Веер расширения Прандтля – Мейера

редактировать

Когда сверхзвуковой поток встречает выпуклый угол, он образует веер расширения, который состоит из бесконечного числа волн расширения по центру в углу. На рисунке показан один такой идеальный вентилятор расширения.

Сверхзвуковой вентилятор расширения, технически известный как вентилятор расширения Прандтля – Мейера, двумерная простая волна, представляет собой процесс центрированного расширения это происходит, когда сверхзвуковой поток вращается вокруг выпуклого угла. Веер состоит из бесконечного числа волн Маха, расходящихся от острого угла. Когда поток поворачивается вокруг гладкого и круглого угла, эти волны могут расширяться назад, чтобы встретиться в одной точке.

Каждая волна расширительного вентилятора постепенно (небольшими шагами) поворачивает поток. Физически невозможно, чтобы поток прошел через одну «ударную» волну, потому что это нарушило бы второй закон термодинамики.

В расширительном вентиляторе поток ускоряется (скорость увеличивается) и число Маха увеличивается, а статическое давление, температура и плотность уменьшаются. Поскольку процесс является изоэнтропическим, свойства застоя (например, общее давление и общая температура) остаются постоянными для вентилятора.

Теория была описана Теодором Мейером в его диссертационной работе в 1908 году вместе с его советником Людвигом Прандтлем, который уже обсуждал проблему годом ранее. 265>Содержание

1 Свойства потока
2 Максимальный угол поворота
3 Примечания
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Свойства потока

вентилятор расширения состоит из бесконечного числа волн расширения или линий Маха. Первая линия Маха находится под углом $μ 1 = arcsin ⁡ (1 M 1) {\ displaystyle \ mu _ {1} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {1}}} \ справа)}$ $\ mu _ {1} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} { M_ {1}}} \ right)$ относительно направления потока, а последняя линия Маха находится под углом $μ 2 = arcsin ⁡ (1 M 2) {\ displaystyle \ mu _ {2} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {2}}} \ right)}$ $\ mu _ {2} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M_ {2}}} \ right)$ относительно конечного направления потока. Поскольку поток поворачивается на малые углы и изменения в каждой волне расширения невелики, весь процесс изоэнтропичен. Это значительно упрощает расчет свойств текучести. Поскольку поток изоэнтропичен, свойства застоя, такие как давление застоя ( $p 0 {\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ ), застоя температура ( $T 0 {\ displaystyle T_ {0}}$ $T_ {0}$ ) и плотность застоя ( $ρ 0 {\ displaystyle \ rho _ {0}}$ $\ rho _ {0}$ ) быть постоянным. Окончательные статические свойства являются функцией числа Маха конечного потока ( $M 2 {\ displaystyle M_ {2}}$ $M_ {2}$ ) и могут быть связаны с начальными условиями потока следующим образом:

T 2 T 1 = (1 + γ - 1 2 M 1 2 1 + γ - 1 2 M 2 2) p 2 p 1 = (1 + γ - 1 2 M 1 2 1 + γ - 1 2 M 2 2) γ γ - 1 ρ 2 ρ 1 знак равно (1 + γ - 1 2 M 1 2 1 + γ - 1 2 M 2 2) 1 γ - 1. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) \\ [3pt] {\ frac {p_ {2} } {p_ {1}}} = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma) -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \\ [3pt] {\ frac {\ rho _ {2} } {\ rho _ {1}}} = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac { \ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin { выровнено} {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2} } {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) \\ [3pt] {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}} } = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \\ [3pt] {\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1 }}} = \ left ({\ frac {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M_ {1} ^ {2}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2 }} M_ {2} ^ {2}}} \ r ight) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}}. \ end {align}}}

Число Маха после поворота ( $M 2 {\ displaystyle M_ {2}}$ $M_ {2}$ ) связано с начальным числом Маха ( $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ ) и угол поворота ( $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ) на,

θ = ν (M 2) - ν (M 1) {\ displaystyle \ theta = \ nu (M_ {2}) - \ nu (M_ {1}) \,}

