Случайные меры пуассоновского типа

Случайные меры пуассоновского типа представляют собой семейство из трех случайных мер подсчета, которые закрыты ограничением подпространством, т.е. закрытые на прореживание. Это единственные распределения в семействе распределений канонического неотрицательного степенного ряда, обладающие этим свойством и включающие распределение Пуассона, отрицательное биномиальное распределение и биномиальное распределение. Семейство распределений PT также известно как семейство распределений Каца, класс распределений Панджера или (a, b, 0) и может быть получено с помощью распределения Конвея – Максвелла – Пуассона.

• 1 Метание камней
  • 1.1 Теорема: отмеченная STC
  • 1.2 Следствие: ограниченная STC
• 2 Собирание костей
  • 2.1 Определение: Bone
  • 2.2 Теорема: существование и уникальность PT Случайное Меры
• 3 Распределительные приложения самоподобия
• 4 Ссылки

Пусть $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$будет неотрицательным целочисленным случайная величина $K\; \in \; N\; \ge \; 0\; =\; N>0\; \cup \; \{0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \_\; \{>0\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; \{\; 0\; \backslash \}\}$) с законом $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$, среднее $c\; \in \; (0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; in\; (0,\; \backslash \; infty)\}$и когда существует дисперсия $\delta \; 2>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; ^\; \{2\}>0\}$. Пусть $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$будет вероятностной мерой на измеримом пространстве $(E,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E)\; \}\})\}$. Пусть $X\; =\; \{X\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; =\; \backslash \; \{X\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$будет набором случайных величин (камней) iid, принимающих значения в $(E,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\}$с законом $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$.

Мера случайного счета $N\; \{\; \backslash \; displaystyle\; N\}$от $(E,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\}$зависит от пары детерминированных вероятностных мер $(\kappa ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; kappa,\; \backslash \; nu)\}$через сооружение для метания камней (STC)

$N\; \omega \; (A)\; =\; N\; (\omega ,\; A)\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; К\; (\omega )\; IA\; (X\; я\; (\omega ))\; для\; \omega \; \in \; \Omega ,\; A\; \in \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; N\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; (A)\; =\; N\; (\backslash \; omega,\; A)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{K\; (\backslash \; omega)\}\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; \_\; \{A\}\; (X\_\; \{i\}\; (\backslash \; omega))\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$

где $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$имеет закон $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$и iid $X\; 1,\; X\; 2,\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; X\_\; \{2\},\; \backslash \; dotsb\}$имеют закон $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$. $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$является смешанным биномиальным процессом

Пусть $E\; +\; =\; \{f:\; E\; \mapsto \; R\; +\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{\; +\}\; =\; \backslash \; \{f:\; E\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{+\}\; \backslash \}\}$быть набором положительных $E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\}$-измеримые функции. Вероятностный закон $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$закодирован в функционале Лапласа

$E\; e\; -\; N\; f\; =\; E\; (E\; e\; -\; f\; (X))\; К\; знак\; равно\; E\; (\nu \; е\; -\; е)\; К\; знак\; равно\; \psi \; (\nu \; е\; -\; f)\; для\; f\; \in \; E\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; e\; ^\; \{-\; Nf\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; (\backslash \; mathbb\; \{E\; \}\; e\; ^\; \{-\; f\; (X)\})\; ^\; \{K\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; (\backslash \; nu\; e\; ^\; \{-\; f\})\; ^\; \{K\}\; =\; \backslash \; psi\; (\backslash \; nu\; e\; ^\; \{-\; f\})\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; quad\; f\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{+\}\}$

где $\psi \; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; cdot)\}$- производящая функция $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$. среднее и дисперсия задаются как

$EN\; f\; =\; c\; \nu \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; Nf\; =\; c\; \backslash \; nu\; f\}$

и

$В\; ар\; N\; е\; знак\; равно\; с\; \nu \; е\; 2\; +\; (\delta \; 2\; -\; с)\; (\nu \; е)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbb\; \{V\}\; \{\backslash \; text\; \{ar\}\}\; Nf\; =\; c\; \backslash \; nu\; f\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; delta\; ^\; \{2\}\; -c)\; (\backslash \; nu\; f)\; ^\; \{2\}\}$

