Purity (квантовая механика)

редактировать

В квантовой механике, и особенно в теории квантовой информации, чистота нормализованного квантового состояния - это скаляр, определяемый как

γ ≡ tr (ρ 2) {\ displaystyle \ gamma \, \ Equiv \, {\ t_dv {tr}} (\ rho ^ {2}) \,}

{\ displaystyle \ gamma \, \ Equiv \, {\ t_dv {tr}} (\ rho ^ {2}) \,}

где $ρ {\ displaystyle \ rho \,}$ $\ rho \,$ - это матрица плотности состояния. Чистота определяет меру квантовых состояний, предоставляя информацию о том, насколько состояние смешано.

Содержание

1 Математические свойства
2 Физический смысл
- 2.1 Геометрическое представление
3 Отношение к другим концепции
- 3.1 Линейная энтропия
- 3.2 Запутанность
- 3.3 Обратный коэффициент участия (IPR)
4 Проективность измерения
5 Ссылки

Математические свойства

Чистота нормализованное квантовое состояние удовлетворяет условиям $1 d ≤ γ ≤ 1 {\ displaystyle {\ frac {1} {d}} \ leq \ gamma \ leq 1 \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {d}} \ leq \ gamma \ leq 1 \,}$ , где $d {\ displaystyle d \,}$ $d \,$ - это измерение в гильбертовом пространстве, на котором определяется состояние. Верхняя граница получается по формулам $tr (ρ) = 1 {\ displaystyle tr (\ rho) = 1 \,}$ ${\ displaystyle tr (\ rho) = 1 \,}$ и $tr (ρ 2) ≤ tr (ρ) {\ displaystyle tr (\ rho ^ {2}) \ leq tr (\ rho) \,}$ ${\ displaystyle tr ( \ rho ^ {2}) \ leq tr (\ rho) \,}$ (см. trace ). Если $ρ {\ displaystyle \ rho \,}$ $\ rho \,$ - это проекция, описывающая чистое состояние, тогда выполняется $tr (ρ 2) = tr (ρ) = 1 {\ displaystyle tr (\ rho ^ {2}) = tr (\ rho) = 1 \,}$ ${\ displaystyle tr (\ rho ^ {2}) = tr (\ rho) = 1 \,}$ (см. Projection ). Нижняя граница получается из полностью смешанного состояния, представленного матрицей $1 d I d {\ displaystyle {\ frac {1} {d}} I_ {d} \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {d}} I_ {d} \,}$ .

Чистота кванта состояние сохраняется при унитарных преобразованиях, действующих на матрицу плотности в форме $ρ ↦ U ρ U † {\ displaystyle \ rho \ mapsto U \ rho U ^ {\ dagger } \,}$ ${\ displaystyle \ rho \ mapsto U \ rho U ^ {\ dagger} \,}$ , где $U {\ displaystyle U \,}$ ${\ displaystyle U \,}$ - унитарная матрица. В частности, он сохраняется с помощью оператора временной эволюции $U (t, t 0) = e - i ℏ H (t - t 0) {\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {{\ frac {-i} {\ hbar}} H (t-t_ {0})} \,}$ ${\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {{\ frac {-i} {\ hbar}} H (т-т_ {0})} \,}$ , где $H {\ displaystyle H \,}$ $H\,$ - оператор гамильтониана.

