Войти
В математике можно естественным образом определить произведение подмножеств групп . Если S и T являются подмножествами группы G, то их произведение является подмножеством G, определенным как
Подмножества S и T не обязательно должны быть подгруппами для этого продукта быть четко определенным. ассоциативность этого продукта следует из ассоциативности группового продукта. Следовательно, произведение групповых подмножеств определяет естественную структуру моноида на наборе мощности из G.
Можно сказать гораздо больше в случае, когда S и T являются подгруппы. Произведение двух подгрупп S и T группы G само является подгруппой G тогда и только тогда, когда ST = TS.
Если S и T являются подгруппами G, их продукт не обязательно должен быть подгруппой (например, две отдельные подгруппы порядка 2 в симметричная группа на 3-х символах). Этот продукт иногда называют продуктом Фробениуса. В общем, продукт двух подгрупп S и T является подгруппой тогда и только тогда, когда ST = TS, и говорят, что две подгруппы переставляют. (Вальтер Ледерманн назвал этот факт теоремой о произведении, но это имя, как и «произведение Фробениуса», ни в коем случае не является стандартным.) В этом случае ST - это группа , созданная с помощью S и T; т.е. ST = TS = ⟨S ∪ T⟩.
Если либо S, либо T являются нормальным, то условие ST = TS удовлетворяется и продукт является подгруппой. Если и S, и T нормальны, то и произведение тоже нормально.
Если S и T конечные подгруппы группы G, то ST является подмножеством G размера | ST | дается формулой произведения:
Обратите внимание, что это применимо, даже если ни S, ни T не являются нормальными.
Следующий модульный закон (для групп) выполняется для любой Q - подгруппы S, где T - любая другая произвольная подгруппа (и как S, так и T являются подгруппами некоторой группы G):
Два продукта, фигурирующие в этом равенстве, не обязательно являются подгруппами.
Если QT является подгруппой (эквивалентно, как отмечено выше, если Q и T переставляются), то QT = ⟨Q ∪ T⟩ = Q ∨ T; т.е. QT - это соединение Q и T в решетке подгрупп группы G, и модульный закон для такой пары также может быть записан как Q ∨ (S ∩ T) = S ∩ (Q ∨ T), которое определяет модульную решетку, если оно выполняется для любых трех элементов решетки с Q ≤ S. В частности, поскольку нормальные подгруппы переставляются друг с другом, они образуют модульную подрешетку.
. Группа, в которой каждая подгруппа переставляет, называется группой Ивасавы. Решетка подгрупп группы Ивасавы, таким образом, является модульной решеткой, поэтому эти группы иногда называют модулярными группами (хотя этот последний термин может иметь другие значения.)
Допущение в модулярном законе для групп (как сформулировано выше), что Q является подгруппой в S. Если Q не является подгруппой S, то предварительное, более общее свойство дистрибутивности, которое можно рассматривать как S ∩ (QT) = (S ∩ Q) (S ∩ T), неверно.
В частности, если S и T пересекаются только в единице, то каждый элемент ST имеет уникальное выражение как произведение st с s в S и t в T. Если S и T также коммутируют, тогда ST - группа и называется произведением Заппы – Сепа. Более того, если S или T нормальны в ST, то ST совпадает с полупрямым произведением S и T. Наконец, если и S, и T нормальны в ST, то ST совпадает с прямое произведение групп S и T.
Если S и T - подгруппы, пересечение которых является тривиальной подгруппой (единичный элемент) и, кроме того, ST = G, то S называется дополнением Т и наоборот.
При (локально однозначном) злоупотреблении терминологией две подгруппы, которые пересекаются только по (в противном случае обязательной) идентичности, иногда называют непересекающимися.
Вопрос, который возникает в случае нетривиального пересечения между нормальной подгруппой N и подгруппой K, заключается в том, какова структура фактор-группы NK / N. Хотя может возникнуть соблазн просто «исключить» N и сказать, что ответ - K, это неверно, потому что гомоморфизм с ядром N также «схлопнет» (отобразит в 1) все элементы K, которые случайно находятся в N. Таким образом, правильный ответ состоит в том, что NK / N изоморфно K / (N∩K). Этот факт иногда называют второй теоремой об изоморфизме (хотя нумерация этих теорем имеет некоторые различия между авторами); И. назвал ее также теоремой алмаза. Мартин Айзекс из-за формы решетки подгрупп, а также был назван правилом параллелограмма Полом Морицем Коном, который, таким образом, подчеркнул аналогию с правилом параллелограмма для векторов, потому что в полученной решетке подгрупп две стороны, которые, как предполагается, представляют фактор-группы (SN) / N и S / (S ∩ N), «равны» в смысле изоморфизма.
Аргумент Фраттини гарантирует существование произведение подгрупп (дающее начало всей группе) в случае, когда пересечение не обязательно тривиально (и по этой последней причине две подгруппы не являются дополнениями). Более конкретно, если G является конечной группой с нормальной подгруппой N, и если P является силовской p-подгруппой группы N, то G = N G (P) N, где N G (P) обозначает нормализатор P в G. (Обратите внимание, что нормализатор P включает P, поэтому пересечение между N и N G (P) не меньше P.)
В полугруппе S произведение двух подмножеств определяет структуру полугруппы на P (S), степенное множество полугруппы S; кроме того, P (S) является полукольцом со сложением как объединением (подмножеств) и умножением как произведением подмножеств.