Ковариация для произвольного $f,\; g\; \in \; E\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; f,\; g\; \backslash \; в\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{+\}\}$определяется как

$C\; ov\; (N\; f,\; N\; g)\; =\; c\; \nu \; (fg)\; +\; (\delta \; 2\; -\; c)\; \nu \; f\; \nu \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \{\backslash \; text\; \{ov\}\}\; (Nf,\; Ng)\; =\; c\; \backslash \; nu\; (fg)\; +\; (\backslash \; delta\; ^\; \{2\}\; -c)\; \backslash \; nu\; f\; \backslash \; nu\; g\}$

Когда $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$является пуассоновским, отрицательным биномом или биномом, он называется пуассоновским типом (PT). Совместное распределение коллекции $N\; (A),\dots ,\; N\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (A),\; \backslash \; ldots,\; N\; (B)\}$для $i,\dots ,\; j\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; \backslash \; ldots,\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$и $i\; +\; \cdots \; +\; j\; =\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; +\; \backslash \; cdots\; +\; j\; =\; k\}$

$P\; (N\; (A)\; =\; i,\dots ,\; N\; (B)\; =\; j)\; =\; P\; (N\; (A)\; =\; i,\dots ,\; N\; (B)\; =\; j\; |\; K\; =\; k)\; P\; (K\; =\; k)\; =\; к!\; я!\; \cdots \; j!\; \nu \; (A)\; я\; \cdots \; \nu \; (B)\; J\; п\; (К\; =\; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; (N\; (A)\; =\; я,\; \backslash \; ldots,\; N\; (B)\; =\; j)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; (\; N\; (A)\; =\; i,\; \backslash \; ldots,\; N\; (B)\; =\; j\; |\; K\; =\; k)\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; (K\; =\; k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k!\}\; \{I!\; \backslash \; Cdots\; j!\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; nu\; (A)\; ^\; \{i\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; nu\; (B)\; ^\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; (K\; =\; k)\}$

Следующий результат расширяет построение случайной меры $N\; =\; (\kappa ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; (\backslash \; kappa,\; \backslash \; nu)\}$в случае, когда коллекция $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$расширяется до $(X,\; Y)\; =\; \{(X\; i,\; Y\; i)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{X\},\; \backslash \; mathbf\; \{Y\})\; =\; \backslash \; \{(X\_\; \{i\},\; Y\_\; \{i\; \})\; \backslash \}\}$где $Y\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{i\}\}$- случайное преобразование $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$. Эвристически $Y\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{i\}\}$представляет некоторые свойства (метки) $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$. Мы предполагаем, что условный закон $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$следует некоторому ядру перехода согласно $P\; (Y\; \in \; B\; |\; X\; =\; x)\; =\; Q\; (x,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; (Y\; \backslash \; in\; B\; |\; X\; =\; x)\; =\; Q\; (x,\; B)\}$.