Физический смысл

Чистое квантовое состояние может быть представлено как один вектор $| ψ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ в гильбертовом пространстве. В формулировке матрицы плотности чистое состояние представлено матрицей $ρ p u r e = | ψ⟩ ⟨ψ | {\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {pure}} = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {pure}} = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}$ . Однако смешанное состояние не может быть представлено таким образом, и вместо этого оно представляется линейной комбинацией чистых состояний $ρ m i x e d = ∑ p i | ψ i⟩ ⟨ψ i | {\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {mixed}} = \ sum p_ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {mixed}} = \ sum p_ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |}$ , а $∑ pi = 1 {\ displaystyle \ sum p_ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum p_ {i} = 1}$ для нормализации. Параметр чистоты связан с коэффициентами: если только один коэффициент равен $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ , состояние чистое; иначе чистота измеряет, насколько их значения похожи. Действительно, чистота равна $1 d {\ displaystyle {\ frac {1} {d}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} { d}}}$ , когда состояние полностью смешано, т.е. $ρ полностью смешано = 1 d ∑ i = 1 d | ψ i⟩ ⟨ψ i | Знак равно 1 d я d {\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {полностью \ смешанный}} = {\ frac {1} {d}} \ sum _ {i = 1} ^ {d} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} | = {\ frac {1} {d}} I_ {d}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {полностью \ смешанный}} = {\ frac {1} {d}} \ sum _ {i = 1} ^ {d} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} | = {\ frac {1} {d} } I_ {d}}$ , где $| ψ я⟩ {\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ - ортонормированные векторы $d {\ displaystyle d}$ $d$ , составляющие базисное гильбертово пространство.

Геометрическое представление

На сфере Блоха чистые состояния представлены точкой на поверхности сферы, тогда как смешанные состояния представлены внутренней точкой. Таким образом, чистоту состояния можно представить как степень его близости к поверхности сферы. Например, полностью смешанное состояние отдельного кубита $1 2 I 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} I_ {2} \,}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} I_ {2} \,}$ представлено центром сфера, по симметрии.

Графическую интуицию чистоты можно получить, посмотрев на соотношение между матрицей плотности и сферой Блоха:

$ρ = 1 2 (I + a → ⋅ σ →) {\ displaystyle \ rho = { \ frac {1} {2}} \ left (I + {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}} \ right)}$ $\ rho = \ frac {1 } {2} \ left (I + \ vec {a} \ cdot \ vec {\ sigma} \ right)$ , где $a → {\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ vec {a}}$ - вектор, представляющий квантовое состояние (на или внутри сферы), а $σ → = (σ x, σ y, σ z) {\ displaystyle { \ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}$ - это матрицы Паули.

Поскольку матрицы Паули бесследно, он по-прежнему выполняется $tr (ρ) = 1 {\ displaystyle tr (\ rho) = 1}$ ${\ displaystyle tr (\ rho) = 1}$ .

Однако, используя $(a → ⋅ σ →) (b → ⋅ σ →) = (a → ⋅ b →) я + я (a → × b →) ⋅ σ → {\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) = ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}) \, I + i ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b }}) \ cdot {\ vec {\ sigma}}}$ $(\ vec {a} \ cdot \ vec {\ sigma}) (\ vec {b} \ cdot \ vec {\ sigma}) = (\ vec {a} \ cdot \ vec {b}) \, I + я (\ vec {a} \ times \ vec {b}) \ cdot \ vec {\ sigma}$ :

$ρ 2 = 1 2 [1 2 (1 + | a | 2) I + a → ⋅ σ →] {\ displaystyle \ rho ^ {2} = {\ frac {1} {2}} [{\ frac {1} {2}} (1+ | a | ^ {2}) I + {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}]}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {2} = {\ frac {1} {2}} [{\ frac {1} {2}} (1+ | a | ^ {2}) Я + {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}]}$ , следовательно, $t r (ρ 2) = 1 2 (1 + | а | 2) {\ displaystyle tr (\ rho ^ {2}) = {\ frac {1} {2}} (1+ | a | ^ {2})}$ ${\ displaystyle tr (\ rho ^ {2}) = {\ frac {1} {2}} (1+ | a | ^ {2})}$

Что согласуется с тем фактом, что указано только на сама сфера чистая (т.е. $| a | = 1 {\ displaystyle | a | = 1}$ ${\ displaystyle | a | = 1}$ ).

