Полиномиальное отображение

редактировать

Функция, при которой координаты изображения точки являются полиномиальными функциями координаты точки

. В алгебре - полиномиальное отображение или полиномиальное отображение $P: V → W {\ displaystyle P : V \ to W}$ ${ \ displaystyle P: V \ to W}$ между векторными пространствами над inf inite поле k является полиномом в линейных функционалах с коэффициентами в W; то есть, это можно записать как

P (v) = ∑ i 1,…, in λ i 1 (v) ⋯ λ in (v) wi 1,…, in {\ displaystyle P (v) = \ sum _ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}} \ lambda _ {i_ {1}} (v) \ cdots \ lambda _ {i_ {n}} (v) w_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}}

{\ displaystyle P (v) = \ sum _ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}} \ lambda _ {i_ {1}} ( v) \ cdots \ lambda _ {i_ {n}} (v) w_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}}

где $λ ij: V → k {\ displaystyle \ lambda _ {i_ {j}}: V \ to k}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i_ {j}} : V \ to k}$ - линейные функционалы, а $wi 1,…, в {\ displaystyle w_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}}$ ${\ displaystyle w_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}}$ - векторы в W. Например, если $W = km { \ displaystyle W = k ^ {m}}$ ${\ displaystyle W = k ^ {m}}$ , тогда полиномиальное отображение может быть выражено как $P (v) = (P 1 (v),…, P m (v)) {\ displaystyle P (v) = (P_ {1} (v), \ dots, P_ {m} (v))}$ ${\ displaystyle P (v) = (P_ {1} (v), \ dots, P_ {m} (v))}$ , где $P i {\ displaystyle P_ {i}}$ $P_ {i}$ являются (скалярными) полиномиальными функциями на V. (Преимущество абстрактного определения состоит в том, что карта явно не зависит от выбора базиса.)

Когда V, W - конечномерные векторные пространства и рассматриваются как алгебраические многообразия, тогда полиномиальное отображение - это в точности морфизм алгебраического разнообразия. s.

Одним из фундаментальных нерешенных вопросов, касающихся полиномиальных отображений, является гипотеза о якобиане, которая касается достаточности полиномиального отображения для обратимости.

См. Также

Полиномиальный функтор

Ссылки

Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление, Springer, ISBN 9780387260402.