Теорема: отмеченный STC

Рассмотрим случайную меру $N\; =\; (\kappa ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; (\backslash \; kappa,\; \backslash \; nu)\}$и ядро ​​вероятности перехода $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$из $(E,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E,\; \{\backslash \; cal\; \{E)\}\}\}$в $(F,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (F,\; \{\backslash \; cal\; \{F)\}\}\}$. Предположим, что для данной коллекции $X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\}$переменные $Y\; =\; \{Y\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\; =\; \backslash \; \{Y\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$условно независимы с $Y\; i\; \sim \; Q\; (X\; i,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{i\}\; \backslash \; sim\; Q\; (X\_\; \{i\},\; \backslash \; cdot)\}$. Тогда $M\; =\; (\kappa ,\; \nu \; \times \; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; (\backslash \; kappa,\; \backslash \; nu\; \backslash \; times\; Q)\}$- случайная мера на $(E\; \times \; F,\; E\; \otimes \; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E\; \backslash \; times\; F,\; \{\backslash \; cal\; \{E\; \backslash \; otimes\; F)\}\}\}$. Здесь $\mu \; =\; \nu \; \times \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; nu\; \backslash \; times\; Q\}$понимается как $\mu \; (dx,\; dy)\; =\; \nu \; (dx)\; Q\; (x,\; dy)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; (dx,\; dy)\; =\; \backslash \; nu\; (dx)\; Q\; (x,\; dy)\}$. Более того, для любого $f\; \in \; (E\; \otimes \; F)\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; (\{\backslash \; cal\; \{E\}\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; cal\; \{F\}\})\; \_\; \{+\}\}$у нас есть, что $E\; e\; -\; M\; f\; =\; \psi \; (\nu \; e\; -\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; e\; ^\; \{-\; Mf\}\; =\; \backslash \; psi\; (\backslash \; nu\; e\; ^\; \{-\; g\})\}$где $\psi \; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; cdot)\}$- это pgf из $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$и $g.\; \in \; E\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{+\}\}$определяется как $e\; -\; g\; (x)\; =\; \int \; FQ\; (x,\; dy)\; e\; -\; f\; (х,\; у).\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; g\; (x)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{F\}\; Q\; (x,\; dy)\; e\; ^\; \{-\; f\; (x,\; y)\}.\}$

Следующее следствие является непосредственным следствием.

Следствие: Ограниченная STC

Величина $NA\; =\; (NIA,\; \nu \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{A\}\; =\; (N\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; \_\; \{A\},\; \backslash \; nu\; \_\; \{A\})\}$- четко определенная случайная мера на измеримом подпространстве $(E\; \cap \; A,\; EA)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E\; \backslash \; cap\; A,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{A\})\}$где $EA\; =\; \{A\; \cap \; B:\; B\; \in \; E\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{A\}\; =\; \backslash \; \{A\; \backslash \; cap\; B:\; B\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \backslash \}\}$и $\nu \; A\; (B)\; =\; \nu \; (A\; \cap \; B)\; /\; \nu \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{A\}\; (B)\; =\; \backslash \; nu\; (A\; \backslash \; cap\; B)\; /\; \backslash \; nu\; (A)\}$. Более того, для любого $f\; \in \; E\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{+\}\}$мы имеем, что $E\; e\; -\; NA\; f\; =\; \psi \; (\; \nu \; е\; -\; е\; IA\; +\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; e\; ^\; \{-\; N\_\; \{A\}\; f\}\; =\; \backslash \; psi\; (\backslash \; nu\; e\; ^\; \{-\; f\}\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; \_\; \{A\}\; +\; b)\; \}$где $b\; =\; 1\; -\; \nu \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 1-\; \backslash \; nu\; (A)\}$.

Примечание $\psi \; (\nu \; e\; -\; f\; IA\; +\; 1\; -\; a)\; знак\; равно\; \psi \; A\; (\nu \; A\; е\; -\; е)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; nu\; e\; ^\; \{-\; f\}\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; \_\; \{A\}\; +\; 1-a)\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{A\}\; (\backslash \; nu\; \_\; \{A\}\; e\; ^\; \{-\; f\})\}$где мы используем $\nu \; e\; -\; f\; IA\; =\; a\; \nu \; A\; e\; -\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; e\; ^\; \{-\; f\}\; \backslash \; mathbb\; \{I\; \}\; \_\; \{A\}\; =\; a\; \backslash \; nu\; \_\; \{A\}\; e\; ^\; \{-\; f\}\}$.

Вероятностный закон случайной меры определяется ее функционалом Лапласа и, следовательно, производящей функцией.

Определение: Кость

Пусть $KA\; =\; NIA\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{A\}\; =\; N\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; \_\; \{A\}\}$будет подсчетом переменная $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$ограничена $A\; \subset \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; subset\; E\}$. Когда $\{NIA:\; A\; \subset \; E\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{N\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; \_\; \{A\}:\; A\; \backslash \; subset\; E\; \backslash \}\}$и $K\; =\; NIE\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; N\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; \_\; \{E\}\}$используют одно и то же семейство законов, подлежащих изменению масштаба $ha\; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{a\}\; (\backslash \; theta)\}$параметра $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, тогда $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$называется костью распространение. состояние кости для pgf определяется как $\psi \; \theta \; (at\; +\; 1\; -\; a)\; =\; \psi \; ha\; (\theta )\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (at\; +\; 1\; -a)\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{h\_\; \{a\}\; (\backslash \; theta)\}\; (t)\}$.