Отношение к другим концепциям

Линейная энтропия

Чистота тривиально связана с Линейной энтропией $SL {\ displaystyle S_ {L} \,}$ $S_ {L} \,$ состояния на

$γ = 1 - SL. {\ displaystyle \ gamma = 1-S_ {L} \,.}$ $\ gamma = 1-S_ { L} \,.$

запутанность

2- кубиты чистое состояние $| ψ⟩ AB ∈ HA ⊗ HB {\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {AB} \ in H_ {A} \ otimes H_ {B}}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {AB } \ в H_ {A} \ иногда H_ {B}}$ можно записать (используя разложение Шмидта ) как $| ψ⟩ A B = ∑ j λ j | j⟩ A | j⟩ B {\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {AB} = \ sum _ {j} \ lambda _ {j} | j \ rangle _ {A} | j \ rangle _ {B}}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {AB} = \ sum _ {j} \ lambda _ {j} | j \ rangle _ {A} | j \ rangle _ {B}}$ , где ${| j⟩ A}, {| j⟩ B} {\ displaystyle \ {| j \ rangle _ {A} \}, \ {| j \ rangle _ {B} \}}$ ${\ displaystyle \ {| j \ rangle _ {A} \}, \ {| j \ rangle _ {B} \}}$ являются основаниями $HA, HB { \ Displaystyle H_ {A}, H_ {B}}$ ${\ displaystyle H_ {A}, H_ {B}}$ соответственно и $∑ j λ j 2 = 1, λ j ≥ 0 {\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j } ^ {2} = 1, \ lambda _ {j} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} ^ {2} = 1, \ lambda _ {j } \ geq 0}$ . Его матрица плотности равна $ρ A B = ∑ i, j λ i λ j | i⟩ A ⟨j | A ⊗ | i⟩ B ⟨j | B {\ displaystyle \ rho ^ {AB} = \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} \ lambda _ {j} | i \ rangle _ {A} \ langle j | _ {A} \ otimes | i \ rangle _ {B} \ langle j | _ {B}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {AB} = \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} \ lambda _ {j} | i \ rangle _ {A} \ langle j | _ {A} \ otimes | i \ rangle _ {B} \ langle j | _ {B}}$ . Степень его запутанности связана с чистотой состояний его подсистем, $ρ A = t r B (ρ A B) = ∑ j λ j 2 | j⟩ A ⟨j | A {\ displaystyle \ rho ^ {A} = tr_ {B} (\ rho _ {AB}) = \ sum _ {j} \ lambda _ {j} ^ {2} | j \ rangle _ {A} \ langle j | _ {A}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {A} = tr_ {B} (\ rho _ {AB}) = \ sum _ {j} \ lambda _ {j} ^ {2} | j \ rangle _ {A} \ langle j | _ {A}}$ , и аналогично для $ρ B {\ displaystyle \ rho ^ {B}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {B}}$ (см. частичный след ). Если это начальное состояние разделимо (т.е. существует только один $λ j ≠ 0 {\ displaystyle \ lambda _ {j} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {j} \ neq 0}$ ), то $ρ A, ρ B { \ displaystyle \ rho ^ {A}, \ rho ^ {B}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {A}, \ rho ^ {B}}$ оба чистые. В противном случае это состояние запутано, и оба $ρ A, ρ B {\ displaystyle \ rho ^ {A}, \ rho ^ {B}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {A}, \ rho ^ {B}}$ смешаны. Например, если $| ψ⟩ A B = | Φ +⟩ знак равно 1 2 (| 0⟩ A ⊗ | 0⟩ B + | 1⟩ A ⊗ | 1⟩ B) {\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {AB} = | \ Phi ^ {+} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ { B})}$ ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle _ {AB} = | \ Phi ^ {+} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle _ {A} \ otimes | 0 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} \ otimes | 1 \ rangle _ {B})}$ , которое является максимально запутанным состоянием, тогда $ρ A, ρ B {\ displaystyle \ rho ^ {A}, \ rho ^ {B}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {A}, \ rho ^ {B}}$ являются оба полностью перемешаны.