\ theta = \ nu (M_ {2}) - \ nu (M_ {1}) \,

где, $ν (M) {\ displaystyle \ nu (M) \,}$ $\ nu (M) \,$ - это Функция Прандтля – Мейера. Эта функция определяет угол, на который должен повернуться звуковой поток (M = 1), чтобы достичь определенного числа Маха (M). Математически

ν (M) = ∫ M 2 - 1 1 + γ - 1 2 M 2 d MM = γ + 1 γ - 1 arctan ⁡ γ - 1 γ + 1 (M 2 - 1) - arctan ⁡ M 2 - 1. {\ displaystyle {\ begin {align} \ nu (M) = \ int {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\, dM} {M}} \\ = {\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{ \ frac {\ gamma -1} {\ gamma +1}} \ left (M ^ {2} -1 \ right)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}. \\\ конец {выровнен}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nu (M) = \ int {\ frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\, dM} {M}} \\ = {\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{ \ frac {\ gamma -1} {\ gamma +1}} \ left (M ^ {2} -1 \ right)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}. \\\ конец {выровнен}}}

По соглашению $ν (1) = 0. {\ displaystyle \ nu (1) = 0. \,}$ $\ nu (1) = 0. \,$

Таким образом, с учетом начального числа Маха ( $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ ), можно вычислить $ν (M 1) {\ displaystyle \ nu (M_ {1}) \,}$ $\ nu (M_ {1}) \,$ и используя угол поворота, найдите $ν (M 2) {\ displaystyle \ nu (M_ {2}) \,}$ $\ nu (M_ {2}) \,$ . Из значения $ν (M 2) {\ displaystyle \ nu (M_ {2}) \,}$ $\ nu (M_ {2}) \,$ можно получить окончательное число Маха ( $M 2 {\ displaystyle M_ { 2}}$ $M_ {2}$ ) и другие свойства потока.

Максимальный угол поворота

Существует ограничение на максимальный угол (

θ max {\ displaystyle \ theta _ {\ text {max}}}

{\ displaystyle \ theta _ {\ text {max}}}

), через который сверхзвуковой поток может вращаться.

Поскольку число Маха изменяется от 1 до $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , $ν {\ displaystyle \ nu \,}$ $\ nu \,$ принимает значения от 0 до $ν max {\ displaystyle \ nu _ {\ text {max}} \,}$ $\ nu _ {\ text {max}} \,$ , где

ν max = π 2 (γ + 1 γ - 1 - 1). {\ displaystyle \ nu _ {\ text {max}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ left ({\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} - 1 \ right).}

{\ displaystyle \ nu _ {\ text {max}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ left ({\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} - 1 \ right).}

Это устанавливает предел на то, сколько сверхзвуковой поток может пройти, с максимальным углом поворота, определяемым как,

θ max = ν max - ν (M 1). {\ displaystyle \ theta _ {\ text {max}} = \ nu _ {\ text {max}} - \ nu (M_ {1}). \,}

\ theta _ {\ text {max}} = \ nu _ {\ text { max}} - \ nu (M_ {1}). \,

Также можно посмотреть на это следующим образом. Поток должен повернуться, чтобы удовлетворить граничным условиям. В идеальном потоке существует два вида граничных условий, которым поток должен удовлетворять:

Граничное условие скорости, которое диктует, что составляющая скорости потока нормали к стенке равна нулю. Это также известно как граничное условие отсутствия проникновения.
Граничное условие давления, которое гласит, что не может быть скачка статического давления внутри потока (поскольку в потоке нет скачков уплотнения).

Если поток поворачивается настолько, что становится параллельным стенке, нам не нужно беспокоиться о граничном условии давления. Однако по мере поворота потока его статическое давление уменьшается (как описано ранее). Если начального давления будет недостаточно, поток не сможет завершить поворот и не будет параллелен стене. Это отображается как максимальный угол, на который может повернуться поток. Чем меньше число Маха для начала (т.е. меньше $M 1 {\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ ), тем больше максимальный угол, на который может повернуться поток.

