Псевдоэлементарный класс

В логике псевдоэлементарный класс представляет собой класс структур, производный от элементарного класса (определяемого в логике первого порядка) путем исключения некоторых его видов и отношений. Это математическая логика аналог понятия в теории категорий (codomain of) забывчивый функтор, а в физика (предположительно) скрытых переменных теорий, призванных объяснить квантовую механику. Элементарные классы (бессмысленно) псевдоэлементарны, но обратное не всегда верно; тем не менее, псевдоэлементарные классы разделяют некоторые свойства элементарных классов, такие как закрытие в рамках ultraproducts.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Приложения
• 4 Ссылки

A псевдоэлементарный класс является сокращением элементарного класса . То есть он получается путем исключения некоторых видов и отношений (многосортного) элементарного класса.

• 1. Теорию с равенством множеств при объединении и пересечении, структуры которых имеют вид (W, ∪, ∩), можно наивно понимать как псевдоэлементарный класс, образованный из двухсортированного элементарного класса структур форма (A, W, ∪, ∩, ∈), где ∈ ⊆ A × W, а ∪ и ∩ - бинарные операции (четвертичные отношения) на W. Теория последнего класса аксиоматизируется формулой

∀X, Y ∈W.∀a∈A. [A ∈ X∪Y ⇔ a ∈ X ∨ a ∈ Y]

∀X, Y∈W.∀a∈A. [A ∈ X∩Y ⇔ a ∈ X ∧ a ∈ Y]

∀X, Y∈W. [(∀a∈A. [A ∈ X ⇔ a ∈ Y]) → X = Y]

В предполагаемой интерпретации A есть набор атомов a, b,..., W - это набор наборов атомов X, Y,..., а ∈ - отношение принадлежности между атомами и наборами. Следствия этих аксиом включают в себя все законы распределительных решеток. Поскольку в последних законах не упоминаются атомы, они остаются значимыми для структур, полученных из моделей вышеупомянутой теории, если опустить сорт атомов A и отношение принадлежности ∈. Все дистрибутивные решетки могут быть представлены в виде наборов множеств при объединении и пересечении, поэтому этот псевдоэлементарный класс фактически является элементарным классом, а именно разновидностью распределительных решеток.

В этом примере оба класса (соответственно до и после опущения) - конечно аксиоматизируемые элементарные классы. Но в то время как стандартный подход к аксиоматизации последнего класса использует девять уравнений для аксиоматизации дистрибутивной решетки, первый класс требует только трех вышеупомянутых аксиом, что позволяет быстрее определить последний класс как редукцию первого, чем непосредственно обычным способом.

• 2. Теория с равенством бинарных отношений при объединении R∪S, пересечении R∩S, дополнении R, реляционной композиции R; S и реляционном обращении R, структуры которых имеют вид (W, ∪, ∩, -,;,), можно понимать как псевдоэлементарный класс, образованный из трехсортированного элементарного класса структур вида (A, P, W, ∪, ∩, -,;, λ, ρ, π, ∈). Предполагаемая интерпретация трех типов - это атомы, пары атомов и наборы пар атомов, π: A ×; A → P и λ, ρ: P → A - очевидные конструкторы и деструкторы спаривания, и ∈ ⊆ P × ; W - отношение принадлежности между парами и отношениями (как наборами пар). По аналогии с примером 1 чисто реляционные связки, определенные на W, могут быть аксиоматизированы наивно в терминах атомов и пар атомов, как это принято во вводных текстах. Тогда чистая теория бинарных отношений может быть получена как теория псевдоэлементарного класса редуктов моделей этого элементарного класса, полученная путем исключения сортировки атомов и пар и всех отношений, включающих пропущенные сортировки.

В этом примере оба класса являются элементарно, но только первый класс конечно аксиоматизируем, хотя последний класс (редукт), как показал Тарский в 1955 году, тем не менее, является разновидностью, а именно RRA, представимым алгебры отношений.

• 3. примитивное кольцо является обобщением понятия простого кольца. Он определен на элементарном языке (первого порядка) в терминах элементов и идеалов кольца, что дает начало элементарному классу двухсортированных структур, включающих кольца и идеалы. Класс примитивных колец получается из этого элементарного класса путем исключения сортов и языка, связанных с идеалами, и, следовательно, является псевдоэлементарным классом.

В этом примере остается открытым вопрос, является ли этот псевдоэлементарный класс элементарным.

• 4. Класс экспоненциально замкнутых полей - это псевдоэлементарный класс, который не является элементарным.

A квазимногообразие, логически определяемое как класс моделей универсальной теории Хорна эквивалентно может быть определен алгебраически как класс структур, замкнутых относительно изоморфизмов, подалгебр и редуцированных произведений. Поскольку понятие сокращенного продукта более сложное, чем понятие прямого произведения, иногда полезно смешивать логические и алгебраические характеристики в терминах псевдоэлементарных классов. Одно такое смешанное определение характеризует квазимногообразие как псевдоэлементарный класс, замкнутый относительно изоморфизмов, подалгебр и прямых произведений (свойство псевдоэлементарности позволяет упростить «редуцированный» до «прямого»).

Следствием этой характеристики является то, что можно (неконструктивно) доказать существование универсальной аксиоматизации Горна класса, сначала аксиоматизируя некоторое расширение структуры вспомогательными видами и отношениями, а затем показывая, что псевдоэлементарный класс получил отбрасывая вспомогательные конструкции, закрывается по подалгебрам и прямым произведениям. Этот метод работает для примера 2, потому что подалгебры и прямые произведения алгебр бинарных отношений сами являются алгебрами бинарных отношений, показывая, что класс RRA представимых алгебр отношений является квазимногообразием (и тем более элементарный класс). Это краткое доказательство - эффективное применение абстрактной чепухи ; более сильный результат Тарского о том, что RRA на самом деле является разновидностью, требует более честного труда.

• Пол К. Эклоф (1977), Ultraproducts for Algebraists, in Handbook of Mathematical Logic (ed. Jon Barwise ), North-Holland.