Для состояний 2-кубитов (чистых или смешанных) число Шмидта (число коэффициентов Шмидта) не превышает 2. Использование этого и критерия Переса – Городецкого (для 2-кубитов) состояние запутано, если его частичное транспонирование имеет хотя бы одно отрицательное собственное значение. Используя указанные выше коэффициенты Шмидта, отрицательное собственное значение будет $- λ 0 λ 1 {\ displaystyle - \ lambda _ {0} \ lambda _ {1}}$ ${\ displaystyle - \ lambda _ {0 } \ lambda _ {1}}$ . отрицательность $N = - λ 0 λ 1 {\ displaystyle {\ mathcal {N}} = - \ lambda _ {0} \ lambda _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} = - \ lambda _ {0} \ lambda _ {1}}$ из это собственное значение также используется как мера запутанности - состояние более запутанное, поскольку это собственное значение более отрицательно (до $- 1 2 {\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}}}$ для состояний звонка ). Для состояния подсистемы $A {\ displaystyle A}$ $A$ (аналогично для $B {\ displaystyle B}$ $B$ ) он утверждает, что:

$ρ A = tr B (| ψ⟩ AB ⟨ψ | AB) = λ 0 2 | 0⟩ A ⟨0 | A + λ 1 2 | 1⟩ A ⟨1 | A {\ displaystyle \ rho ^ {A} = tr_ {B} (| \ psi \ rangle _ {AB} \ langle \ psi | _ {AB}) = \ lambda _ {0} ^ {2} | 0 \ rangle _ {A} \ langle 0 | _ {A} + \ lambda _ {1} ^ {2} | 1 \ rangle _ {A} \ langle 1 | _ {A}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {A} = tr_ {B} (| \ psi \ rangle _ {AB} \ langle \ psi | _ {AB}) = \ lambda _ {0 } ^ {2} | 0 \ rangle _ {A} \ langle 0 | _ {A} + \ lambda _ {1} ^ {2} | 1 \ rangle _ {A} \ langle 1 | _ {A}}$

И чистота $γ знак равно λ 0 4 + λ 1 4 знак равно (λ 0 2 + λ 1 2) 2 - 2 (λ 0 λ 1) 2 = 1-2 N 2 {\ displaystyle \ gamma = \ lambda _ {0} ^ {4 } + \ lambda _ {1} ^ {4} = (\ lambda _ {0} ^ {2} + \ lambda _ {1} ^ {2}) ^ {2} -2 (\ lambda _ {0} \ lambda _ {1}) ^ {2} = 1-2 {\ mathcal {N}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ lambda _ {0} ^ {4} + \ lambda _ {1} ^ {4} = (\ lambda _ {0} ^ {2} + \ l ambda _ {1} ^ {2}) ^ {2} -2 (\ lambda _ {0} \ lambda _ {1}) ^ {2} = 1-2 {\ mathcal {N}} ^ {2}}$ .

Можно видеть, что чем более запутанным является составное состояние (т.е. более отрицательно), тем менее чистым состояние подсистемы.

Обратный коэффициент участия (IPR)

В контексте локализации оказывается полезной величина, тесно связанная с чистотой, так называемый обратный коэффициент участия (IPR). Он определяется как интеграл (или сумма для конечного размера системы) по квадрату плотности в некотором пространстве, например, реальном пространстве, импульсном пространстве или даже фазовом пространстве, где плотности будут квадратом волновой функции реального пространства $| ψ (x) | 2 {\ displaystyle | \ psi (x) | ^ {2}}$ $| \ psi (x) | ^ {2}$ , квадрат волновой функции импульсного пространства $| ψ ~ (k) | 2 {\ displaystyle | {\ tilde {\ psi}} (k) | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | {\ тильда {\ psi}} (k) | ^ {2}}$ , или некоторая плотность фазового пространства, такая как распределение Хусими, соответственно.

