _ {B} = R {\ mathbf {u}} _ {R} \,

и скорость этой сферы во вращающейся рамке:

v B = ω SR u θ, {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {B} = \ omega _ {S} R \ mathbf {u} _ {\ theta} \,}

{\ mathbf {v}} _ {B} = \ омега _ {S} R {\ mathbf {u}} _ {{\ theta}} \,

где uθ- единичный вектор, перпендикулярный uR, указывающий в направлении движения.

Рамка вращается со скоростью ω R, поэтому вектор вращения равен Ω = ω Ruz(uzединичный вектор в направлении z), и Ом × u R= ω R(uz× uR) = ω Ruθ; Ом × u θ= −ω RuR. Тогда центробежная сила равна:

FC fgl = - m Ω × (Ω × x B) = m ω R 2 R u R, {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Cfgl}} = - m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B}) = m \ omega _ {R} ^ {2} R \ mathbf {u} _ {R} \,}

{\ mathbf {F}} _ {{\ mathrm {Cfgl}}} = - m {\ boldsymbol \ Omega} \ times ({\ boldsymbol \ Omega} \ times {\ mathbf {x}} _ {B}) = m \ omega _ {R} ^ {2} R {\ mathbf {u}} _ {R} \,

который, естественно, зависит только от скорости вращения кадра и всегда направлен наружу. Сила Кориолиса равна

FC или = - 2 м Ω × v B = 2 m ω S ω RR u R {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Cor}} = - 2m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {B} = 2m \ omega _ {S} \ omega _ {R} R \ mathbf {u} _ {R}}

{\ mathbf {F}} _ {{\ mathrm {Cor}}} = - 2 м {\ boldsymbol \ Omega} \ times {\ mathbf {v}} _ {{B}} = 2m \ omega _ {S} \ omega _ {R} R {\ mathbf {u}} _ {R}

и имеет возможность изменять знак, быть наружу, когда сферы движутся быстрее, чем рамка (ω S>0) и быть внутрь, когда сферы движутся медленнее, чем рамка (ω S< 0). Combining the terms:

FF ict = FC fgl + FC или {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Fict}} = \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Cfgl}} + \ mathbf {F} _ {\ mathrm {Cor}}}

{\ mathbf {F}} _ {{{\ mathrm {Fict}}}} = {\ mathbf {F}} _ {{\ mathrm {Cfgl}}} + {\ mathbf {F} } _ {{\ mathrm {Cor}}}

= (m ω R 2 Р + 2 м ω S ω RR) U R знак равно м ω р (ω R + 2 ω S) R U R {\ displaystyle = \ left (m \ omega _ {R} ^ {2} R + 2m \ omega _ {S} \ omega _ {R} R \ right) \ mathbf {u} _ {R} = m \ omega _ {R} \ left (\ omega _ {R} +2 \ omega _ {S} \ right) R \ mathbf {u} _ {R}}

= \ left ( m \ omega _ {R} ^ {2} R + 2m \ omega _ {S} \ omega _ {R} R \ right) {\ mathbf {u}} _ {R} = m \ omega _ {R} \ влево (\ omega _ {R} +2 \ omega _ {S} \ right) R {\ mathbf {u}} _ {R}

= m (ω I - ω S) (ω I + ω S) R u R = - m (ω S 2 - ω I 2) R u R. { \ Displaystyle = м (\ omega _ {I} - \ omega _ {S}) (\ omega _ {I} + \ omega _ {S}) \ R \ mathbf {u} _ {R} = - m \ left (\ omega _ {S} ^ {2} - \ omega _ {I} ^ {2} \ right) \ R \ mathbf {u} _ {R}.}

= m (\ omega _ {I} - \ omega _ {S}) (\ omega _ {I} + \ omega _ {S}) \ R {\ mathbf {u}} _ {R} = - m \ left (\ omega _ {S} ^ {2} - \ omega _ {I} ^ {2 } \ right) \ R {\ mathbf {u}} _ {R}.

Con Следовательно, фиктивная сила, найденная выше для этой проблемы вращающихся сфер, согласуется с общим результатом и не является специальным решением, просто «приготовленным» для достижения согласия для этого единственного примера. Более того, именно сила Кориолиса позволяет фиктивной силе менять знак в зависимости от того, какое из ω I, ω S больше, поскольку вклад центробежной силы всегда наружу.

Вращение и космическое фоновое излучение

Изотропия космического фонового излучения - еще один показатель того, что Вселенная не вращается.

См. Также

Ссылки и примечания