Линия тока , которая разделяет конечное направление потока и стенку, известна как поток (показана пунктирной линией на рисунке). Поперек этой линии есть скачок температуры, плотности и тангенциальной составляющей скорости (нормальная составляющая равна нулю). За пределами скользящего потока поток является застойным (что автоматически удовлетворяет граничному условию скорости на стенке). В случае реального потока вместо скользящего потока наблюдается сдвиговый слой из-за дополнительного граничного условия отсутствия проскальзывания.

Примечания

^ Процесс расширения через одиночный «скачок» невозможен, потому что он будет нарушают второй закон термодинамики.
Невозможность расширения потока за счет единственной «ударной» волны: рассмотрим сценарий, показанный на рисунке рядом. По мере поворота сверхзвукового потока нормальная составляющая скорости увеличивается ( $w 2>w 1 {\ displaystyle w_ {2}>w_ {1}}$ $w_{2}>w_ {1}$ ), тогда как тангенциальный компонент остается постоянным ( $v 2 = v 1 {\ displaystyle v_ {2} = v_ {1}}$ $v_ {2} = v_ {1}$ ). Соответствующее изменение - это энтропия ( $Δ s = s 2 - s 1 {\ displaystyle \ Delta s = s_ {2} -s_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta s = s_ {2} -s_ {1}}$ ) можно выразить следующим образом:
$Δ s R = ln ⁡ [(p 2 p 1) 1 γ - 1 (ρ 2 ρ 1) - γ γ - 1] ≈ γ + 1 12 γ 2 (p 2 - p 1 p 1) 3 ≈ γ + 1 12 γ 2 [ρ 1 w 1 2 p 1 (1 - w 2 w 1)] 3 {\ displaystyle { \ begin {align} {\ frac {\ Delta s} {R}} = \ ln \ left [\ left ({\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}} \ left ({\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} \ right) ^ {- {\ frac {\ gamma} {\ gamma - 1}}} \ right] \\ \ приблизительно {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ left ({\ frac {p_ {2} -p_ {1}} {p_ {1}}} \ right) ^ {3} \\ \ приблизительно {\ frac {\ gamma +1} {12 \ g amma ^ {2}}} \ left [{\ frac {\ rho _ {1} w_ {1} ^ {2}} {p_ {1}}} \ left (1 - {\ frac {w_ {2}}) {w_ {1}}} \ right) \ right] ^ {3} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta s} {R}} = \ ln \ left [\ left ({\ frac {p_ {2 }} {p_ {1}}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ gamma -1}} \ left ({\ frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} \ справа) ^ {- {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}}} \ right] \\ \ приблизительно {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2}}} \ left ( {\ frac {p_ {2} -p_ {1}} {p_ {1}}} \ right) ^ {3} \\ \ приблизительно {\ frac {\ gamma +1} {12 \ gamma ^ {2} }} \ left [{\ frac {\ rho _ {1} w_ { 1} ^ {2}} {p_ {1}}} \ left (1 - {\ frac {w_ {2}} {w_ {1}}} \ right) \ right] ^ {3} \ end {выровнено} }}$
где, $R {\ displaystyle R}$ $R$ - универсальная газовая постоянная, $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - отношение удельных теплоемкостей, $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - статическая плотность, $p { \ displaystyle p}$ $p$ - статическое давление, $s {\ displaystyle s}$ $s$ - энтропия и $w {\ displaystyle w}$ $w$ - нормальная к «скачку» составляющая скорости потока. Суффиксы «1» и «2» относятся к начальному и конечному условиям соответственно.

