Войти
Чтобы провести параллель (h) диаметру g через любую заданную точку P. Выберите вспомогательную точку C в любом месте на прямой, проходящей через B и P, за пределами BP. (Штайнер) В евклидовой геометрии, теорема Понселе – Штейнера является одним из нескольких результатов, касающихся построения циркуля и линейки с дополнительными ограничениями. Этот результат утверждает, что все, что может быть построено с помощью линейки и компаса вместе, может быть построено с помощью одной линейки, при условии, что даны одиночный круг и его центр.
В X веке персидский математик Абу аль-Вафа 'Бузджани (940–998) рассматривал геометрические конструкции с помощью линейки и циркуля с фиксированным отверстием, так называемого ржавого компаса. Постройки этого типа имели некоторое практическое значение, так как их использовали художники Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер в Европе в конце пятнадцатого века. Новая точка зрения возникла в середине шестнадцатого века, когда размер отверстия считался фиксированным, но произвольным, и вопрос о том, сколько построений Евклида можно было получить, был первостепенным.
Ренессанс математик Лодовико Феррари, ученик Джероламо Кардано в «математическом испытании» против Никколо Фонтана Тарталья смог показать, что «весь Евклид» (то есть линейка и компас конструкции в Первые шесть книг Элементов Евклида ) можно было выполнить с помощью линейки и ржавого компаса. В течение десяти лет дополнительные наборы решений были получены Кардано, Тарталья и учеником Тартальи Бенедетти. В течение следующего столетия об этих решениях обычно забывали, пока в 1673 году Георг Мор не опубликовал (анонимно и на голландском языке) Евклидиса Куриози, содержащего его собственные решения. Мор только слышал о существовании более ранних результатов, и это привело его к работе над проблемой.
Показать, что «весь Евклид» можно выполнить с помощью линейки и ржавого компаса, - не то же самое, что доказать, что все Строить линейку и компас можно было с помощью линейки и просто ржавого компаса. Такое доказательство потребует формализации того, что могут построить линейка и циркуль. Эту основу дал Жан Виктор Понселе в 1822 году. Он также предположил и предложил возможное доказательство того, что линейка и ржавый компас будут эквивалентны линейке и компасу, и, более того, нужно только использовать ржавый компас. один раз. Результат, что линейка и одиночный круг с заданным центром эквивалентны линейке и компасу, был доказан Якобом Штайнером в 1833 году.
Теорему Понселе – Штейнера следует противопоставить теореме Мора – Маскерони, которая утверждает, что любое построение циркуля и линейки может быть выполнено только с помощью циркуля.
Невозможно построить все, что можно построить с помощью линейки и циркуля, с помощью одной только линейки. Если центр единственного данного круга не указан, его нельзя получить с помощью одной линейки. Многие конструкции невозможны только с помощью линейки. Требуется нечто большее, и достаточно круга с обозначенным центром.
Требование наличия одного круга с центром было с тех пор обобщено, чтобы включить альтернативные, но в равной степени ограничительные условия. В одном из таких вариантов весь круг не требуется. В 1904 году Франческо Севери доказал, что любой малой дуги вместе с центром будет достаточно.
В двух других вариантах, оба приписываемых Д. Кауэру, центр может быть полностью опущен при условии, что данный представляют собой либо две концентрические окружности, либо две различных пересекающихся окружности, причем возможны два случая: две точки пересечения и одна точка пересечения (касательные окружности). Сам тангенциальный случай имеет два случая: конгруэнтные и неконгруэнтные окружности. По любому из этих сценариев можно построить центры, сведя сценарий к исходной гипотезе.
Существуют и другие варианты. Достаточно иметь две непересекающиеся окружности (без их центров), если указана центральная точка, две непересекающиеся окружности (без центров), если указана одна точка на радиальной оси, или просто иметь три непересекающихся окружности.
