Приближение Рэлея – Ганса

Приближение Рэлея – Ганса, также известное как приближение Рэлея – Ганса – Дебая и Приближение Рэлея – Ганса – Борна, представляет собой приближенное решение рассеяния света оптически мягкими частицами. Оптическая мягкость означает, что относительный показатель преломления частицы близок к таковому у окружающей среды. Приближение справедливо для частиц произвольной формы, которые относительно малы, но могут превышать пределы рэлеевского рассеяния.

Теория была получена лордом Рэлеем в 1881 году и была применяется к однородным сферам, сферическим оболочкам, радиально неоднородным сферам и бесконечным цилиндрам. Питер Дебай внес свой вклад в теорию в 1881 году. Теория однородной сферы была заново выведена Ричардом Гансом в 1925 году. Приближение аналогично приближению Борна в квантовая механика.

• 1 Теория
• 2 Приложения
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Условия допустимости аппроксимации могут быть обозначены как:

$|\; п\; -\; 1\; |\; \ll \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n-1\; |\; \backslash \; ll\; 1\}$

$k\; d\; |\; п\; -\; 1\; |\; \ll \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; kd\; |\; n-1\; |\; \backslash \; ll\; 1\}$

$k\; \{\backslash \; textstyle\; k\}$- волновой вектор света ($k\; =\; 2\; \pi \; \lambda \; \{\backslash \; textstyle\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\}$), тогда как $d\; \{\backslash \; textstyle\; d\}$относится к линейному размеру частицы. $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- комплексный показатель преломления частицы. Первое условие позволяет упростить выражение поляризуемости материала в приведенном ниже выводе. Второе условие - это утверждение приближения Борна, то есть, что падающее поле не сильно изменяется в пределах одной частицы, так что каждый элемент объема считается освещенным с интенсивностью и фазой, определяемыми только его положение относительно падающей волны, на которое не влияет рассеяние от других элементов объема.

Частица разделена на элементы малого объема, которые рассматриваются как независимые рассеиватели Рэлея. Для падающего света с поляризацией s вклад амплитуды рассеяния от каждого элемента объема определяется как:

$d\; S\; 1\; (\theta ,\; \varphi )\; =\; i\; 3\; 4\; \pi \; k\; 3\; (N\; 2\; -\; 1\; N\; 2\; +\; 2)\; ei\; \delta \; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\_\; \{1\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; i\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; k\; ^\; \{3\}\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{n\; ^\; \{2\}\; +2\}\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; delta\}\; dV\}$

где $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$обозначает разность фаз, обусловленную каждым отдельным элементом, а дробная часть в скобках представляет собой электрическую поляризуемость, найденную из показателя преломления с использованием соотношения Клаузиуса – Моссотти.. При условии (n-1) << 1, this factor can be approximated as 2(n-1)/3. The phases $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$, влияющие на рассеяние от каждого элемента объема, зависят только от их положения относительно набегающей волны и направления рассеяния. Таким образом, интегрируя функцию амплитуды рассеяния, получаем:

$S\; 1\; (\theta ,\; \varphi )\; \approx \; i\; 2\; \pi \; k\; 3\; (n\; -\; 1)\; \int \; ei\; \delta \; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; k\; ^\; \{3\}\; (n-1)\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; delta\}\; dV\}$

, в котором только последний интеграл, описывающий мешающие фазы, вносящие вклад в направление рассеяния (θ, φ), еще предстоит решить в соответствии с конкретной геометрией рассеивателя. Называя V всем объемом рассеивающего объекта, по которому выполняется это интегрирование, можно записать этот параметр рассеяния для рассеяния с поляризацией электрического поля, перпендикулярной плоскости падения (s-поляризация), как

$S\; 1\; знак\; равно\; я\; 2\; \pi \; К\; 3\; (n\; -\; 1)\; VR\; (\theta ,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; k\; ^\; \{3\}\; (n-1)\; VR\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\}$

и для поляризации в плоскости падения (p-поляризация) как

$S\; 2\; =\; i\; 2\; \pi \; k\; 3\; (n\; -\; 1)\; VR\; (\theta ,\; \varphi )\; cos\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; k\; ^\; \{3\}\; (n-1)\; VR\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; cos\; \backslash \; theta\}$

где $R\; (\theta ,\; \varphi )\; \{\backslash \; textstyle\; R\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\}$обозначает «форм-фактор» рассеивателя:

$R\; (\theta ,\; \varphi )\; =\; 1\; V\; \int \; ei\; \delta \; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{V\}\}\; \backslash \; int\; \{\}\; \{\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; delta\}\; dV\}$

Чтобы найти только интенсивности мы можем определить P как квадрат величины форм-фактора:

$P\; (\theta ,\; \varphi )\; =\; (1\; V\; 2)\; |\; \int \; e\; i\; \delta \; d\; V\; |\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{V\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; delta\}\; dV\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\}$

Тогда интенсивность рассеянного излучения относительно интенсивности падающей волны для каждой поляризации может быть записана как:

$I\; 1\; /\; I\; 0\; =\; (k\; 4\; V\; 2\; 4\; \pi \; 2\; r\; 2)\; (N\; -\; 1)\; 2\; п\; (\theta ,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{1\}\; /\; I\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{4\}\; V\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\; \}\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; (n-1)\; ^\; \{2\}\; P\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\}$

$I\; 2\; /\; I\; 0\; =\; (k\; 4\; V\; 2\; 4\; \pi \; 2\; r\; 2)\; (\; п\; -\; 1)\; 2\; п\; (\theta ,\; \varphi )\; соз\; 2\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{2\}\; /\; I\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\; ^\; \{4\}\; V\; ^\; \{2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; (n-1)\; ^\; \{2\}\; P\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}$

где r - расстояние от рассеивателя до точка наблюдения. Согласно оптической теореме, сечение поглощения определяется как:

$C\; abs\; =\; 2\; k\; VI\; m\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{abs\}\; =\; 2kV\; \backslash \; mathbb\; \{Im\}\; (n)\}$

, который не зависит от поляризации.

Приближение Рэлея – Ганса применялось для расчета оптических сечений фрактальные агрегаты. Теория также была применена к анизотропным сферам для расчета наноструктурированного поликристаллического оксида алюминия и мутности биологических структур, таких как липидные везикулы и бактерии.

A нелинейная модель Рэлея-Ганса-Дебая была использована для исследования генерации второй гармоники в малахитовом зеленом молекулах адсорбированных на частицах полистирола.

• Рассеяние Ми
• Теория аномальной дифракции
• Дискретное дипольное приближение
• Теория Ганса