Поскольку $w 2>w 1 {\ displaystyle w_ {2}>w_ {1}}$ $w_{2}>w_ {1}$ , это будет означать, что $Δ s < 0 {\displaystyle \Delta s<0}$ $\ Delta s <0$ . Поскольку это не Возможно, это означает, что невозможно повернуть поток через одиночную ударную волну. Аргумент может быть расширен, чтобы показать, что такой процесс расширения может происходить, только если мы рассматриваем поворот через бесконечное количество волн расширения в пределе $Δ s → 0 {\ displaystyle \ Delta s \ rightarrow 0}$ $\ Delta s \ rightarrow 0$ . Соответственно, процесс расширения - это изэнтропический процесс.
^Meyer, T. (1908). Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Георга-Августа, Геттинген. OCLC 77709738.
^Прандтль, Л. (1907). Neue Untersuchungen über die strömt Bewegung der Gase und Dämpfe ". Physikalische Zeitschrift (на немецком). 8 : 23–30. Перепечатано в Riegels, F. W., ed. (1961). Людвиг Прандтль Гезаммельте Абхандлунген. Берлин: Springer. doi : 10.1007 / 978-3-662-11836-8_78.
^ Для объекта, движущегося со сверхзвуковой скоростью ( $u>c {\ displaystyle u>c}$ $u>c$ ) при движении от точки От A до B (расстояние u · t) возмущения, исходящие из точки A, проходят расстояние c · t. Соответствующий угол известен как угол Маха, а линии, охватывающие возмущенную область, известны как линии Маха (в двумерном случае) или конус Маха (в 3-D). Линии Маха (конус) и угол Маха:
Линии Маха - понятие, обычно встречающееся в двумерных сверхзвуковых потоках (т. е. $M ≥ 1 {\ displaystyle M \ geq 1}$ $M \ geq 1$ ). Это пара ограничивающих линий, которые отделяют область возмущенного потока от невозмущенной части потока. Эти линии расположены парами и ориентированы под углом
$μ = arcsin ⁡ (cu) = arcsin ⁡ (1 M) {\ displaystyle \ mu = \ arcsin \ left ({\ frac {c} {u}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mu = \ arcsin \ left ({\ frac {c} {u}} \ right) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {M}} \ right)}$
относительно направления движения (также известного как угол Маха ). В случае трехмерного поля потока эти линии образуют поверхность, известную как конус Маха, с углом Маха в качестве половины угла конуса.

Чтобы лучше понять концепцию, рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Мы знаем, что когда объект движется в потоке, он вызывает возмущения давления (которые распространяются со скоростью звука, также известной как волны Маха ). На рисунке показан объект, движущийся из точки A в B по линии AB со сверхзвуковой скоростью ( $u>c {\ displaystyle u>c}$ $u>c$ ). К тому времени, когда объект достигает точки B, возмущения давления из точки A проходят через расстояние c · t и теперь находятся на окружности круга (с центром в точке A). Таких кругов бесконечно с центром на линии AB, каждая из которых представляет местоположение возмущений, вызванных движением объекта. распространяющиеся наружу от точки B и касательные ко всем этим окружностям, известны как линии Маха.

Примечание: эти концепции имеют физический смысл только для сверхзвуковых потоков ( $u ≥ c {\ displaystyle u \ geq c}$ $u \ geq c$ ). В случае дозвуковых потоков возмущения будут распространяться быстрее, чем источник и аргумент функции $arcsin ⁡ () {\ displaystyle \ arcsin ()}$ $\ arcsin ()$ будет больше единицы.

См. Также

Литература

Liepmann, Hans W.; Рошко, А. (2001) [1957]. Элементы газовой динамики. Dover Publications. ISBN 0-486-41963-0.
Фон Мизес, Ричард (2004) [1958]. Математическая теория течения сжимаемой жидкости. Dover Publications. ISBN 0-486-43941-0.
Курант, Ричард; Фридрихс, К. О. (1999) [1948]. Сверхзвуковое течение и ударные волны. Springer Science + Business Media. ISBN 0387902325.
Андерсон, Джон Д. мл. (Январь 2001 г.) [1984]. Основы аэродинамики (3-е изд.). МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN 0-07-237335-0.
Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости, Том 1.. ISBN 978-0-471-06691-0.

Внешние ссылки