Смешанный биномиальный процесс

редактировать

A смешанный биномиальный процесс - это особый точечный процесс в теории вероятностей. Они естественным образом возникают из-за ограничений (смешанных ) пуассоновских процессов ограниченных интервалов.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Преобразование Лапласа
- 2.2 Ограничение ограниченными наборами
3 Примеры
4 Ссылки

Определение

Пусть $P {\ displaystyle P}$ $P$ будет распределением вероятностей и пусть $X i, X 2,… {\ displaystyle X_ {i}, X_ {2}, \ точки}$ ${\ displaystyle X_ {i}, X_ {2}, \ dots}$ быть iid случайными величинами с распределением $P {\ displaystyle P}$ $P$ . Пусть $K {\ displaystyle K}$ $K$ будет случайной величиной, принимающей a.s. (почти наверняка) значения в $N = {0, 1, 2,…} {\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, \ dots \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, \ dots \}}$ . Предположим, что $K, X 1, X 2,… {\ displaystyle K, X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle K, X_ {1}, X_ {2}, \ точки}$ являются независимыми и пусть $δ x {\ displaystyle \ delta _ {x}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {x}}$ обозначает меру Дирака в точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Тогда random мера $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ называется смешанным биномиальным процессом, если он имеет представление как

ξ = ∑ i = 0 K δ X i {\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i = 0} ^ {K} \ delta _ {X_ {i}}}

{\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i = 0} ^ {K} \ delta _ {X_ {i}}}

Это эквивалентно $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ условно на ${K = n} {\ displaystyle \ {K = n \}}$ ${\ displaystyle \ {K = n \}}$ является биномиальным процессом на основе $n {\ displaystyle n}$ $n$ и $P {\ displaystyle P}$ $P$ .

Свойства

преобразование Лапласа

с условием для $K = n {\ displaystyle K = n}$ ${\ displaystyle K = n}$ , смешанный биномиальный процесс имеет преобразование Лапласа

L (f) = (∫ exp ⁡ (- f (x)) P (dx)) n {\ displaystyle {\ mathcal {L}} (f) = \ left (\ int \ exp (-f (x)) \; P (\ mathrm {d} x) \ right) ^ {n}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (f) = \ left (\ int \ ехр (-f (x)) \; P (\ mathrm {d} x) \ right) ^ {n}}

для любого положительного, измеримая функция $f {\ displaystyle f}$ $е$ .

Ограничение ограниченными наборами

для точечного процесса $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ и ограниченное измеримое множество $B {\ displaystyle B}$ $В$ определяют ограничение $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ на $B {\ displaystyle B}$ $В$ как

ξ B (⋅) = ξ (B ∩ ⋅) {\ displaystyle \ xi _ {B} (\ cdot) = \ xi (B \ cap \ cdot)}

{\ displaystyle \ xi _ {B} (\ cdot) = \ xi (B \ cap \ cdot)}

Смешанный биномиальные процессы стабильны при ограничениях в том смысле, что если $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ является смешанным биномиальным процессом, основанным на $P {\ displaystyle P}$ $P$ и $K {\ displaystyle K}$ $K$ , тогда $ξ B {\ displaystyle \ xi _ {B}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {B}}$ - смешанный биномиальный процесс, основанный на

PB ( ⋅) знак равно п (B ∩ ⋅) P (B) {\ displaystyle P_ {B} (\ cdot) = {\ frac {P (B \ cap \ cdot)} {P (B)}}}

{\ displaystyle P_ {B } (\ cdot) = {\ гидроразрыва {P (B \ cap \ cdot)} {P (B)}}}

и некоторая случайная величина $K ~ {\ displaystyle {\ tilde {K}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {K}}}$ .

Также, если $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ является процессом Пуассона или смешанный пуассоновский процесс, то $ξ B {\ displaystyle \ xi _ {B}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {B}}$ - это смешанный биномиальный процесс.

Примеры

случайные меры пуассоновского типа представляют собой семейство из трех случайных мер подсчета, которые замкнутые относительно подпространства, т. е. замкнутые относительно прореживания, которые являются примерами смешанных биномиальных процессов. Это единственные распределения в семействе распределений канонического неотрицательного степенного ряда, обладающие этим свойством и включающие распределение Пуассона, отрицательное биномиальное распределение и биномиальное распределение. Случайные меры пуассоновского типа (PT) включают случайную меру Пуассона, отрицательную биномиальную случайную меру и биномиальную случайную меру.

Ссылки

^Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 72. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Швейцария: Спрингер. п. 77. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
^Калеб Бастиан, Грегори Ремпала. Бросание камней и сбор костей: поиск случайных мер, подобных Пуассону, Математические методы в прикладных науках, 2020. doi:10.1002/mma.6224