Теорема Пуанкаре – Миранды

В математике теорема Пуанкаре – Миранды является обобщением теоремы о промежуточном значении, основанной на одной функции в одном измерении, до n функций в n измерениях. В нем говорится следующее:

Рассмотрим $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$непрерывные функции от $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$переменных, $f\; 1,\; \dots ,\; Fn\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{n\}\}$. Предположим, что для каждой переменной $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$функция $fi\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\}$постоянно отрицательна, когда $xi\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; =\; -\; 1\}$и постоянно положительный, если $xi\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; =\; 1\}$. Тогда есть точка в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-мерном кубе $[-\; 1,\; 1]\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; [-1,1]\; ^\; \{n\}\}$, в котором все функции одновременно равны $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$.

Теорема названа в честь Анри Пуанкаре, который предположил ее в 1883 году. и Карло Миранда, который в 1940 году показал, что это эквивалентно теореме Брауэра о фиксированной точке.

• 1 Интуитивное описание
• 2 Обобщения
• 3 Примечания
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

На рисунке справа показана иллюстрация теоремы Пуанкаре – Миранды для n = 2 функции. Рассмотрим пару функций (f, g), область определения которых является квадратом [-1, + 1]. Функция f отрицательна на левой границе и положительна на правой границе (зеленые стороны квадрата), в то время как функция g отрицательна на нижней границе и положительна на верхней границе (красные стороны квадрата). Когда мы идем слева направо по любому пути, мы должны пройти через точку, в которой f равно 0. Следовательно, должна быть «стена», отделяющая левую от правой, вдоль которой f равно 0 (зеленая кривая внутри квадрата). Точно так же должна быть «стена», отделяющая верх от низа, вдоль которой g равно 0 (красная кривая внутри квадрата). Эти стены должны пересекаться в точке, в которой обе функции равны 0 (синяя точка внутри квадрата).

Простейшим обобщением, по сути, следствием этой теоремы является следующее. Для каждой переменной x i пусть a i будет любым значением в диапазоне [sup xi= 0 fi, inf xi= 1 fi]. Затем в единичном кубе есть точка, в которой для всех i:

$fi\; =\; ai\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\; =\; a\_\; \{i\}\}$.

Этот оператор можно свести к исходному простым простым перенос осей,

$xi\; \prime \; =\; xiyi\; \prime \; =\; yi\; -\; ai\; \forall \; i\; \in \; \{1,\dots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; qquad\; y\_\; \{i\; \}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; y\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; dots,\; n\; \backslash \}\}$

где

• xi- координаты в области функции
• yiнаходятся координаты в кодомене функции

• Дугунджи, Джеймс ; Гранас, Анджей (2003), Теория неподвижной точки, Springer Monographs in Mathematics, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xv + 690, ISBN 0-387-00173 -5, MR 1987179, Zbl 1025.47002
• Владислав Кульпа (июнь 1997 г.), «Теорема Пуанкаре-Миранды», The American Mathematical Monthly, 104 (6): 545–550, doi : 10.2307 / 2975081, JSTOR 2975081, MR 1453657, Zbl 0891.47040.
• Миранда, Карло (1940), "Un'osservazione su un teorema di Brouwer", Серия 2 (на итальянском языке), 3 : 5–7, JFM 66.0217.01, MR 0004775, Zbl 0024.02203.

• Ahlbach, Connor Томас (2013). «Дискретный подход к теореме Пуанкаре – Миранды (старшие тезисы HMC)». Проверено 18 мая 2015 г.