Обладая понятием распределения и состояния костей, основным результатом существования и уникальности пуассоновского типа (ПТ) Случайный подсчет мер дается следующим образом.

Теорема: существование и единственность PT случайных величин

Предположим, что $K\; \sim \; \kappa \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; sim\; \backslash \; kappa\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$с pgf $\psi \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$принадлежит к семейству распределений канонического неотрицательного степенного ряда (NNPS), а $\{0,\; 1\}\; \subset \; supp\; (К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; \{0,1\; \backslash \}\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; text\; \{supp\}\}\; (K)\}$. Рассмотрим случайную меру $N\; =\; (\kappa \; \theta ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; (\backslash \; kappa\; \_\; \{\backslash \; theta\},\; \backslash \; nu)\}$в пространстве $(E,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; (E,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\})\}$и предположим, что $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$диффузный. Тогда для любого $A\; \subset \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; subset\; E\}$с $\nu \; (A)\; =\; a>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; (A)\; =\; a>0\}$существует отображение $ha:\; \Theta \; \to \; \Theta \; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{a\}:\; \backslash \; Theta\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; Theta\}$такое, что ограниченная случайная мера равна $NA\; =\; (\kappa \; ha\; (\theta ),\; \nu \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{A\}\; =\; (\backslash \; kappa\; \_\; \{h\_\; \{a\}\; (\backslash \; theta)\},\; \backslash \; nu\; \_\; \{A\})\}$, то есть

$E\; e\; -\; NA\; е\; знак\; равно\; \psi \; ха\; (\theta )\; (\nu \; A\; е\; -\; е)\; для\; f\; \in \; E\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; e\; ^\; \{-\; N\_\; \{A\}\; f\}\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{h\_\; \{a\}\; (\backslash \; theta)\}\; (\backslash \; nu\; \_\; \{A\}\; e\; ^\; \{-\; f\})\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; quad\; f\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{+\}\}$

iff $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$является пуассоновским, отрицательным биномом или биномом (типа Пуассона ).

Доказательство этой теоремы основано на обобщенном аддитивном методе Коши уравнение и его решения. Теорема утверждает, что из всех распределений NNPS только PT имеет е свойство, что их ограничения $NIA\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; \_\; \{A\}\}$имеют то же семейство распределения, что и $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, то есть закрываются при прореживании. Случайные меры PT - это случайная мера Пуассона, отрицательная биномиальная случайная мера и биномиальная случайная мера. Пуассон является аддитивным с независимостью от непересекающихся множеств, тогда как отрицательный бином имеет положительную ковариацию, а биномиальный результат имеет отрицательную ковариацию. биномиальный процесс является предельным случаем биномиальной случайной меры, где $p\; \to \; 1,\; n\; \to \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; rightarrow\; 1,\; n\; \backslash \; rightarrow\; c\}$.

Условие "кости" в pgf $\psi \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$of $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$кодирует свойство самоподобия распределения, в соответствии с которым все подсчеты в ограничениях (прореживании) для подпространств (закодированных как pgf $\psi \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{A\}\}$) принадлежат к тому же семейству, что и $\psi \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$из $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$посредством изменения масштаба канонического параметра. Эти идеи кажутся тесно связанными с идеями саморазложимости и устойчивости дискретных случайных величин. Биномиальное прореживание - это фундаментальная модель для подсчета временных рядов. Пуассоновская случайная мера обладает хорошо известным свойством расщепления, является прототипом класса аддитивных (полностью случайных) случайных мер и связана со структурой процессов Леви, скачки уравнений Колмогорова (процесс марковского скачка) и экскурсии броуновского движения. Следовательно, свойство самоподобия семейства PT является фундаментальным для множества областей. Члены семейства PT - это «примитивы» или прототипы случайных мер, с помощью которых можно построить множество случайных показателей и процессов.