Наименьшее значение IPR соответствует полностью делокализованному состоянию, $ψ (x) = 1 / N {\ displaystyle \ psi (x) = 1 / {\ sqrt {N}}}$ ${\ displaystyle \ psi (x) = 1 / {\ sqrt {N}}}$ для системы размера $N {\ displaystyle N}$ $N$ , где IPR дает $∑ x | ψ (x) | 4 знак равно N / (N 1/2) 4 = 1 / N {\ displaystyle \ sum _ {x} | \ psi (x) | ^ {4} = N / (N ^ {1/2}) ^ {4 } = 1 / N}$ ${\ displaystyle \ sum _ {x} | \ psi (x) | ^ {4} = N / (N ^ {1/2}) ^ {4} = 1 / N}$ . Значения IPR, близкие к 1, соответствуют локализованным состояниям (чистым состояниям по аналогии), как можно видеть с идеально локализованным состоянием $ψ (x) = δ x, x 0 {\ displaystyle \ psi (x) = \ delta _ {x, x_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ psi (x) = \ delta _ {x, x_ {0}}}$ , где IPR дает $∑ x | ψ (x) | 4 = 1 {\ displaystyle \ sum _ {x} | \ psi (x) | ^ {4} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {x} | \ psi (x) | ^ {4} = 1}$ . В одном измерении IPR прямо пропорционален обратной длине локализации, то есть размеру области, в которой локализовано состояние. Локализованные и делокализованные (расширенные) состояния в рамках физики конденсированного состояния тогда соответствуют изолирующему и металлическому состояниям соответственно, если представить себе электрон на решетке. невозможность перемещаться в кристалле (локализованная волновая функция, IPR близка к единице) или возможность перемещаться (расширенное состояние, IPR близко к нулю).

В контексте локализации часто нет необходимости знать саму волновую функцию; часто бывает достаточно знать свойства локализации. Вот почему в этом контексте полезен IPR. IPR в основном принимает полную информацию о квантовой системе (волновая функция; для $N {\ displaystyle N}$ $N$ -мерного гильбертова пространства необходимо хранить $N {\ displaystyle N}$ $N$ значений, компонентов волновой функции) и сжимает его в одно число, которое затем содержит только некоторую информацию о свойствах локализации состояния. Хотя эти два примера идеально локализованного и идеально делокализованного состояний были показаны только для волновой функции реального пространства и, соответственно, для IPR реального пространства, очевидно, что можно было бы распространить идею на импульсное пространство и даже на фазовое пространство; затем IPR дает некоторую информацию о локализации в рассматриваемом пространстве, например плоская волна будет сильно делокализована в реальном пространстве, но ее преобразование Фурье тогда сильно локализовано, поэтому здесь IPR реального пространства будет близко к нулю, а IPR импульсного пространства будет близко к одному.

Проективность измерения

Для квантового измерения проекционная способность - это чистота его состояния до измерения. Это состояние перед измерением является основным инструментом квантовой физики, в котором мы делаем прогнозы относительно подготовки состояний, ведущих к заданному результату измерения. Это позволяет нам определить, в каких состояниях измеряемая система была подготовлена к достижению такого результата.

Ссылки

^ Джегер, Грегг (2006-11-15). Квантовая информация: обзор. Springer Science Business Media. ISBN 9780387357256.
^Каппелларо, Паола (2012). «Конспект лекций: Квантовая теория радиационных взаимодействий, Глава 7: Смешанные состояния» (PDF). ocw.mit.edu. Проверено 26 ноября 2016.
^Nielsen, Michael A.; Чуанг, Исаак Л. (2011). Квантовые вычисления и квантовая информация: 10-е юбилейное издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Cambridge University Press.
^Życzkowski, Karol (1998-01-01). «Объем множества разделимых состояний». Physical Review A. 58 (2): 883–892. arXiv : Quant-ph / 9804024v1. Bibcode : 1998PhRvA..58..883Z. doi : 10.1103 / PhysRevA.58.883.
^Kramer, B.; Маккиннон, А. (декабрь 1993 г.). «Локализация: теория и эксперимент». Отчеты о достижениях физики. 56 (12): 1469. Bibcode : 1993RPPh... 56,1469K. doi : 10.1088 / 0034-4885 / 56/12/001. ISSN 0034-4885.
^Тауфик Амри, Квантовое поведение измерительной аппаратуры, arXiv: 1001.3032 (2010).